Números Índices: Estadística Descriptiva en Excel y SPSS, Ejercicios de Estadística

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Estadística Descriptiva ‐ EXCEL ‐ SPSS Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández

Estadística Teórica I

NÚMEROS ÍNDICES

Estadística: Números Índices Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández

NÚMEROS ÍNDICES.‐ Se plantea la cuestión de comparar una serie de observaciones respecto a una situación inicial, fijada arbitrariamente.

Si dos observaciones x 0 y x 1 se comparan mediante el cociente 0

1 x

x C = , diremos ⎪⎩

x x si C 1

x x si C 1

x x si C 1

1 0

1 0

1 0

Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes:

• Fijar la situación inicial (de forma arbitraria) a la que se referirán las comparaciones. Señalar que la elección de la situación inicial condiciona el resultado de la comparación, por lo que el punto de referencia inicial debe ser el más idóneo posible a los objetivos que se persiguen.
• Las magnitudes que se comparan pueden ser simples o complejas, lo que nos introduce en el problema de la construcción de sistemas de comparación adecuados. Una magnitud compleja es comparar la producción de un mismo país en dos épocas diferentes o la producción global de dos países. No olvidemos que la producción es una magnitud compleja compuesta por magnitudes simples heterogéneas (unidades de producción, litros, kilogramos, etc).

Un Número Índice es una medida estadística que nos permite estudiar los cambios que se producen en una magnitud simple o compleja con respecto al tiempo o al espacio. Al período inicial se le denomina período base o referencia y se le asigna el valor 100, en cambio, la situación que deseamos comparar se denomina período actual o corriente.

La clasificación más sencilla de los número índices sería:

SIMPLES Cuando se refieren a un solo producto o concepto

NÚMEROS

ÍNDICES COMPLEJOS

Cuando se refieren a varios productos o conceptos ⎪

Fisher

Edgeworth

Paasche

Laspeyres

Ponderados

Sinponderar

NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES.‐ Son los que proporcionan la variación que ha sufrido una magnitud o concepto entre dos períodos o lugares distintos. Generalmente, esta comparación se realiza con el valor de un período fijo ( período base ). El número índice simple para la magnitud M ,i siendo mi 0 y mit los valores de dicha magnitud en los

períodos base y actual, respectivamente, es:

m

m I I(i) i 0

t it i = 0 =

Ejemplo Índice Simple.‐ Deseamos conocer la evolución del precio de la barra de pan ente 2005 y 2010 en nuestro país. Para ello se dispone de la siguiente información:

Índices Años Precio^ barra^ de^ pan (céntimos euro)

Variación precio barra de pan

I^20062005 = =

I^20072005 = =

I^20082005 = =

I^20092005 = =

I^20102005 = =

Calculada la serie de índices de variación, se observa que el precio de la barra de pan en 2007 fue 1, veces el de 2005; el de 2010 fue 1,92 veces la de 2005, y así sucesivamente. Señalar que el índice es una medida adimensional, ya que numerador y denominador vienen dados en las mismas unidades de medida.

ÍNDICES COMPLEJOS.‐ En la realidad, generalmente no es estamos interesados en comparar precios, cantidades o valores individuales, sino que se comparan fenómenos del mundo real donde intervienen muchas variables. Como consecuencia, la información suministrada por los índices de diferentes bienes debe de ser resumida en un único índice al que denominamos índice complejo.

La construcción de un índice complejo no es una tarea fácil. Como ejemplo, para elaborar la evolución del coste de la vida de un país, el IPC en España, habría que seleccionar un grupo de bienes que reflejaran dicho coste, teniendo en cuenta la importancia relativa de cada uno de esos bienes, decidiendo finalmente la forma de unificar toda la información para obtener un único índice.

El objetivo es llegar a un número índice sencillo que reúna la mayor cantidad posible de información. De esta manera, llegamos a dos tipos de índices complejos: índices complejos no ponderados (cuando prima la sencillez) e índices complejos ponderados (cuando se desea que contengan la mayor cantidad de información).

ÍNDICES COMPLEJOS DE PRECIOS NO PONDERADOS.‐ Vamos a analizar el estudio de magnitudes económicas a través de los llamados Índices de Precios, que cuantifican la evolución de la magnitud precio de un conjunto de bienes y servicios. Es decir, tendríamos la información que proporciona un cuadro análogo al siguiente:

Artículos Épocas 1 2 ……^ n 0 p 10 p 20 …… pn 0 1 p 11 p 21 …… pn (^1) Artículos 1 2 … n 2 p 12 p 22 …… pn 2 M M M …… M M M M …… M

Índices simples

p

p 10

1 t (^100) p

p 20

2 t … 100 p

p n 0

nt

t p 1 t p 2 t …… pnt

El objetivo será encontrar una medida estadística que resuma toda la información y permita conocer cuál ha sido la variación experimentada por los precios en el período t respecto al período base.

Para resumir la información obtenida a través de los índices simples, es lógico promediar éstos. De este modo, los índices complejos van a ser medias aritméticas, geométricas, armónicas y agregativas de los índices simples.

Índice de Sauerbeck: Considerando los precios relativos i 0

it i (^) p

p I = , es la media aritmética no ponderada

de los índices simples:. 100 p

p . n

S

n

i (^1) i 0

it

p ∑

=

Índice media geométrica:. 100 p

I 4 4 p i (^1) i 0

t 0 ∏ it

=

Índice media armónica:. 100

p

p

n I (^) n

i (^1) it

i 0

t 0

=

De los tres índices el que se utiliza con mayor frecuencia es el índice de Sauerbeck.

Índice media agregativa simple o de Bradstreet‐Dûtot: Consiste en considerar un índice simple de agregados de magnitudes (precios). Es decir, se calcula la razón de la media aritmética de los precios de n artículos (en el período t como en el período base):

p

p B D n

i 1

i 0

n

i 1

it P

=

Señalar que los índices analizados tienen la ventaja de ser fáciles de aplicar, pero presentan inconvenientes importantes: << No tienen en cuenta la importancia relativa de cada uno de los diferentes artículos en el conjunto total, puesto que no son ponderados >>

p

p B D 4

i 1

i 0

4

i 1 2009 it P (^2008) + + + =

=

=

p

p B D 4

i 1

i 0

4

i 1

it 2010 P (^2008) + + + =

=

=

Señalar que estos cuatro tipos de índices compuestos sin ponderar se pueden utilizar para estudiar la evolución de cualquier otra variable distinta del precio.

INDICES COMPLEJOS DE PRECIOS PONDERADOS.‐ Una presentación sobre los sistemas de ponderaciones propuestos tradicionalmente:

pi 0 .qi 0 ≡ valor de la cantidad consumida del bien i‐ésimo en el período base, a precios de período base. (situación real)

pi 0 .qit ≡ valor a precios del período base de la cantidad consumida del bien i‐ésimo en el período actual. (situación con valoración ficticia)

Los índices complejos ponderados más utilizados son: Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher,

Índice de precios de Laspeyres: La importancia de las ponderaciones

Analizan las variaciones debidas a los cambios en los precios de un conjunto de artículos ponderándolos siempre por las mismas cantidades.

El índice de Laspeyres se define como la media aritmética ponderada de los índices simples de precios. El criterio de ponderación es pi 0 .qi 0 , con lo cual:

p .q

p .q

. 100 p .q

p .q p

p

L (^) n

i 1

i 0 i 0

n

i 1

it i 0 n

i 1

i 0 i 0

n

i 1

i 0 i 0 i 0

it

p

=

=

=

==^ =

• Los criterios para le elección del período base son variados, fundamentalmente se requiere que sea un año no irregular o normal.
• El inconveniente del índice de Laspeyres es que supone que siempre se adquieren las mismas cantidades que en el período base.

Índice de precios de Paasche: alternativas al índice de Laspeyres

El índice de Laspeyres se cuestiona en ocasiones, ya que parece poco realista suponer que las cantidades compradas o adquiridas en el año de referencia no varían en el tiempo.

Como ejemplo, no parece muy realista la hipótesis de que en años de sequía, y en consecuencia, de subidas importantes de los precios de los productos agrarios, las cantidades demandadas sean iguales.

Se planteó la necesidad de disponer de otros índices que, con la finalidad de medir la variación de precios de un determinado conjunto de artículos, no estuviera sujeto a la restricción de suponer que siempre se adquirían las mismas cantidades que en el período base.

El índice de Paasche se define como la media aritmética ponderada de los índices simples de precios. El criterio de ponderación es pi 0 .qit, con lo cual:

p .q

p .q

. 100 p .q

p .q p

p

P (^) n

i 1

i 0 it

n

i 1

it it n

i 1

i 0 it

n

i 1

i 0 it i 0

it

p

=

=

=

==^ =

• El cálculo del índice de Paasche es laborioso, exige calcular las ponderaciones pit .qitpara cada período corriente.
• Otro inconveniente adicional, el índice de precios de cada año sólo se puede comparar con el del año base.

Los dos inconvenientes expuestos en el índice de Paasche, hacen que su uso ha decaído considerablemente.

Índice de precios de Edgeworth

Es una medida agregativa ponderada de precios cuyo coeficiente de ponderación es qi 0 + qit:

p .(q q )

p .(q q) E (^) n

i 1

i 0 i 0 it

n

i 1

it i 0 it p

=

=

Índice de precios ideal de Fisher

I. Fisher propuso como número índice de precios la media geométrica de los índices de precios de Laspeyres y Paasche, es decir:

Fp = Lp.P p

ÍNDICE DE VALOR

El índice de valor es el cociente entre el valor de los bienes considerados en el período actual a precios del período actual y el valor de los bienes en el período base a precios del período base, por consiguiente refleja conjuntamente las variaciones de los precios y las cantidades.

=

n

i 1

i 0 i 0

n

i 1

it it

0

t t 0 p .q

p .q

V

V

IV , se verifica IV 0 t =LPt 0 .PQt 0 =LQt 0 .PPt 0 =FPt 0 .FQ 0 t

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES

• EXISTENCIA.‐ Todo número índice debe estar bien definido y ser distinto de cero.

Ejercicio 1.‐ Supongamos que en el ejercicio anterior disponemos de información adicional sobre la cantidad vendida en cada uno de los períodos, como se detalla en la tabla adjunta. Determinar los índices de Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher para 2010, siendo el año base 2008.

2008 2009 2010 Artículos (^) precios cantidad vendida

precios cantidad vendida

precios cantidad vendida Pan 38 150 44 200 48 240 Huevos 130 400 150 580 215 560 Leche 88 700 100 780 110 925 Pollo 160 400 190 400 205 375

Solución:

Laspeyres Paasche Edgeworth Artículos pi^10 .qi 08 pi^08 .qi 08 pi^10 .qi 10 pi^08 .qi 10 (q^ i 08 +^ qi 10 ) p^ i 10 .(qi 08 +^ qi 10 ) p^ i 08 .(qi 08 +qi 10 ) Pan 7200 5700 11520 9120 390 18720 14820 Huevos 86000 52000 120400 72800 960 206400 124800 Leche 77000 61600 101750 81400 1625 178750 143000 Pollo 82000 64000 76875 60000 775 158875 124000 252200 183300 310545 223320 562745 406620

Índice de Laspeyres:. 100 137 , 59 183300

p .q

p .q L (^4)

i 1

i 08 i 08

4

i 1 2010 i^10 i^08 p 2008 = = =

=

=

Índice de Paasche:. 100 139 , 06 223320

p .q

p .q P (^4)

i 1

i 08 i 10

4

i 1 2010 i^10 i^10 p 2008 = = =

=

=

Índice de Edgeworth:. 100 138 , 40 406620

p .(q q )

p .(q q ) E (^4)

i 1

i 08 i 08 i 10

4

i 1

i 10 i 08 i 10 2010 p 2008 = =

=

=

Índice de Fisher: Fp 20102008 = Lp^20102008 .Pp^20102008 = 137 , 59. 139 , 06 = 138 , 32

INDICES COMPLEJOS PONDERADOS DE PRODUCCIÓN O CUÁNTICOS.‐ Los números índices cuánticos o de producción analizan su evolución en el tiempo, estudiando las variaciones de la producción física de un conjunto de bienes y servicios.

El criterio de ponderación es igual que en los Índices de Precios, aquí se ha de ponderar el valor neto o valor añadido del bien y no el precio de venta o valor bruto del mismo, puesto que si se hiciera así se contabilizaría una misma cantidad varias veces, tantas como etapas diferentes suponga el proceso de producción.

Los sistemas de ponderaciones propuestos tradicionalmente ⎩

q .p situación ficticia

q .p situaciónreal i 0 it

i 0 i 0

Los índices complejos ponderados más utilizados son: Laspeyres, Paasche y Fisher. El índice de Laspeyres es el que más se utiliza, tanto para Índices de Precios como para Índices Cuánticos.

Índice cuántico de Laspeyres:. 100 q .p

q .p

. 100 q .p

q .p q

q

L (^) n

i 1

i 0 i 0

n

i 1

it i 0 n

i 1

i 0 i 0

n

i 1

i 0 i 0 i 0

it

q

=

=

=

= =^ =

Índice cuántico de Paasche:. 100 q .p

q .p

. 100 q .p

q .p q

q

P (^) n

i 1

i 0 it

n

i 1

it it n

i 1

i 0 it

n

i 1

i 0 it i 0

it

q

=

=

=

==^ =

Índice cuántico ideal de Fisher: Fq = Lq.Pq

PROBLEMAS CON LA UTILIZACIÓN DE NÚMEROS ÍNDICES.‐ Fundamentalmente son referentes a dos cuestiones:

PONDERACIONES.‐ En la medida de lo posible, el tipo de ponderación debe reflejar la importancia relativa de cada bien en particular. En los índices expuestos las ponderaciones más apropiadas se basan en cantidades o valores para los índices de precios, y en precios o valores para los índices de cantidad. En la práctica, cada bien incluido en un índice complejo se suele interpretar como representativo de toda la clase de artículos relacionados y no como bien individual. En este sentido, la ponderación asignada a cada artículo individual refleja la importancia de toda la clase que representa.

PERÍODO BASE.‐ Es aquél período con respecto al que se efectúan las comparaciones, por lo que para que muchas comparaciones no pierdan significado, se suele elegir como tal un período no alejado excesivamente del período corriente. En esta línea, se hace necesario renovar periódicamente la información relativa al año base.

Observemos la tabla anterior, utilizando la BASE VARIABLE o ENCADENADA:

Años Precio refresco (euros) Índices Simples Base 2005

Índices Simples Base variable o Encadenada 2005 1,74 100 2006 1,86 106,90 106, 2007 1,94 111,49 104, 2008 2,15 123,56 110, 2009 2,25 129,31 104, 2010 2,30 132,18 102,

En la última columna, se observa que entre 2006 y 2005 el precio de la botella de refrescos varió un 6,90%, entre 2006 y 2007 un 4,30%, etc. En este ejemplo, de índices de base variable o encadenada, cada índice se calcula respecto a un año distinto.

Destacar que a partir de la serie de base variable (cuarta columna) se puede calcular el índice para base fija de cualquier período. De esta manera, el índice de los refrescos de 2010 con base 2005 sería:

I 20102005 =I^20062005 .I^20072006 .I^20082007 .I^20092008. 100 = 1 , 069 x 1 , 043 x 1 , 1082 x 1 , 0465 x 1 , 0222 x 100 = 132 , 18

CAMBIOS DE BASE ó REVISIÓN DE LA BASE EN ÍNDICES COMPLEJOS.‐ El concepto de período base en los índices de un conjunto de artículos (como ocurre con los índices de Laspeyres y Paasche) no es el mismo que en un índice simple.

El período base en los índices complejos ponderados, además de ser el tiempo de referencia, es el tiempo en que se deben verificar determinados requisitos respecto a dos características: (a) Artículos o elementos independientes a los que se refiere el índice. (b) Ponderaciones que se van a asignar a cada elemento o artículo.

Los índices complejos, como los índices simples, pueden elaborarse con un sistema de base fija o con un sistema de base variable o de encadenamientos. Cuando se elige un sistema de base fija, no hay que olvidar que la estructura del gasto está sometida a una constante evolución. En otras palabras, a medida que nos alejamos del período base se van a producir cambios de distinta índole, que responden fundamentalmente a dos características: (a) Cambios en los bienes o servicios que componen el índice. (b) Cambios en los gustos o preferencias de los agentes económicos.

Ejercicio 3.‐ En la tabla adjunta se presentan los datos de un conjunto de bienes ∑ pit .qi 0 y

∑ p'^ it .q'i 0 ,^ respectivamente,^ donde^ los^ períodos^ de^ ponderación^ son^2000 y^ 2005:

Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Base=2000 10 11 12 13 15 16 Base=2005 18 18,6 20 22 23 24

a) Hallar los correspondientes índices de precios de Laspeyres. b) Determinar los índices de precios entre los períodos 2000 ‐ 2004 con base 2005.

Solución: a) Los correspondientes índices de Laspeyres serían:

L (^) p^20002000 = =. 100 100 % 18

L (^) p^20052005 = =

L (^) p^20012000 = =. 100 103 , 33 % 18

L (^) p^20062005 = =

L (^) p^20022000 = =. 100 111 , 11 % 18

L (^) p^20072005 = =

L (^) p^20032000 = =. 100 122 , 22 % 18

L (^) p^20082005 = =

L 2004 15

p 2000 =^ = 18.^100127 ,^78 %

L 2009 23

p 2005 = =

. 100 160 % 10

L 2005 16

p 2000 =^ = 18.^100133 ,^33 %

L 2010 24

p 2005 = =

Índice de Laspeyres Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Base=2000 100 110 120 130 150 160 Base=2005 100 103,33 111,11 122,22 127,78 133,

b) Determinar los índices de precios entre los períodos 2000 ‐ 2004 con base 2005=100.

Con la definición de cambio de base (^) h 0

i ih 0 I

I = I , se tiene:

L

L

L 2005

p 2000

2000 2000 p 2000 p 2005 =^ = =.^ Para^ los^ otros^ índices^ de^ Laspeyres:

L (^) p^20012005 = Lp^20012000 .Lp^20002005 = 110. 62 , 5 = 68 , 75 % L (^) p^20022005 =Lp^20022000 .Lp^20002005 = 120. 62 , 5 = 75 %

L (^) p^20032005 = Lp^20032000 .Lp^20002005 = 130. 62 , 5 = 81 , 25 % L (^) p 20042005 =Lp^20042000 .Lp^20002005 = 150. 62 , 5 = 93 , 75 %

Índice de Laspeyres Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Base=2000 100 110 120 130 150 160 Base=2005 62,5 68,75 75 81,25 93,75 100 103,33 111,11 122,22 127,78 133,

DEFLACTAR SERIES ESTADÍSTICAS.‐ Los números índices, y en especial los números índices de precios, tienen aplicaciones muy importantes en el mundo real.

Una función importante del dinero es la de pasar de unidades físicas a una unidad de cuenta común, mediante una valoración de los distintos bienes y servicios, generalmente mediante la utilización de un sistema de precios.

Realizada la homogeneización podemos efectuar comparaciones en base a la unidad de cuenta común, siempre que no se hayan producido cambios en los precios de determinados artículos.

En otras palabras, la comparación es posible cuando la valoración se realiza a precios constantes (de un período determinado), no es posible realizarla cuando se efectúa a precios corrientes (precios de cada período), puesto que las alteraciones de los precios de un período a otro asignan distinto poder adquisitivo a las unidades monetarias (en cuanto a su poder de compra, un euro de 2001 no es equivalente a un euro de 2010).

Para clarificar lo expuesto, podemos recurrir a un ejemplo sencillo: <>.

El procedimiento que permite transformar una serie expresada en valores corrientes a valores constantes se conoce como deflactación de la serie y al índice elegido para dicha transformación se le llama deflactor. El deflactor no siempre es el mismo, en cada caso habrá que elegir el óptimo para cada alcanzar el objetivo deseado.

Ejercicio 5.‐ En la tabla se recoge el salario anual de un trabajador en el período 2005 ‐2010:

Índice de evolución del salario monetario Años 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Salario anual (euros) 6840 7102 7524 8208 8892 9234 Índice evolución 100 105 110 120 130 135

Como puede observarse, en la tercera fila se incluye un índice simple de evolución del salario del trabajador, tomando como base el año 2005. El índice de 2010 es de 135%, es decir, el salario del trabajador se ha incrementado durante éste período un 35%.

Para saber si realmente los salario han aumentado en término de lo que se puede adquirir con ellos, la forma más elemental sería compararlos con las subidas del IPC (que proporciona un indicador general de las variaciones de los precios de los bienes y servicios que adquieren las familias españolas).

Índices de evolución salario monetario y salario real

Años

Salario anual (euros)

Índice evolución salario monetario

IPC

Base 2005 (deflactor)

Salario anual real (deflactado) = Salario real/IPC

Índice evolución salario real

2005 6840 100 100 6840 100 2006 7102 105 106 6700 97, 2007 7524 110 109 6902,8 100, 2008 8208 120 119 6897,5 100, 2009 8892 130 125 7113,6 104 2010 9234 135 130 7103,1 103,

El salario anual real (salario deflactado) se obtiene dividiendo el salario anual de cada año o salario monetario por el IPC de cada año. La deflactación es el proceso que ha permitido transformar los salarios anuales (en euros) a salarios reales, eliminando el efecto de la inflación. El índice elegido como deflactor ha sido el IPC. La serie deflactada se denomina serie a precios constantes.

En un caso general, en donde la serie estadística sea el resultado de un valor, es decir, el resultado de multiplicar cantidades por precios, se tiene la tabla adjunta:

Períodos Valor^ nominal (en euros corrientes)

Valor real (en euros constantes del período 0)

=

n

i 1

V 0 pi 0 .qi 0 ∑

=

n

i 1

i 0 i 0

R V 0 p .q

=

n

i 1

V 1 pi 1 .qi 1 ∑

=

n

i 1

i 0 i 1

R V 1 p .q

=

n

i 1

V 2 pi 2 .qi 2 ∑

=

n

i 1

i 0 i 2

R V 2 p .q

M M M

t ∑

=

n

i 1

Vt pit.qit ∑

=

n

i 1

i 0 it

R Vt p .q

M M M

Los índices de precios más utilizados son los de Laspeyres y Paasche, vamos a observar como actúan estos índices en su aplicación para deflactar una serie estadística.

n ∑

=

n

i 1

Vn pin.qin ∑

=

n

i 1

i 0 in

R Vn p .q

Sea ∑

=

n

i 1

Vt pit.qit el valor de la magnitud compleja en el período t. Utilizando como deflactor el índice

de Laspeyres

=

n

i 1

i 0 i 0

n

i 1

it i 0 p p .q

p .q L , se tiene:

R n^0 q t

i 1

it i 0

n

i 1 n it it

i 1

i 0 i 0

n

i 1

i 0 i 0

n

i 1

it i 0

n

i 1

it it

p

t (^) V.P V p .q

p .q p .q.

p .q

p .q

p .q

L

V = = = ≠

=

=

=

=

=

No se pasa de valores monetarios corrientes a valores monetarios constantes. A pesar de ello, el índice de Laspeyres se utiliza como deflactor muchas veces, por ser el que se elabora más comúnmente.

La tasa de variación media ( t (^) m) es la media aritmética ponderada de las distintas tasas de variación

en el período analizado: t (^) m^1009 = 6 , 3. 0 , 20 + 3 , 8. 0 , 50 + 1 , 8. 0 , 30 = 3 , 7

Se observa que la suma de las repercusiones de las distintas categorías coincide con el índice general de la tasa de variación.

En términos de tasas, el índice crece un 3,7%, correspondiendo la mayor subida a la vivienda con un 6,3%, seguida de los alimentos con un 3,8%, y siendo otros bienes y servicios el grupo que menos aumenta con un 1,8%.

Un simple análisis al comparar las tasas de variación deja ver donde se producen las mayores subidas de precios, diciendo que la vivienda es el grupo más inflacionista. No obstante, no olvidemos que nuestro objetivo no es identificar en qué categoría suben más los precios, sino identificar que categoría contribuye más al proceso de inflación.

Con un razonamiento simple, se llega a que la categoría que tiene mayor repercusión sobre la inflación son los alimentos: La subida de precios de la vivienda supone 1,26 puntos porcentuales de los 3,7 puntos porcentuales que ha subido el IPC, mientras que los alimentos suponen un 1,9 puntos porcentuales de los 3,7 puntos porcentuales del IPC.

Generalizando, con una expresión matemática con más rigor, definimos la REPERCUSIÓN ó

APORTACIÓN, de la variación del artículo i‐ésimo en el índice general:

=

n

i 1

i 0 i 0

i it i^0 p .q

R p .q

donde Ri es la repercusión de una variación en el precio del artículo i sobre el índice general de

precios.

De otra parte, (^) p

n

i 1

∑Ri^ =ΔL

=

, la suma de las repercusiones de los n artículos que componen el índice

general es igual a la variación total de dicho índice general. En nuestro caso, el índice general es un índice de Laspeyres.

Finalmente, la PARTICIPACIÓN en porcentaje de la componente i‐ésima en la variación del índice general es el cociente entre Ri en porcentaje y la suma de las repercusiones en porcentaje de todos los artículos, expresada en tantos por ciento:

p .q

R

P (^) n

i 1

it i 0

i i

=

Ejercicio 6.‐ Del índice de precios de consumo (I.P.C.) con base 2001=100, se sabe que:

Grupos Índicemedio^ mensual de 2005 Ponderaciones Índicemedio^ mensual de 2006

1. Alimentos, bebidas y tabaco 140,5 330 145,
2. Vestido y calzado 132,4 85,6 138,
3. Vivienda 121,6 187,3 123,
4. Menaje 129,7 76,4 131,
5. Servicios médicos y sanitarios 122,4 21,8 123,
6. Transportes y comunicaciones 118,7 144,2 120,
7. Esparcimiento, enseñanza y cultura 126,1 68,3 128,
8. Otros bienes y servicios 134,2 86,4 137, 1000

a) Determinar las repercusiones y participaciones de cada uno de los grupos del I.P.C. en la variación sufrida por el índice general en 2006. b) ¿Cuáles son los grupos más y menos afectados por la subida de precios?

Solución:

NOTA.‐ El I.P.C. es un índice de Laspeyres

=

n

i 1

i

n

i 1

i i P w

I.w L , siendo Ii los índices de cada grupo y wi las

ponderaciones de cada bien o servicio.

Cuando las magnitudes simples que forman cada grupo sufren una variación, que denotamos por

Δ p 1 ,Δp 2 , L ,Δpn, tenemos un nuevo índice de Laspeyres:

=

=

• Δ = n

i 1

i

n

i 1

i i i P P w

(I I).w L L.

La variación del Índice General, restando las dos igualdades anteriores, resulta:

=

=

=

=

=

=

Δ = +Δ − = n

i 1

i

n

i 1

i i n

i 1

i

n

i 1

i i n

i 1

i

n

i 1

i i i P P P P w

I.w

w

I.w

w

(I I).w L (L L) L ≡

=

=

Δ = n

i 1

i

n

i 1

i i P w

I.w L

La variación del porcentaje del Índice General :.^100 I.w

I.w

. 100

w

I.w

w

I.w

L

L

n

i 1

i i

n

i 1

i i

n

i 1

i

n

i 1

i i

n

i 1

i

n

i 1

i i

P

P

=

=

=

=

=

= Δ =