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Funciones elementalesFunciones elementales
1
Teoría de funciones.
Definición: Una función real de variable real (o de una variable) es unaaplicación que asigna a cada elemento
de un conjunto D una única
x
g^
j
imagen
(^
)
:^
f^
D
x^
f^
x
R →
R
¿Alguna de estas expresiones representa una función real?
2 2
2
y^
x
x^
y
Definición: El dominio de una función es el conjunto de números realesque tienen imagen real a través de
es decir el subconjunto de f^
R
que tienen imagen real a través de
, es decir, el subconjunto de
para el cual la función está definida.
f
(^
)^
(^
{^
/
D
f^
x^
f^
x
=
∈
∈
R
R
R
2
Funciones elementales.
- Función afín
(^
)^
,^
0,
,^
.
f^
x^
ax
b a
a b
=
≠
∈
R
E
l^
ti^
l^
l
0 b
E
n el caso particular
, a la
función se llama función lineal:
(^
)^
f
0 b =
(^
D
f^
=
R
(^
)^
,^
f^
x^
ax a
Su gráfica es una recta, con
(^
)
pendiente positiva o negativadependiendo del signo delcoeficiente
(^
)^
f^
x^
x
3
coeficiente
.
a
Funciones elementales
- Función cuadrática
(^
)^
2
,^
0,
, ,
.
f^
x
ax
bx
c a
a b c
=
≠
∈
R
(^
D
f^
=
R
La gráfica de la función cuadrática es unaparábola, con forma de u o de u invertida,
f
La función cuadrática secorresponde con un
dependiendo del signo del coeficiente
a
p
polinomio de grado dos yes un caso particular de lafunción polinómica.función polinómica. (
)^
1 1
1
0
,^
n^
n
n^
n^
n^
i
f^
x^
a x
a
x^
a x
a
a
a
− −
R
(^
)^
2 2
f^
x^
x =^
Funciones elementales.
- Funciones racionales,
( )
(^
)^
( )
, ( ) P^ n n
x
f^
x^
Q
x
=
dondeson polinomios en x
n^
n
P
x^
y Q
x
(^
)^
{^
}
/^
( )
n
D
f^
x^
Q
x
=
∈
≠
R b
Los ejemplos más sencillos:
(^
)^
x
f^
x^
x
=^
(^
)^
,^
,^
ax
b
f^
x^
a b c d
c
cx
d
=
R
áfi
hi é b l
(^
)^
a
f^
x^
a x =
R
5
cuyas gráficas son hipérbolas
.
Funciones elementales.
- Función exponencial,
(^
)^
,^
x
f^
x^
a
a
a
a
R
Esta función es creciente o decreciente en todo su dominiodependiendo de que el parámetro
sea mayor o menor que
uno.
a
(^
)^
1 2
x
f^
x^
⎛^
⎞
⎜^
⎟ ⎝^
⎠
(^
)^
x 2
f^
x^
=
Tiene especial importancia la funciónTiene
especial importancia la función
exponencial con base
e
(^
)^
x
f^
x^
e
(^
)^
x
f^
x
e
(^
)
D
f^
R
6
(^
)
f^
x
e
(^
)
D
f^
= R
Funciones elementales.
- Función logarítmica El logaritmo es la función matemática inversa de la función exponencial.Logaritmo de un número (x) es el exponente (n) al que hay que elevar labase (a) para que nos de dicho número (x).
l^
n
log
n
a^ x^
n^
x^
a
=^
Se define la función logarítmica como:
(^
)^
log
,^
a
f^
x^
x^
a^
a^
a
=^
>^
R
Se
define la función logarítmica como: Algunas propiedades de los logaritmos son:
(^
)
log
.^
log (
)^
log (
)
a^
a^
a
x y
x^
y
=
log
log (
)^
log (
)
a^
a^
a
x^
x^
y
y ⎛^
⎞
=
−
⎜^
⎟ ⎝^
⎠ (^
)
log
. log (
)
n
a^
a
x^
n
x
=
7
Funciones elementales.
- Función logarítmica
e
Tiene especial importancia la función logarítmica con base
Tiene
especial importancia la función logarítmica con base
llamada logaritmo neperiano
(^
)^
ln
.
f^
x^
x
=
(^
)^
{^
}
/^
D
f^
x^
x
=
∈
>
R
La función logaritmo neperiano
ln
y^
x
La
función logaritmo neperiano es creciente en todo sudominio y solamente estádefinida para valores positivosdefinida para valores positivosde la variable x.
a
(^
)^
n
Ln x
n^
x^
e
0 1
(^
Ln x
n^
x^
e
Ln
e
Ln e
e^
e
=^
8
Funciones elementales. Operaciones con funciones Sean
dos funciones reales
,^
:
f^
g
D
IR
IR
⊆
→
de variable real. Podemos definir: ^
Suma de funciones
(^
) (^
)^
(^
)^
(^
)
f^
g
x
f^
x
g
x
=
(^
)(
)^
(^
)^
(^
)
f^
g
f^
g
Producto por un escalar :
(^
)(
)^
(^
)
f^
x
f^
x
α
α
⋅^
=
⋅
Producto de funciones:
(^
)(
)^
(^
)^
(^
)
f^
g
x^
f^
x^
g
x
⋅^
=
⋅
^
Cociente: Si
entonces:
(^
)^
0,
g
x
x
D
≠
∀ ∈
(^
)
(^
)^
(^
) (^
)
f^
x
f^
x
g
g
x
⎛^
⎞^
⎜^
⎝^
13
Funciones elementales. Operaciones con funciones ^
Composición de funciones
g^
f
IR
IR
IR
(^
)
(^
)
(^
) (
)^
(^
)
(^
)
IR
IR
IR
x^
g x
f^
g x
f^
f
(^
) (
)^
(^
)
(^
)
f^
g^
x^
f^
g x
o
Ejemplos:
(^
2 )
y^
sen x
(^
) 2
1
y^
Ln x =^
−
Ejemplos:
(^
)
2
2
x^
x^
sen x
(^
)
2
2
1
1
x^
x^
Ln x
→
−^
→
−
14
Funciones elementales. CONTINUIDAD CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
S^
ti^
t d
d
i i
l^
i^
i^
t^
f^
i
^
Son continuas en todo su dominio las siguientes funciones
:
^
Función afín ^
Funciones polinómicas ^
Función racional ^
Función exponencial ^
Función logarítmica ^
Funciones seno y coseno
^
Sean dos funciones f(x)
y g(x) continuas en todo su dominio
^
La suma de funciones continuas es una función continua ^
El producto de un escalar por una función continua es una funcióncontinua ^
El producto de dos funciones continuas es una función continua ^
El cociente de dos funciones continuas es una función continua, SALVOEN AQUELLOS PUNTOS EN QUE SE ANULA EL DENOMINADOR
15
