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17 Análisis matemático para Ingeniería. M. MOLERO; A. SALVADO R; T. MENARG UEZ; L. G ARMENDI A
CAPÍTULO 1
Los números complejos
La variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de áreas tan variadas como pueden ser hidráulica, aerodinámica, electricidad, electromagnetismo... Algunos de ellos sólo requieren el conocimiento de los números complejos, como sucede en el caso del cálculo de los autovalores asociados a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Otros en cambio requieren la utilización de la teoría de funciones analíticas complejas, como los problemas de contorno que aparecen, por ejemplo, en el estudio del flujo de fluidos,^1
Dentro de las Matemáticas propiamente dichas, es interesante estudiar la variable compleja por estar estrechamente relacionada con distintas áreas, de manera que su estudio pueda hacer accesible parte del álgebra, de la
la conducción del calor, la elasticidad o el potencial electrostático. Muchos problemas geométricos pueden resolverse utilizando las transformaciones complejas. Mientras que para los primeros bastaría con los contenidos que se revisan en este capítulo, sobre los números complejos y las propiedades de sus operaciones que quizá ya conozca el alumnado de secundaria, sin embargo para resolver los problemas de los siguientes tipos se requiere un conocimiento profundo sobre las funciones complejas que se estudiarán en los siguientes capítulos.
(^1) Ver en Lamb, H.: Hydrodynamics , aplicaciones de la teoría de funciones analíticas a la hidrodinámica.
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trigonometría, o proporcione herramientas para el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Comienza este capítulo con una revisión del conjunto de los números complejos, su estructura algebraica de cuerpo conmutativo, la conjugación, los conceptos de módulo y argumento, su interpretación geométrica en el plano y las operaciones elementales en forma binómica y en forma polar, pues para poder entender adecuadamente las funciones de variable compleja es necesario comprender el conjunto sobre el que están definidas: los números complejos. Se suponen conocidas las propiedades de los números reales. Al dotar el campo de los complejos de una distancia se tiene un espacio métrico. La estructura de orden de los números reales se pierde con los números complejos, por lo que el concepto de infinito es ahora distinto. Es preciso ampliar el conjunto de los complejos añadiendo un nuevo ente, el infinito, y explicar su significado.
1.1. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
Los antiguos algebristas operaron con expresiones en las que aparecía − 1. Leibniz, en el siglo XVII, todavía decía que − 1 era “ una especie de anfibio entre el ser y la nada ”. En 1 777 Euler le dio al “ monstruo ” − 1 el nombre de i (por imaginario ). En la actualidad esta notación se usa casi universalmente, excepto en ingeniería eléctrica, donde se utiliza j en lugar de i, ya que esta letra se usa para indicar la intensidad de la corriente.
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i⋅ y , es decir, con su parte real nula. Dos números complejos z 1 = x + i⋅ y y z 2
1.1.2. Operaciones en forma binómica
= u + i⋅ v son iguales si y sólo si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias: x = u , y = v.
Las operaciones de suma y producto definidas en los números reales se pueden extender a los números complejos. Para la suma y el producto de dos números complejos escritos en la forma binómica: x + i⋅ y , u + i⋅ v se tienen en cuenta las propiedades usuales del Álgebra con lo que se definen: Definición 1.1.2: Suma: ( x + i⋅ y ) + ( u + i⋅ v ) = ( x + u ) + i⋅( y + v ) Definición 1.1.3: Producto: ( x + i⋅ y ) ⋅ ( u + i⋅ v ) = ( x ⋅ u – y ⋅ v ) + i⋅( x ⋅ v + y ⋅ u ) Se comprueba que el cuadrado del número complejo i es un número real negativo, –1, pues: (0 + i) ⋅ (0 + i) = –1 + i⋅(0) = –1. Si los números complejos son reales, con su parte imaginaria nula, estas operaciones se reducen a las usuales entre los números reales ya que: ( x + i⋅0) + ( u + i⋅0) = ( x + u ) + i⋅(0) ( x + i⋅0) ⋅ ( u + i⋅0) = ( x ⋅ u ) + i⋅(0) Esto permite considerar al cuerpo de los números reales ℜ como un subconjunto de los números complejos, C. Definición 1.1.4:
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El conjugado del número complejo z = x + y ⋅i, se define como: z = x − y ⋅i
1.1.3. Propiedades algebraicas
El conjunto de los números complejos con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo. Esto es, verifica las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa de la suma: ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) para todo z 1 , z 2 , z 3
- Propiedad conmutativa de la suma: z
∈ C.
1 +^ z 2 =^ z 1 +^ z 2 para todo^ z 1 , z 2
- Existencia de elemento cero: Existe un elemento, 0 = 0 + 0⋅i, tal que para todo z ∈ C , verifica: z + (0 + 0⋅i) = (0 + 0⋅i) + z = z.
∈ C.
- Existencia de elemento opuesto: Para todo z ∈ C , existe – z ∈ C , definido como – z = – x + (–y)⋅i, tal que z + (– z ) = 0.
- Propiedad asociativa del producto: ( z 1 ⋅ z 2 )⋅ z 3 = z 1 ⋅( z 2 ⋅ z 3 ) para todo z 1 , z 2 , z 3
- Propiedad conmutativa del producto: z
∈ C.
1 ⋅ z 2 =^ z 1 ⋅ z 2 para todo^ z 1 ,^ z 2
- Existencia de elemento unidad: Existe un elemento, 1 = 1 + 0⋅i, tal que para todo z ∈ C , verifica: z ⋅(1 + 0⋅i) = (1 + 0⋅i)⋅ z = z.
∈ C.
- Existencia de elemento inverso: Para todo número complejo no nulo, z ∈ C / {0}, existe z -1= (^1) z = xx 2 −+ iy y 2 , tal que z ⋅ z -1^ = 1.
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teniendo en cuenta que i^2
(2 – i)⋅(1 + 2i) = 2 + 4i – i – 2i
2 Ejemplo 1.1.2: El conjugado del número complejo z = 3 + 5i, es
= 2 + 4i – i + 2 = 4 + 3i. z = 3 − 5 i Ejemplo 1.1.3: Para dividir números complejos se multiplica, numerador y denominador por el conjugado del denominador, y así se consigue que el denominador sea un número real:
12 +^ i= ( 1 +^2 ( i)^1^ ⋅−( 1 i)−i)=^21 −+ 12 i=^1 −^ i. Ejemplo 1.1.4: Para elevar a potencias la unidad imaginaria, se tiene en cuenta que i^2 = –1, y por tanto, i^3 = –i, i^4
i
6
i
-3 (^) i_._ ( 1)
i i
i
Ejemplo 1.1.5: Calcular (1 + i)^4 Utilizando el binomio de Newton se obtiene:
(1 + i)^4 = (^) 04 14 + (^) 14 i + (^) 24 i^2 + (^) 34 i^3 + (^) 44 i^4
Ejercicios
= 1 + 4i – 6 – 4i + 1 = –4.
1.1. Demostrar que las operaciones de suma y producto de números complejos dotan a C de una estructura de cuerpo conmutativo. 1.2. Comprobar que: a) (1 – i)^4 = –4.
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b) 53 +−10i4i +^2 i−i=− 2
c) (1 + i)^5 1.3. Realizar las siguientes operaciones con números complejos:
= –4 – 4i
a) (^) (1−i)⋅(2^68 −i)⋅(3 −i)
b) (2 + i) – i (1 – 2i). c) (^42) −^ +3ii +^3 5i+i
d) (3 – 2i)⋅(3 + 2i) 1.4. Comprobar si: a) Im (i z ) = Re ( z ). b) Re (i z ) = - Im ( z ). c) Im (i z ) = 0. d) Re ((3 – i)⋅( 51 + 101 i)⋅(3 + i)) = 2.
1.5. Comprobar si: a) Im z^3 = 3 x^2 ⋅ y – y b) ( Im z )
3 (^3) = y 3
c) Im
z
z (^) 22 2 x y
xy = +
1.6. Calcular: a) Im (^) zz
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números complejos pueden ser puestos en correspondencia biunívoca con los puntos de un plano. Los números reales se representan en el eje de abscisas o eje real, y a los múltiplos de i = − 1 se les representa como puntos del eje imaginario, perpendicular al eje real en el origen. A esta representación geométrica se la conoce como el Diagrama de Argand. El eje y = 0 se denomina eje real y el x = 0, eje imaginario. Como la condición necesaria y suficiente para que x + i y coincida con u + i v es que x = u , y = v , el conjunto de los números complejos se identifica con ℜ^2
La suma de números complejos corresponde gráficamente con la suma de vectores. Sin embargo, el producto de números complejos no es ni el producto escalar de vectores ni el producto vectorial.
, y los números complejos se pueden representar como puntos del “plano complejo”. El número complejo z = x + i y se corresponde con la abscisa y la ordenada del punto del plano asociado al par ( x , y ). En unas ocasiones se refiere el número complejo z como el punto z y en otras como el vector z.
El conjugado de z , z , es simétrico a z respecto del eje de abscisas.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1.2.1: Representar en el plano de Argand los números complejos:
a = 2 + i , b = 2 i y c = −2 – 2i.
Los números complejos a = 2 + i , b = 2 i y c = −2 – 2i se representan:
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Ejemplo 1.2.2: Representar en el plano de Argand los números complejos: 2 + 3i, –1 + 2i, –3 –2i, 5 + i y 4 – 3i.
Ejemplo 1.2.3: Representar el número complejo conjugado de a = 2 + i.
b = 2 i a = 2 +i
c = − 2 − 2 i
Figura 1.2: Ejemplo 1.2.1 - Representación de a , b y c.
Figura 1.3: Ejemplo 1.2.2 - Representación de números complejos
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que multiplicar por la unidad imaginaria es girar 90º.
Figura 1.2.6: Representación del producto de un número complejo por la unidad imaginaria
Ejercicios
1.7. Demostrar que C , con las operaciones de suma y el producto de un número real, tiene estructura de espacio vectorial bidimensional. 1.8. Representar gráficamente los siguientes números complejos: a) a = 3i b) b = –2i c) c = 5 d) d = 1 + i e) e = –1 – i 1.9. Representar gráficamente el conjugado de los números complejos: a) a = 3i b) b = –2i
i
Figura 1.6: Representación del producto de un número complejo por la unidad imaginaria
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c) c = 5 d) d = 1 + i e) e = –1 – i 1.10. Representar gráficamente la suma de los siguientes números complejos: a) a + b b) a + c c) b + d d) d + e 1.11. Representar gráficamente el producto de los siguientes números complejos: a) a ⋅i b) b ⋅i c) c ⋅i d) d ⋅i e) e ⋅i.
1.3. FORMA POLAR
1.3.1. Módulo
Definición 1.3.1:
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seleccionar para θ un intervalo semiabierto de longitud 2π, lo que se llama elegir una rama del argumento; por ejemplo, si se exige que θ ∈ (−π, π], (o para otros autores a [0, 2π)), se obtiene el argumento principal de z , que se denota por Arg ( z ). Si z es un número real negativo su argumento principal vale π. En ocasiones es preferible utilizar argumentos multivaluados: arg ( z ) = { Arg ( z ) + 2 k π ; k ∈ Z} donde Z representa el conjunto de los números enteros. Si se define Arg ( z ) como arctg ( y / x ) se tiene una nueva ambigüedad, ya que existen dos ángulos en cada intervalo de longitud 2π de los cuales sólo uno es válido. Por todo ello, las afirmaciones con argumentos deben ser hechas con una cierta precaución, pues por ejemplo la expresión: arg ( z ⋅ w ) = arg ( z ) + arg ( w ) es cierta si se interpretan los argumentos como multivaluados. Si z es distinto de cero, z verifica que z = z , y Arg ( z ) = − Arg ( z ).
1.3.3. Propiedades del módulo, del conjugado y del
argumento de un número complejo
Algunas propiedades del conjugado y del módulo de un número complejo son:
- ∀ z , w ∈ C , z + w = z + w , z ⋅ w = z · w , z − w = z − w.
- ∀ z ∈ C , z = z, Arg ( z ) = − Arg ( z ), arg ( z ) = − arg ( z ).
- z ∈ ℜ ⇔ z = (^) z.
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- ∀ z , w ∈ C , z ⋅ z = z ^2 , z = z , z ⋅ w = z ⋅ w , (^) wz^ = (^) wz.
- z = 0 ⇔ z = 0.
- ∀ z ∈ C , Re ( z ) = z^ 2 +^^ z , Im ( z ) = z^ 2 −i^^ z.
- ∀ z ∈ C , Re ( z )≤ z , Im ( z )≤ z , z ≤ Re ( z )+ Im ( z )
- ∀ z , w ∈ C , z − w ≤ z + w ≤ z + w Las propiedades de la conjugación prueban que ésta es un automorfismo idempotente en C. Se observa que las desigualdades 7 y 8 son siempre entre números reales, no entre complejos, por lo que sí tiene sentido escribir una desigualdad. La segunda parte de la propiedad 8 se conoce con el nombre de desigualdad triangular. Las propiedades del módulo prueban que éste es una norma en el espacio vectorial C.
La comprobación de estas propiedades se deja como ejercicio. ( Ejercicio 1.12 ).
1.3.4. Forma polar
Definición 1.3.2: Si ρ es igual al módulo del número complejo no nulo z y θ es un
argumento de z , entonces (ρ, θ) son las coordenadas polares del punto z.
La conversión de coordenadas polares en cartesianas y viceversa se hace mediante las expresiones:
x = ρ· cos θ, y = ρ· sen θ, por lo que z = x + i⋅ y = ρ·( cos θ + i⋅ sen θ). Esta última expresión es válida incluso si z = 0, pues entonces ρ = 0, por
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Ejemplo 1.3.5: Comprobar si se verifica que Arg ( z ⋅ w ) = Arg ( z ) + Arg ( w ). Se verifica que arg ( z ⋅ w ) = arg ( z ) + arg ( w ) considerando estos argumentos
como conjuntos, y en general no se verifica que Arg ( z ⋅ w ) = Arg ( z ) + Arg ( w ),
pues por ejemplo Arg ((–i)^2 ) = Arg (–1) = π, mientras Arg (–i) + Arg (–i) = – π 2 – π 2
= –π.
Ejercicios
1.12. Demostrar las propiedades del apartado 1.3.. 1.13. Discutir el significado de las siguientes expresiones, poniendo distintos ejemplos: a) arg ( z · w ) = arg ( z ) + arg ( w ), b) arg ( z ) = arg ( z – c) arg ( z/w ) = arg ( z ) – arg ( w ).
) = − arg ( z ),
1.14. Calcular el modulo y el argumento principal de los siguientes números complejos: a) 3 − i b) –2 – 2i c) 1 – 3 i d) –4i 1.15. Expresar en forma polar los siguientes números complejos: a) i
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b) –i c) 4 + 4i d) –
1.4. FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO
COMPLEJO
Definición 1.4.1.: Se denomina Fórmula de Euler a la expresión: eiθ donde θ se mide en radianes.
= exp (i⋅θ) = cos θ + i⋅ sen θ,
Definición 1.4.2: La fórmula de Euler permite expresar un número complejo no nulo en lo que se conoce como la forma exponencial : z = z ·eiθ^ = ρ·eiθ Al estudiar la función exponencial se justificará esta expresión.
Para cada valor previamente fijado de ρ los puntos de la ecuación z = ρ·eiθ Dos números complejos, z
están sobre la circunferencia de radio ρ y centro el origen. 1 =^ ρ·eiθ^ y^ z 2 =^ r ·eiα, no nulos, son iguales si, y sólo si, ρ = r y θ = α + 2 k π, donde k es cualquier número entero.
