Estática: Leyes de Newton, Vectores y Equilibrio de una Partícula, Apuntes de Estática

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ESTÁTICA DE

PARTÍCULAS

CONTENIDO

1. INTRODUCCION

2. DEFINICION DE VECTORES

3. DETERMINACION DEL VECTOR RESULTANTE

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LEYES DE NEWTON Las leyes de newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, por eso es considerado como el padre de la misma, la primera y la tercera ley son las que nos permiten analizar el equilibrio del cuerpo dentro del estudio de la estática; la segunda ley será estudiada en la asignatura de dinámica. Primera Ley de Newton – Ley de Inercia Todo cuerpo trata de mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo a no ser que un agente exterior le obligue a cambiar su estado de reposo. ∑ (^) 𝐹⃗ = 0 LEYES DE NEWTON Tercera Ley de Newton – Ley de Acción y Reacción Todas las fuerzas en el universo, ocurren en pares (dos) con direcciones opuestas. No hay fuerzas aisladas; para cada fuerza externa que actúa sobre un objeto hay otra fuerza de igual magnitud pero de dirección opuesta, que actua sobre el objeto que ejerce esa fuerza externa. En el caso de fuerzas internas, una fuerza ejercida sobre una parte del sistema, será contrarrestada, por la fuerza de reacción de otra parte del sistema, de modo que un sistema aislado, no puede bajo ningún medio, ejercer ninguna fuerza neta sobre la totalidad del sistema. Un sistema no puede por si mismo ponerse en movimiento con solo sus fuerzas internas, debe interactuar con algún objeto externo a él.

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ESCALARES Y VECTORES Todas las cantidades físicas pueden medirse mediante dos magnitudes: escalares o vectores Escalar

• Es una cantidad caracterizada por un número positivo o negativo que se puede definir por completo mediante su magnitud.
• Lo representamos a veces por una letra o símbolo: A; 𝐴⃗ Ejemplos de magnitudes escalares: masa, volumen, longitud Vector
• Una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido, línea de acción, punto de aplicación.
• Representado por una letra con una flecha. 𝐴⃗ Ejemplos de magnitudes vectoriales: posición, fuerza y momento. FUERZAS Debido a que es un vector, se rige por las operaciones del álgebra vectorial (Suma, Resta, Producto). Fuerzas más Usuales en Mecánica Tensión o Tracción Son aquellas fuerzas que aparecen en el interior de los cuerpos (cables, sogas, hilos, cadenas, vigas o barras). Punto de aplicación Compresión Es aquella fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos cuando son comprimidos o aplastados por fuerzas externas REPRESENTACION GRÁFICA DE UN VECTOR 7 8

FUERZAS Fuerza Elástica Es aquella fuerza externa que se manifiesta en los cuerpos elásticos, cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas. Esta fuerza se opone a las fuerzas externas y trata que el cuerpo elástico recupere su longitud original. La fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación longitudinal. Fuerza Normal Es una fuerza externa que se encuentra en el contacto de 2 cuerpos o superficies, surge debido a la presión que un cuerpo ejerce sobre otro. La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie donde se apoya un cuerpo. TERMINOLOGIA Vectores Fuerzas Coplanares. Son fuerzas que actúan en el mismo plano (Usados para análisis de problemas 2D) Vector Resultante. Es un solo vector que remplaza dos o mas vectores, es un vector equivalente. Vectores Fuerzas Concurrentes. Son fuerzas actuando en el mismo punto de acción. 9 10

ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS Adición por método gráfico.

• La adición de dos vectores A y B resulta en un vector R obtenido por la regla del paralelogramo. Para ello trazamos líneas paralelas a los vectores y luego trazamos la diagonal del paralelogramo que res el vector Resultante. En ESTATICA, determinar el vector Resultante o sus componentes es un problema muy común. Para encontrar el VECTOR RESULTANTE se pueden aplicar diferentes métodos de adición de vectores.
• GRÁFICO
• USO DE TRIGONOMETRÍA
• COMPONENTES RECTANGULARES ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS
• El método de construcción triangular es un variación del método anterior. En este caso trasladamos a un vector desde su punto de aplicación hacia el punto donde termina el vector que deseamos sumar. Finalmente trazamos un vector para cerrar el triangulo que viene a ser el VECTOR RESULTANTE 13 14

ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS Adición de tres o mas vectores gráficamente Si los vectores son coplanares, el vector RESULTANTE puede obtenerse gráficamente, aunque el método del paralelogramo no es tan recomendado. Por ejemplo en las figuras se muestra la aplicación del método de construcción de triangulo. Primero de manera convencional y mediante la suma de varios triángulos o acomodando los vectores uno a continuación de otro (método del polígono). ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS Sustracción vectorial

• Caso especial de adición. R’ = A – B = A + ( - B )
• Se aplica la regla de adición vectorial. 15 16

ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS CON COMPONENTES RECTANGULARES

En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus dos componentes perpendiculares entre sí. Si utilizamos el plano cartesiano con sus ejes x y y, las componentes se asignan con estas referencias. Notación escalar (componentes cartesianas)

• Los ejes x - y tienen sentido positivo y negativo.
• Se expresa cada fuerza en componentes escalares.

ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS CON COMPONENTES RECTANGULARES

Notación vectorial cartesiana (Vectores base)

• Se usan vectores cartesianos unitarios i - j para designar las direcciones x – y.
• Los vectores unitarios i - j tienen de magnitud la unidad sin dimensiones ( = 1 ).
• Las componentes cartesianas de las fuerzas son siempre una cantidad positiva con dimensiones, representadas por los escalares Fx and Fy Notación polar También podemos representar un vector de dos dimensiones indicando su módulo (o longitud) y su ángulo con respecto al eje horizontal tomado en sentido antihorario 19 20

ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS CON COMPONENTES RECTANGULARES

Dado el vector U cuya magnitud es de 5,65 N y el ángulo formado con la horizantal es గ ସ. Se requiere determinar la notación polar, escalar y vectorial el vector. Datos NOTACION ESCALAR NOTACION VECTORIAL NOTACION POLAR 𝑈௫ = 3,99 𝑁 𝑈௬ = 3,99 𝑁 𝑈 = 3,99𝚤⃗ + 3,99𝚥⃗ (^) 𝑈 = 5,65 𝑁∡45௢

ADICIÓN VECTORIAL DE FUERZAS CON COMPONENTES RECTANGULARES

Fuerza coplanar resultante Cuando están involucradas tres o más fuerzas, la determinación de su resultante R se lleva a cabo de manera más sencilla descomponiendo primero cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares. El procedimiento es el siguiente:

• Se descomponen cada fuerza en las componente x - y
• Suma algebraica de las respectivas componentes
• De manera alternativa, se pueden determinar la magnitud y la dirección de la resultante 21 22

VECTORES EN EL ESPACIO Componentes rectangulares de un vector

• Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes x-y-z, dependiendo de su orientación.
• Por dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo A = A’ + Az A’ = Ax + Ay
• Combinando las ecuaciones, A puede expresarse como A = Ax + Ay + Az VECTORES EN EL ESPACIO Representación cartesiana
• Las 3 componentes de A actúan en las direcciones i, j , k, son llamados vectores base A = Ax i + Ay j + AZ k 25 26

VECTORES EN EL ESPACIO Magnitud de una vector cartesiano

• Mirando el triangulo azul,
• Mirando el triangulo sombreado,
• Combinando las dos ecuaciones resulta la magnitud de A VECTORES EN EL ESPACIO Dirección de un vector cartesiano
• La orientación de A se define con los ángulos α, β , γ medidos desde el inicio de A y los ejes x, y, z positivos.
• 0° ≤ α, β , γ ≤ 180°, no son independientes
• Los ángulos formados entre el vector A y los vectores base son llamados cosenos directores de A son 𝐴𝑥 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 ∝ ; 𝐴𝑦 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝛽 ; 𝐴𝑧 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝛾 𝐴𝑥 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝜃௫ ; 𝐴𝑦 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝜃௬; 𝐴𝑧 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝜃௭ 27 28

SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO Sistemas concurrente de fuerzas

• La resultante es el vector suma de todas las fuerzas del sistema. Al seguir siendo componentes rectangulares, utilizamos la siguiente expresión para determinar el vector resultante VECTORES DE POSICIÓN Coordenadas x, y, z
• Sistema orientado por la mano derecha.
• El eje z positivo apunta hacia arriba, midiendo la altura de un objeto o la altitud del punto.
• Los puntos se miden relativos a un origen O. Coordenadas A: (4, 2,-6) Coordenadas B: (6, -1,4) 31 32

VECTORES DE POSICIÓN Vector posición Como las coordenadas rectangulares son puntos, puedo utilizar un vector posición para ubicación de las mismas.

• El vector posición r sirve para localizar o ubicar un punto en el espacio respecto a otro punto.
• Ej. r = xi + yj + zk VECTORES DE POSICIÓN Vector posición de B respecto a A: Como se ve en la imagen el vector posición que relaciona dos vectores no es más que parte de un vector resultante
• Podemos escribir entonces 33 34

Vector de fuerza dirigido a lo largo de una línea

• En problemas 3D, la dirección de F se puede especificar por 2 puntos a lo largo de la línea de acción de la fuerza.
• F puede expresarse como un vector cartesiano F = F u = F (r/r)
• Note que F tiene unidades de fuerzas (N) a diferencia de r, con unidades de longitud (m). Vector de fuerza dirigido a lo largo de una línea Aplicación práctica: La fuerza F actuando a lo largo de la cadena se puede representar como un vector cartesiano:
• Se establecen los ejes x, y, z.
• Formamos un vector posición r.
• Un vector unitario, u = r/r que define la dirección de la cadena y de la fuerza.
• Finalmente, F = Fu 37 38

PRODUCTO ESCALAR Algunas veces, en estática debemos localizar el ángulo entre dos líneas o las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea. En dos dimensiones, esos problemas pueden resolverse por trigonometría puesto que las relaciones geométricas son fáciles de visualizar. Sin embargo, en tres dimensiones esto suele ser difícil, y en consecuencia deben emplearse métodos vectoriales para encontrar la solución A.B 𝑨. 𝑩 donde 0°≤θ ≤ 180°. Con frecuencia, se hace referencia al producto punto como producto escalar de vectores puesto que el resultado es un escalar y no un vector. y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo entre sus colas El producto punto o PRODUCTO ESCALAR define un método particular para “multiplicar” dos vectores y se usa para resolver los problemas antes mencionados. El producto punto de los vectores A y B, que se escribe PRODUCTO ESCALAR

• Leyes o propiedades que poseé:

1. Propiedad conmutativa A·B = B·A
2. Multiplicación por un escalar a(A·B) = (aA)·B = A·(aB) = (A·B)a
3. Propiedad distributiva A·(B + D) = (A·B) + (A·D) 39 40