EJERCICIOS DE MATEMATICA FINANCIERA, Ejercicios de Matemática Financiera

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MATEMATICAS FINANCIERAS

Interés : es la cantidad pagada por el uso de dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital. Tasa de interés : designamos con C a una cierta cantidad de dinero en una fecha dada, cuyo valor aumenta a N en zona fecha posterior. “C” C se conoce como Capital a “M” M se conoce como Monto o Valor acumulado de C M=S I-M-C se conoce como Interés Ejemplo: Beto obtiene de lado un préstamo de 5 mil pesos y al final del año le pagan 5250 pesos. C= 5000 M= i=? i= M – C = 5250 – 5000 = 250 La tasa de interés (i) debe vengada o cargada es la razón del interés de vengado al capital en la unidad de tiempo. Al menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es de un año. La tasa anual de interés (i) está dada como un porcentaje o como su equivalente en forma decimal. I 250 I =  ; i =  = 0.05 (decimal) C 5000 o 5% (porcentaje) Interés simple : cuando únicamente el capital gana interés por todo el tiempo que dura la transacción al interés vencido al final del plazo, se le conoce como interés simple. I = C i t = Interés simple “1” Y Monto Simple está dado por M= C + I = “2” M=C + (i t) M= C (1+ i t) = Monto Simple = “2” Ejemplo…. Determinar el interés simple sobre $7500 al 4% durante medio año. ¿Cuál será el monto? C = $7500 I= C i t = $7500 (0.04) ½ = $ i= 0.04 M= C + I = $7500 + 150 t= ½ M= $

Ejemplo… Determinar en forma exacta y aproximado del tiempo transcurrido del 20 de junio del 2015 al 24 de agosto del 2005. TIEMPO EXACTO a) 10+31+24= 65 días b) 24 de agosto es el día 236 del año 20 de junio es el día 171 del año 236 - 171= 65 días TIEMPO APROXIMADO a) 24 de agosto de 2005 24: 08: 2005 20 de junio de 2005 20: 06: 2005 Resta 04: 02 2 meses x 30 días = 60

• 04 64 Determinar el interés exacto y/o ordinarios sobre 2 mil pesos al 6% del 20 de abril al 1 de junio del 20 03, calculando el tiempo. a) En forma exacta C = $ b) En forma aproximada i = 0. t = 72 días I= c i t; I= 2000 (0.06)  20 de abril es el día 20: 04: 2003 1 de julio es el día 01: 07: 2003 19: 03  10+31+30+1=72 días 3x30=

• 19 71 Simple aproximado I= C i t; t = 72 = 72 ó 0.1972 I= 2000 (0.06) 72_ = 23. 664 365 365 365 Simple aproximado I= C i t; t = 72_ = 1 ó 0.2 I= 2000 (0.06) 1 = 24 360 5 5

Pagares Un pagare es una promesa escrita de pago de una determinada cantidad de dinero (con intereses o sin ellos) es una fecha, suscripta (firmado) por un deudor al favor de un acreedor. En un pagare interviene los siguientes aspectos: Plazo: tiempo específico explícitamente en el documento (número de meses, número de días) Valor nominal: es la suma estipulada en el documento Fecha de vencimiento: es la fecha en la cual debe ser pagada la deuda Valor de vencimiento: es la suma que debe ser pagada en la fecha de vencimiento (monto de la deuda). Para determinar la fecha de vencimiento de un pagare procederemos como sigue: a) Si el plazo está dado en meses, el tiempo se determinara aproximadamente b) Si el plazo está dado en días, el tiempo se determinara exactamente Ejemplo: 3 meses después del 16 de marzo es 16 de junio; mientras que 90 días después del 16 de marzo es el 14 de junio Siempre utilizaremos el interés simple ordinario en el cálculo del valor al vencimiento de un pagaré. Ejemplo: Si un pagaré firmado el 15 de enero con vencimiento de 3 meses por $5 mil por un interés del 6% el plazo es de 3 meses, la fecha de vencimiento es el 15 de abril y el valor al vencimiento es: M= C + I Valor actual o Presente M= C + C i t M= 5000 + 5000 (0.06) 1 = M= $ 4 Ejemplo: M= C (1 + i t) ______________________ C= M 1+ i t => 3 M= $ 1050 Ó Valor presente M= C (1+ i t) Ó C= M (1 + i t) ̄ᶯ Valor actual C= M__ => Valor presente C=? 1 + i t ó A=? Actual C= 1050 1+ 0.06 ( 1 ) = 1050 = $1034. 4 1.

Ejercicios de matemáticas financieras

1.- Encontrar el interés simple y el monto de $1000. a) Al 4 ½ % durante 1 año d) Al 6% durante 8 meses b) Al 5 ¼ % durante 2 años e) Al 4% durante 15 meses c) Al 3 ½ % durante ½ año f) Al 5% durante 10 meses a) Datos Formulas C=$1000.00 Interés simple Monto i= 4.5 % I= C i t M= C + I t= 1 año I= $1000.00 (0.045) 1= 45 M=$1000.00 + 45= 1045 b) Datos C= $1000.00 I= $1000.00 (0.0525) 2= 105 i= 5 ¼ = 5.25 M=$1000.00 + 105= 1105 t= 2 años c) Datos C=$1000.00 I=$1000.00 (0.035) 0.5= 17. i= 3 ½ = 0.035 M=$1000.00 + 17.5 = 1017. t= ½ = 0. d) Datos C= $1000.00 I=$1000.00 (0.06) 8/12 = 40 i= 0.06 M= $1000.00 + 40= 1040 t= 8 meses= 8/ e) Datos C=$1000.00 I=$1000.00 (0.04) 15/12= 50 i= 0.04 M= $1000.00 + 50= 1050 t= 15 meses= 15/ f) Datos C=$1000.00 I=$1000.00 (0.05) 10/12= 125/ i= 0.05 M=$1000.00 + 41.66= 1041. t= 10 meses= 10/

2.- ¿A qué tasa de interés simple? a) El monto de $2000.00 será $2100.00 en un año? b) El monto de $720.00 será $744.00 en 10 meses? a) Datos M=$2100.00 I=M – C= $2100 - $2000= 100 i= I = _ 100 _ = 0. t= 1 año C 2000 C=$2000. I= C i t = $2000.00 (0.05) 1= 100 R=Si b) Datos M=$744 I=M – C=$744 – 720= 24 i=_ I_ = _ 24 _ = 0. C=$720 C 720 t= 10 meses= 10/12 I= C i t = $720 (0.0333) 10/12 = 19.98 R= No 3.- Xavier compro un radio en $79.95 dio un anticipo de $19.95 y acordó pagar el resto en 3 meses, más un cargo adicional de $2.00 ¿Qué tasa de interés simpe pago? Datos t= 3 meses= ¼ I= M – C= 79.95 – 19.95= 60 C= $60.00 i= I = ___ 2 ___ = 0.13 => Tasa de interés simple I= 2 C t 60 (0.25) 4.- ¿En qué tiempo el monto de $2000.00 será $2125.00 al 5% de interés simple? Datos C= $2000.00 I= M – C = $2125 - $2000= 125 i=0.05 I= C i t M= $2125 t= I = 1.25 = 1 año, 3 meses I= 125 C i 5.- ¿En qué tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5% de interés simple? I= C i t C= C 5 t 100 100 100c= 5 C t Dividiendo todo por C y queda: 100= 5 t t= 100/ 5 t= 20 años 6.- Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 25 de enero de 1999 y el 15 de mayo de 1999. 6+28+31+30+15=110 => Tiempo aproximado 25 de enero 1999 25: 01: 1999 4x30días=120–20=100=>Tiempo aproximado 05 de mayo 1999 05: 05: 1999 20: 04

12.- ¿Qué suma debe ser invertida al 5% para tener $1000.00 después de 8 meses? C= _M = $1000.00 Datos 1+ i t 1+0.05 (2/3 ó 0.666)=968.05 i=5%=0. t=8 meses= 0.666 ó 2/ M=$1000. 13.- Un pagare a 10 meses por $3000.00 al 6% es suscripto el día de hoy. Determinar su valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento de 5%. M= C (1 + i t) M= $3000.00 [1+0.06 (10/12 ó 0.83)] M= 3150 10 meses…. $ 6%

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C= M = ___ 3150 ____ = _ 3150 _= 3100.39 Hoy 5% 4 meses 5% 1+ i t 1+0.05 (4/12) 1. 14.- Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy, suponiendo una tasa de 4% de interés simple: $1000.00 con vencimiento el día de hoy; $2000.00 con vencimiento en 6 meses con interés del 5% y $3000.00 con vencimiento en un año con intereses al 6%. Utilizar el día de hoy como fecha focal. 4%= 0. ____________________________________________ Fecha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $ Focal $2000 6% (0.06) (Hoy) 5% (0.05) $ 4% (0.04) M= C (1 + i t) __ 1 ____ ____ 1 ____ $1000 + 2000 [1 + (0.05) 3/6] 7 + 0.04 (3/6) [3000 (1 + 0.06) (1)] 1 + 0.04 (1) 1000 + 2009.80 + 3057.69 – 6067. 15.- Resolver el problema 14, considerando que la fecha focal esta un año después.

16.- Ximena debe $500.00 con vencimiento en dos meses, $1000.00 con vencimiento en 5 meses y $1500.00 con vencimiento en 8 meses. Se desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés de 6% tomando como fecha focal la fecha al final de 10 meses. 17.- Pedro debe a Juan $1000.00 pagadero dentro de 6 meses, sin intereses, y $2000.00 con intereses al 4% por 1 ½ años, con vencimiento dentro de 9 meses. Juan está de acuerdo en recibir 3 pagos iguales, uno inmediato, otro dentro de 6 meses y el tercero dentro de un año. Determinar el importe de cada pago utilizando como fecha focal la fecha dentro de 1 año, suponiendo que juan espera un rendimiento de 5% en la operación. M= C (1 + i t) M= $2000 (1 + 0.04 (3/2)) M= $2120.00  Fecha focal X= [1 + 0.05 (1)] + X [1 + 0.05 (1/2) + X=1000 [1 + 0.05 (1/2)] + 2120 [1 + 0.05 (1/4)] 1.5X + 12.5X + X= 3171. 2.75X= 31171. X= 3171.

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE INTERES (O DESCUENTO RACIONAL) El valor presente de una cantidad M (Monto) con vencimiento en una fecha posterior, tal y como se definió en clases anteriores, puede ser interpretado como el valor descontado del monto. A la diferencia Dr= M – C (Al monto se le descuenta el valor presente, dando descuento racional, se le conoce como descuento simple del monto a una tasa de interés, ósea, el descuento racional sobre el monto. Ejemplo: Determinar el valor presente al 6% de interés simple, de $1500 con vencimiento en 9 meses ¿Cuál es el descuento racional? Datos M= $1500 1.- C= __ M__ = __$1500____ i= 0.06 % 1 + i t 1 + 0.06 (3/4) t= ¾ C= 1435. 406699 2.- Dr= M - C Dr= $1500 – 1435. Dr=$64.

b) $1200.00 con vencimiento en medio año? C= ____ 1200 _ __ = 1200 _= 1170.73 D= 1200 (0.05) (0.5)= 30 1 + (0.05) (0.5) 1. c) $800.00 con vencimiento en 3 meses? C= 800 = _ 800 _ = 790.123 D= 800 (0.05) (0.25) 1 + (0.05) (0.25) 1. 4.- Un banco carga el 6% de intereses por adelantado (6% de descuento simple). Si pedro firma un descuento por $2000.00 a 5 meses ¿Qué cantidad recibirá del banco? Datos D= M d t C= M-D= 2000 – 49.92= 1950. t= 5 meses= 0.416 D= 2000 (0.06) (0.416) M= $2000 D= 49. d= 6%= 0. 5.- ¿Qué tasa de interés simple paga pedro en el problema 4? I= M – C = 2000 – 1950.08= 50 i= I = 50 = 50 = 0.0616 = 6. C t 1950.08 (0.416) 811. 6.- Determinar el valor del documento a 5 meses que pedro debe formar con el objeto de recibir $2000.00 del banco del problema 4. Datos M= C + C i t M= $2000 M= 2000 + 2000 (0.06) (0.416) i= 0.06 M= 2050 t= 5 meses= 0. 7.- Un pagare de $1000.00 a 3 meses sin intereses firmado el 5 de mayo fue descontado el 26 de junio al 6%. Determinar el valor de la transacción. Datos C= M = ____ 1000 ____ = 991. C= 1000 1 + i t 1 + 0.06 (0.14) i= 0.06 (1.0084) t= 0.14 (52/360) 8.- Un documento por $2500.00 a 6 meses con intereses al 6% fechado el 20 de marzo, fue descontado el 7 de junio al 5%. Hallar el importe de la operación. Datos M= C (1 + i t)  C= M C= $2500 M= 2500 (1 + 0.06 (0.5)) (1 + i t) i=0.06 M= 2575 t=6 meses= 0.

9.- Un documento por $3000.00 a 240 días con intereses al 5% fechado el 10 de agosto del 2014 fue descontado el 16 de febrero del 2015 al 9%. Hallar el importe de la operación. Datos C= 3000 M= C (1 + i t) = 3100 C= __ M__ = ____ 3100 _____ = 3036 i= 0.05 M= 3000 (1 +0.05 (0.66)) (1 + i t) (1 + 0.04 (0.527) t= 240 = 0. 360 Más datos… M= 3100, i= 0.04, t= 0.527 (190/360) INTERES COMPUESTO En aquellas transacciones que abarcan un periodo largo de tiempo, el interés puede ser manejado de dos maneras. a) Intervalos establecidos, el capital que produce los intereses permanece sin cambio durante el plazo de la transacción. En este caso, estamos tratando con interés simple. b) A intervalos establecidos, el interés vencido es agregado al capital. En este caso, se dice que el interés es capitalizable, o convertible en capital, y en consecuencia, también gana interés. El capital aumenta periódicamente y el interés convertible en capital también aumenta periódicamente durante el periodo de la transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto. A la diferencia entre el monto y el capital original se le conoce como INTERES COMPUESTO. Ejemplo… 1.- Hallar el interés simple sobre $1000.00 por 3 años al 5% de interés simple. 2.- Hallar el interés compuesto sobre $1000.00 por 3 años si el interés del 5% es convertible anualmente en capital. Solución 1.- Datos I= C i t = 1000 (0.05) (3) = $150. C= 1000 i=5%=0. t=3 años 2.- Interés compuesto El capital original es…………………………….……….$ El interés por un año es I= C i t = 1000 (0.05) 1..…….$50_ El capital al final del primer año es…………………… $ El interés sobre el nuevo capital por un año es………$52. I= C i t = 1050 (0.05) 1 El capital al segundo año es……………………….......$1102. El interés sobre el nuevo capital por un año es………$52.1 2 I= C i t = 1102. 50 (0.05) El capital al final del tercer periodo es………………...$1157. El interés compuesto es: $1157.62 – 1000= $157.

Tasas equivalentes Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes periodos de conversión son equivalentes sse produce el mismo interés compuesto al final de un año. Ejemplo: Al final de un año, el monto compuesto de $100.00 al a) 4% convertible trimestralmente es 100 (1 + 0.01)4 = $104.06> TASA NOMINAL b) 4.06% convertible anualmente es 100(1.0406)=$104.06>TASA EFECTIVA Por lo tanto, 4% convertible trimestralmente y 4.06% convertible anualmente son tasas equivalentes. Cuando el interés es convertible más de una vez al año, la tasa anual dada, se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa nominal. La tasa de interés efectivamente ganada en un año se conoce como tasa efectiva anual o como tasa efectiva. En el inciso (a) 4% es la tasa nominal, mientras que en el inciso (b) es la tasa efectiva. Como se mostró 4.06% es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de 4% convertible trimestralmente. Tasa efectiva= “i” Tasa nominal= “j” Ejemplo… Hallar la tasa efectiva de interés “i” equivalente a un tasa nominal de 5% convertible mensualmente. 1 + i= (1 + 0.05/12)^12 i= (1 + 0.05/12)^12 - 1 i= 1.05116190 – 1 i= 0.05116120 o 5.116 % Nota: la tasa efectiva siempre será mayor que la tasa nominal Ejemplo… Hallar la tasa nominal “j” convertible trimestralmente equivalente a una tasa efectiva de 5% (1 + j/4) 4 = 1. 1 + j/4= (1.05) ¼ j= 4 [(1.05)1/4 – 1] j= 0.049088 o 4.908 % Aproximación de la tasa de interés A que tasa nominal “j” convertible trimestralmente al monto de $1250.00 será $1900 en 10 años. Datos C= 1250.00 M= C (1 + i) n^ (1 + i) 40 = 1900/ M= 1900.00 1900=1250 (1 + i) 40 (1 + i) 40 = 1. t=10 años n=

De la igualdad 1 + i= anti log 0.004546  j= 4 i 1900 - 1250 (1 + i) 40 1 + i= 1.01052 j= 4 (0.01052) Aplicando logaritmos, tenemos: i= 1.01052 – 1 j= 0.04208 ó 4.208% Log 1900= Log 1250 + 40 Log (1 + i) i= 0. Log (1 + i)= Log 1900 – Log 1250 40 Log (1 + i)= 3.278753601-3. 096410013 40 Log (1 + i)= 0. 40 Log (1 + i)= 0. ¿En qué tiempo el monto de $2000.00 será $3650.00 al 4% convertible semestralmente? C= 2000.00 M= C + (1 + i)n M= 3650.00 3650=2000 (1 + 0.02) i= 0.02 % 3650 = (1.02)n Semestralmente=6 meses 2000 n log 1.02= log 1.825  (1.02)n^ = 1. n= log 1. 825 = 0. log 1.02 0. n= 30.378 semestres t= n/2 = 30.378/2 = 15.18 años Valor presente M= C (1 + i) n C= M  2 (1 + i)n C= M (1 + i) - n Ejemplo… Hallar el valor presente de $2000.0 pagaderos en 6 años, suponiendo un rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente. Datos M= 2000.00 C= M (1 + i) – n i=0.025 (0.05 dividido entre 2) C= 2000 (1.025) -^12 n=12 (6x12) C= $1487.

Ecuaciones de valor Mario debe a lalo $1000.00 pagaderos en 2 años y $3000.00 pagaderos en 5 años. Acuerdan que mario liquide sus deudas mediante un pago único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento al 6% convertible semestralmente. Fecha focal $ 2 semest. 6 semest. $

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Hoy 1 2 3 4 5 años X 4 semest. 6% X= 1000 (1 + 0.03) 2 + 3000 (1 + 0.03) -^4 X=$3726. PROBLEMAS 1.- Una cierta cantidad es invertida por 6 años, 7 meses al 6% convertible mensualmente. Hallar la tasa de interés; por periodo de conversión y el número de periodos n. Periodo de conversión: 30 días Frecuencia de conversión: 12 Tasa interés por periodo de conversión es: Tasa anual de interés____=0.06=0.005Tasa de interés Frecuencia de conversión 12 Numero de periodos de conversión es: t x m= 6 7/12 x 12= 79 2.- Una cierta cantidad es invertida al 8% convertible trimestralmente, del 10 de octubre de 1954 al 10 de enero de 1962. Hallar la tasa de interés; por periodo de conversión y el número de periodos n. Periodo de conversión: 3 Frecuencia de conversión: 4 T= T A I = 0.08% = 0.02% Ó 2% FC 4 NO= t x m = 8 1/3 x 4= 33 3.- X obtiene un préstamo de $600 acordando pagar el capital con intereses de 3% convertible semestralmente. ¿Cuánto debe al final de 4 años? El capital original es………………………………………………………..….. $ El interés por un año es I= 600 (0.03) 2 = $ Capital al final del primer año es………………………………………..…….$ El interés sobre el nuevo capital por un año es I= 636 (0.03) 2 = $38. El capital al final del segundo año es………………………………………...$674. El interés sobre el nuevo capital por aun año es I=674 (0.03) 2 = $40. El capital al final del tercer año es…………………………………………….$714. El interés sobre el nuevo capital del tercer año es I= 714.06 (0.03) 2 ……. $42. El capital al final del tercer año es……………………………………………..$756. Interés compuesto es: 756.9036 – 600= 156.

4.- Acumular $2500 por 5 años al 4% convertible mensualmente.

M= C (1 + i) n= 2500 (1 + 0.04)^60 = 5.- El 1º. De febrero de 1948, X obtuvo un préstamo de $2000 al 5% convertible trimestralmente. (12x4=48+3+3=50) 6.- Seis años después de que X abrió una cuenta de ahorro con $2500 ganando intereses al 24% convertible semestralmente, la tasa de interés fue elevada al 3% convertible semestralmente. ¿Cuánto había en la cuenta 10 años después del cambio en la tasa de interés?

• I= C i t= 600 (0.03) (4) =
• El capital original es………………………………………………..………. $
• El interés por un año es I= 2500 (0.04) 12 = $
• Capital al final del primer año es…………………………………………..$
• El interés sobre el nuevo capital por un año es I= 3700 (0.04) 12= $
• El capital al final del segundo año es……………………………………..$
• El interés del nuevo año es I= 5476 (0.04) 12 = $2628.
• El capital al final del tercer año es…………………………………………$8004.
• El interés por el nuevo capital es I= 8004 (0.04) 12 = $3841.
• Capital al final del cuarto año es…………………………………………...$11846.
• El interés por el nuevo capital es I= 11846 (0.04) 12 = $5686.
• Capital al final del quinto año es……………………………………………$17532.
• Interés compuesto es= 17532-2500= 15032.
• Datos M= 2000 (1+0.0125) ¿Cuánto debía el 1º. De agosto de 1960?
• C=2000 M= 3722.
• i=0.
• t=12 ½ =
• El capital original es………………………………………………………………. $ 7.- Acumular $2000 por 6 años, al 4.2% convertible trimestralmente
• El interés por un año es I= 2000 (0.042) 4 = $
• El capital al final de un año es……………………………………………………$
• El interés del nuevo capital es I= 2336 (0.042) 4 = $392.
• El capital al final del segundo año es……………………………………………$2728.
• El interés del nuevo año es I=2728.448 (0.042) 4 = $458.
• El capital al final del tercer año es……………………………………………….$3186.
• El interés del nuevo año es I= 3186.8272 (0.042) 4 = $535.
• El capital al final del cuarto año es……………………………………………….$3722.
• El interés del nuevo año es I=3722.2142 (0.042) 4 = $625.
• El capital al final del quinto año es………………………………………………..$4347.
• El interés del nuevo año es I= 4347.5462 (0.042) 4 = $730.
• El capital al final del sexto año es…………………………………………………$5077.
• El interés compuesto es: 5077.9340- 2000= 3077.
• M= C ( 1+ i) n= 2000 (1+ 0.042) 24= 5368.