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FUNCIONES ELEMENTALES II
Rectas
EJERCICIO 1. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de
coordenadas de la recta 5 x 6 y 2 0. Represéntala gráficamente.
Solución:
Para calcular la pendiente, despejamos la y:
x y y x y x y x
La pendiente es. 6
m
La ordenada en el origen es. 3
n
Puntos de corte con los ejes:
1 Eje 0, 3
Y
X y
x y x x
Eje 0 2 5 6 2 0 5 2 0 5
Luego
EJERCICIO 2 : Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) x 2
y b)
y c) x
y
Solución:
a Hacemos una tabla de valores:
x 0 5
y 2 0
b) Es una recta paralela al eje que pasa por 0,. 2 2
y X
c) Pasa por el 0, 0. 3
y x
Basta dar otro punto para representarla:
Si x 3 y 5
EJERCICIO 3 : Dadas las siguientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas:
a)
x 5
y
b)
y c) 2x + 5y = 3 d) 2y – x + 3 = 0
Solución:
Calculamos la pendiente de cada una de ellas:
a
x y y x m
b y m
x y y x y x m c
d y x y x y x m
Son paralelas la a y la d por tener la misma pendiente.
Representamos ambas haciendo una tabla de valores:
a 2
x y
(^) y x
d 2 2
EJERCICIO 4 : Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: 3
x
y
Solución:
Observando que la pendiente de la recta es , lo más adecuado es tomar la escala en 25
m el eje X de
25 en 25.
Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la
escala más adecuada en el eje Y :
En el eje Y , tomamos la escala de 1 en 1.
EJERCICIO 5 : Representa las rectas siguientes:
a) y = -3,5x + 1 b)
y c) y = - x
¿Qué relación hay entre las rectas a y c?
Solución:
a Hacemos una tabla de valores:
EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos
A (1, 3) y B (5, 2) y es paralela a la recta 7 x 2 y 1 0.
Solución:
Empezamos calculando el punto medio del segmento de extremos A (1, 3) y B (5, 2):
2 Punto medio: 2, 2 2 2 2
x y P
La recta tiene la misma pendiente que 7 x – 2 y + 1 0 por ser paralelas:
y x y x m
Ecuación de la recta pedida:
2 Ecuación en la forma punto-pendiente 2 2
y x
y x y x
EJERCICIO 9 : Indica cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,-1) y B
Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el origen de coordenadas.
Solución:
Pendiente: (^3 )
m
Observamos que los puntos que nos dan son los puntos de corte con los ejes; concretamente, de A (0,
1) se obtiene que n 1.
Así, la ecuación de la recta es: 1 3
y x
La recta paralela a la anterior que pasa por (0, 0) será: 3
y x
EJERCICIO 10 : La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulo
rectángulo que se vé en la figura. Halla la expresión analítica de dicha función.
Solución:
Como corta al eje Y en (0, 3), entonces, n 3.
Pendiente: 4
m
La ecuación de la recta es:
y x
Parábolas
EJERCICIO 11 : Representa gráficamente las siguientes parábolas
a)
x x
y
2
b) x 2 x 4
y
2
c) y 2 x
2 x 3 d) y 25 x
2 75 x e) y x
2 2 x 1
Solución:
a)
Vértice:
b x y a
El vértice es V 1, 2 .
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje 0 0, 2 2
Y x y
Con el eje 0 0 2 3 0 2 2
X y x x x x
x
Puntos de corte con el eje X : 3, 0 y 1, 0
Puntos próximos al vértice:
X -2 0 1 2 3
Y 5/2 -3/2 -2 -3/2 5/
Representación
b)
Hallamos su vértice:
x y V
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje 0 2 4 0 8 16 0 4
X y x x x x
4 4, 0 , que coincide, lógicamente, con el vértice. 2 2
x
Con eje Y x 0 y 4 0, 4
Puntos próximos al vértice:
X 2 3 4 5 6
Y 1 1/4 0 1/4 1
Representación
c)
Calculamos su vértice:
x y V
Puntos de corte con los ejes:
EJERCICIO 12 : Halla las expresiones analíticas de estas parábolas:
a) b) c)
Solución:
a) La expresión analítica de ambas parábolas será de la forma y ax
2 bx c , donde a , b , c son
números reales que tenemos que calcular a partir de las gráficas.
Ecuación de la parábola I:
Punto de corte con el eje Y : 0, 6 c 6
Vértice: V 3, 3 , que además es un punto de la parábola.
Así:
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2
b b a a (^) a a a a b
a b
La ecuación de la parábola I es: y x
2 6 x 6
Ecuación de la parábola II:
Corta al eje Y en 0, 1 c 1
V
Vértice , 0 : 2
^ ^ ^ ^ ^ ^
2
a (^2 2 1 ) 1 2 4 1 1 1 1 4 2 0 1 1 2 2 4 2
b b a a a a a
a b a b
a b
La expresión analítica de la parábola II es: y 4 x
2 4 x 1
b) Sus ecuaciones serán de la forma y ax
2 bx c , a , b , c , números reales.
Ecuación de la parábola I:
Corta al eje Y en el punto 0, 5 , luego: c 5
V
El vértice es 3, , que así mismo es un punto de la parábola. Luego de aquí 2
obtendremos dos
ecuaciones cuyas incógnitas son a y b :
^ ^ ^ ^
2
b b a a a a
a b a b
a a a a b
La ecuación de la parábola I es: 3 5 2
y x x
Ecuación de la parábola II:
Corta al eje Y en 0, 2 c 2
b V b a (^) a a a a
a b a b a^ b
^
^
La ecuación de la parábola II es:
y x x
c) Observamos que ambas son parábolas, luego sus ecuaciones serán de la forma y ax
2 bx c , donde
a , b , c son números reales.
Ecuación de la parábola I:
c 4 porque pasa por 0, 4 .
Vértice V 4, 0, de donde sacamos dos ecuaciones:
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
b b a a a^ a^ a^ a^ b
a b
La ecuación de la parábola I es: 2 4 4
y x x
Ecuación de la parábola II:
c
porque pasa por 0,. 2 2
b V b a a a a b
a b a b
^
^ ^ ^ ^ ^ ^
La ecuación de la parábola II es: 2 2 2
y x x
EJERCICIO 13 : Completa las expresiones de estas dos gráficas:
2 a y x 12 x
2 b y x
Solución:
Parábola a
Punto de corte con el eje Y : 0, 10 c 10
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (^)
V (^) b a a b a
Ecuación de a: y 3 x
2 12 x 10
Parábola b
c 4 la ecuación será de la forma y ax
2 4. Un punto de la parábola es el 1, 1, así:
1 a 4 a 3
La ecuación buscada es: y 3 x
2 4
Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO EJERCICIO 17 : 10
Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones: a y x
2 2 x
b)
2
y x
c) x 2
y
2
d) y =
2
x
Solución: a III b II c IV d I
EJERCICIO 18 : Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente:
a y x
2 3 x
b y x 3
2
c y 2 3 x
2
d) y = x x 1
Solución: a I b IV c II d III
Rectas y parábolas
EJERCICIO 19 : Resuelve gráfica y analíticamente los sistemas siguientes:
a)
y 1 x
y x 2 x 3
2
b)
x y 3 0
y x 4 x 5
2
c)
y 3 0
y 2 x 8 x 11
2
Solución:
a)
Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos:
x
2 2 x 3 1 x x
2 3 x 4 0
x
Si x 4 y 1 4 5
Si x 1 y 0 Las soluciones son: x 4, y 5 ; x 1, y 0
Resolución gráfica
Representamos la parábola y x
2 2 x 3:
Vértice:
b x y a
V 1, 4
Cortes con los ejes:
Eje Y x 0 y 3 0, 3
2
Eje 0 2 3 0 2 2 3
X y x x x
1, 0 y 3, 0
Valores en torno al vértice:
X -4 -2 -1 0 2
Y 5 -3 -4 -3 5
Representamos la recta y 1 x :
x 1 0
y 0 1
Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en 4, 5 y 1, 0.
b)
Resolución analítica : Despejamos y de cada ecuación e igualamos:
^
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2 2
2 2
y x x x x x x y x x x x x
x El sistema no tiene solución.
Resolución gráfica
Representamos la parábola y x
2 4 x 5:
Vértice:
b x y a
V 2, 1
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 5 0, 5
Con el eje X y 0 x
2 4 x 5 0
x X
La parábola no corta al eje. 2 2
Puntos próximos al vértice:
X 0 1 2 3 4
Y 5 2 2 2 5
x y y x
Representamos la recta 1. 3 3
Funciones a trozos
EJERCICIO 20 : Representa las funciones cuyas expresiones analíticas son:
a)
0 six 2
x 1 si- 1 x 2
2 six -
y b)
x- 6 six 4
3 si 0 x 4
x 3 six 0
y c)
**- 2x 7 si 2 x 6
six 3
x 1
y
d)
2x 1 six 2
5x- 1 si 1 x 2
six 1
y e)
6 six 1
2x 4 si- 1 x 1
2 six -
y
f)
3 six 2
x 1 si- 1 x 2
2 x 5 six -
y
2 g)
x 4 six 1
( 4 x 4 ) si- 2 x 1
4 six -
y
2
Solución:
a)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
X - -2 -1 -1 2 2 3 +
Y -2 -2 -2 0 3 0 0 0
Representamos los tres trozos en los mismos
ejes:
b)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
X - -1 0 0 4 4 5 +
Y - 2 3 3 3 -2 -1 +
Representamos los tres trozos en los mismos
ejes:
c)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
X - -5 -3 0 2 2 6
Y - -3 -2 -1 -1 3 -
Representamos los tres trozos en los mismos
ejes:
Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO d) 14
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
X - 0 1 1 2 2 3 +
Y 1 1 1 4 9 5 7 +
Representamos los tres trozos en los mismos
ejes:
e)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
X - -2 -1 -1 1 1 2 +
Y 2 2 2 2 6 6 6 +
Representamos los tres trozos en los mismos
ejes:
f)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
X - -2 -1 -1 -1/2 0 1 2 2 3 +
Y - 1 3 0 -3/4 0 3 3 3 3
Representamos los tres trozos en
los mismos ejes:
g)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
X - -3 -2 -2 1 1 2 +
Y -4 -4 -4 -4 0 -3 0 +
Representamos los tres trozos en
los mismos ejes:
EJERCICIO 22 : Observa la gráfica de la función f , completa la siguiente tabla de valores y halla su
expresión analítica:
Solución:
Completamos la tabla observando la gráfica:
x 3
y^2 0 1 0 1 3
Para hallar la expresión analítica de la función f , buscamos la ecuación de cada tramo de recta:
Si < 2, la recta pasa por ( 3, 2) y , 0 : 2
x
m y x y x
Si x 2, la recta pasa por (0, 0) y (1, 1): m 1 y x
La expresión analítica de la función f es:
4 10 si 2
si 2
x x y x x
Funciones de proporcionalidad inversa
EJERCICIO 23 : Representa gráficamente las siguientes funciones:
a)
x 4
y
b) 2
x 3
y
c)
x 5
x 7
y
Solución:
a) Dominio de definición: R – {-4}
Tabla de valores
X - -7 -5 -
-3 -1 (^) +
Y 0 1 3 + - -3 -1 0
Las asíntotas son la recta y 0 y la recta x 4.
b) Dominio de definición: R – {3}
X - 1 2 3
(^4 5) +
Y -2 -1,5 -1 + - -3 -2,5 -
Las asíntotas son las rectas x 3 e y 2.
c)
x 5
x 7
y
x 5
y 1
Dominio de definición: R – {5}
X - 3 4 5
(^6 7) +
Y -1 -2 -3 - + 1 0 -
. Las asíntotas son las rectas x 5, y 1.
Funciones radicales
EJERCICIO 24 : Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = 1 3 x b) y = 3 x 1 c) y = 2 x 3 1
Solución:
a) Dominio de definición: (-,0]
Hacemos una tabla de valores:
X - -3 -2 -1 0
Y - -2 -1,45 -0,73 -
b) Dominio de definición: ,
3
Hacemos una tabla de valores:
X 1/3 1 2 3 +
Y 0 1,41 2,24 2,83 +
c) Dominio de definición:
Tabla de valores:
X -3/2 -1 1/2 3 +
Y -1 0 1 2 +
Funciones radicales y de proporcionalidad inversa
EJERCICIO 25 : Resuelve gráficamente el siguiente sistema:
x 4
y
y 2 x 2
Solución: Representamos gráficamente cada una de las funciones:
y 2 x 2 Es una función radical.
Exponenciales y logarítmicas
EJERCICIO 27 : Representa las siguientes funciones haciendo en cada caso una tabla de valores:
a y 2
0,5 x b y log 6 x
Solución:
0,5 (^2) a) 2 equivale a 2
x x y y
X - -4 -2 0 2 4 +
Y 0 1/4 1/2 1 2 4 +
Se observa en la gráfica que es una función creciente, cosa que ya sabíamos puesto que
1 2 a 2 2 1.
b
X 6
0 6
1 6
2 6
+
x 0
1/36 1/6 (^1 6 36) +
y (^) + +2 1 0 -1 -2 (^) -
EJERCICIO 28
a Pon en forma exponencial 4
0,5 x y representa la función y 4
0,5x .
b Comprueba si pertenecen a la gráfica de y log 5 x los puntos 1, 2, 5, 1,
, (3,-2) y
Solución:
1 0,5 0,5 (^2) a) 4 4 4 4 2
x x x x x
Representar la función y 4
0,5x equivale a representar la función y 2
x .
Hacemos una tabla de valores:
X - -2 -1 0 1 2 +
Y 0 1/4 1/2 1 2 4 +
b El dominio de definición de y log 5 x es 0, , luego el punto 1, 2 no pertenece al dominio por
ser x 1 0. El resto de puntos tienen abscisa positiva, luego pueden pertenecer a la gráfica de la
función:
1 5
1 5
Pertenecen a la gráfica. 1 1 1 , 1 1 5 5 5 5
log
log
2 (^5 )
3, 2 2 3 5 3 No pertenece a la gráfica. 5 25
log
^ ^ log ^ ^
2 5 25, 2 2 25 5 25 Pertenece a la gráfica.
Los puntos que pertenecen a la gráfica son: (^)
5, 1 , , 1 y 25, 2 5
EJERCICIO 29
a Halla el valor de k y a para que la gráfica de y ka
x
pase por los puntos 1, 6 y
Indica razonadamente si la función obtenida será creciente o decreciente, sin representarla.
b Representa la función y 2 log 7 x****.
Solución:
a) pasa por los puntos 1, 6 y 2, : 4
x y ka
^ ^ ^ ^ ^ ^
1 2 3 3 2 1
ka ka a a a ka ka
k k a k k a
La función es 3 , función decreciente por ser 1. 2 2
x
y a
b
X 7
0 7
1 7
2 7
+
x 0 1/49 1/7 (^1 7 49) +
y (^) - 0 1 2 3 4 +
EJERCICIO 30 : Escribe el dominio de la función y 4
x y represéntala gráficamente. Escribe la
expresión analítica y representa la función inversa de y 4
x .
Solución:
y 4
x es una función exponencial su dominio son todos los números reales.
Hagamos una tabla de valores para
representarla:
X - -2 -1 0 1 2 +
Y 0 1/16 ¼ 1 4 16 +
