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Tema 9. Probabilidad
Problemas Resueltos
Experimentos aleatorios. Probabilidad: regla de Laplace
1. En una bolsa hay diez bolas iguales numeradas del 0 al 9 cada una. Si se extraen dos bolas
de forma consecutiva y se anotan sus números:
a) Escribe todos los sucesos elementales que forman el suceso “la primera bola extraída ha
sido un 5”.
b) ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse colocando las bolas por orden de
extracción?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea mayor que 59?
d) ¿Y la probabilidad de que termine en 3?
Solución:
a) Los sucesos elementales son:
50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59 → En total hay 9 sucesos elementales, toda la decena de
los cincuenta menos el suceso 55, que no puede darse.
b) El primer número (cifra de las decenas) puede ser cualquiera de los 10 que partida (bolas
del 0 al 9); el segundo número (cifra de las unidades) será cualquiera de los nueve restantes.
En total, 10 9 = 90. (Hay 9 números en cada una de las 10 decenas).
Este número se corresponde con las variaciones de 10 elementos tomados 2 a 2:
V 10,2 (^) = 10·9 = 90
c) Hay 36 números mayores que 59. Por tanto: ( )
P nm = =.
d) Uno de cada diez números termina en 3, pues hay 10 terminaciones posibles:
P n = =.
2. En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas
del 000 al 999.
a) Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 5.
b) Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 55.
c) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcula la probabilidad de
que el número premiado hoy termine también en 5.
Solución:
a) Uno de cada 10 números termina en 5. Por tanto, P (termine en 5) =
b) Uno de cada 100 números termina en 55. Por tanto, P (termine en 55) =
c) Cada día el experimento es independiente, pues la probabilidad de una terminación no se
ve condicionada por las terminaciones de otros días. En consecuencia,
P (termine hoy en 5/ayer terminó en 5) =
3. Se truca una moneda de forma que la probabilidad de salir cara es doble que la de salir
cruz.
a) Si se tira al aire calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.
b) Si se tira dos veces, ¿cuánto vale la probabilidad de obtener dos caras?
c) Si se tira tres veces, calcula la probabilidad de obtener dos cruces y una cara.
Solución:
a) Sea C el suceso cara y X el suceso cruz.
Se sabe que P C ( ) =2· ( P X ).
Como
P C + P X = P X + P X = P X = →
P C =.
a) Como los sucesos son independientes,
2 2 4 ( ) ( )· ( ) · 3 3 9
P CC = P C P C = =.
b) Por lo mismo, y como el suceso “2 cruces y 1 cara” es { XXC , XCX , CXX }, se tiene:
1 1 2 2 (2 ,1 ) 3· ( )· ( )· ( ) 3· · · 3 3 3 9
P X C = P X P X P C = =.
4. Pedro y Pablo idean el siguiente juego: cada uno lanza un dado, si la suma de los dados es
mayor que 7, gana Pedro; si la diferencia de ambos es menor que 2, gana Pablo; y en
cualquier otro caso hay empate.
¿Es un juego equitativo?
Solución:
En las tablas siguientes se indican los casos de sumas y de diferencias.
La suma es mayor que 7 en 15 de los 36 casos posibles → Gana Pedro.
La diferencia es menor que 2 en 16 de los 36 casos → Gana Pablo.
Por tanto, no es un juego equitativo. Pablo tiene mayor probabilidad de ganar que Pedro.
5. Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire. Si salen 3 caras o 3 cruces el jugador gana
7 puntos; en caso contrario el jugador pierde 2 puntos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de perder las dos primeras tiradas y ganar la tercera?
c) ¿Es un juego equitativo?
Solución:
El espacio muestral del experimento aleatorio es.
E = { CCC , CCX , CXC , XCC , CXX , XCX , XXC , XXX }
La probabilidad de obtener tres caras o tres cruces es: P ( CCC ; XXX ) = P (ganar) = 4
Sumas
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Diferencias
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
→ La suma total será impar cuando la suma de las puntuaciones de los otros dos lanzamientos
sea par. Sus resultados son:
(1, 1), (1, 3), (1, 5); (2, 2), (2, 4), (2, 6); (3, 1), (3, 3), (3, 5),
(4, 2), (4, 4), (4, 6); (5, 1), (5, 3), (5, 5); (6, 2), (6, 4), (6, 6).
Como hay el mismo número de casos favorables para cada suceso, las sumas par e impar son
equiprobables.
8. Los estudiantes de 1º y 2º de Bachillerato de un
centro escolar se distribuyen por curso y sexo como se
indica en la tabla, aunque hay números desconocidos:
a) Completa los números que faltan.
b) Se elige un estudiante al azar y se consideran los
siguientes sucesos:
A = “sea una chica”; B = “sea de 1º”; C = “sea una chica de 2º”; D = “sea un chico de 1º”
F = “sea de 1º si se sabe que es un chico”; G = “sea un chico si se sabe que es de 1º”
Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores.
Solución:
a) Como las sumas por filas y columnas deben “cuadrar”, se tendrá:
60 + a = 130 a = 70; 60 + b = 110 b = 50; c = 50 + 65 = 115; d = 70 + 65 = 135.
Por tanto, la tabla completa es la siguiente.
b) Hay 135 chicas →
P A =.
Hay 130 alumnos/as de 1º →
P B =.
Hay 65 chicas de 2º →
P C =. Hay 60 chicos de 1º →
P D =.
Hay 110 chicos, de los que 60 son de 1º →
P F =.
Hay 130 estudiantes de 1º, de los que 60 son chicos →
P F =.
9. Se hacen dos lanzamientos de un dado con seis caras numeradas del 1 al 6, y se consideran
los sucesos: A = “la suma de las dos puntuaciones es par” y B = “la primera de las
puntuaciones es impar”. Halla:
a) P ( A ) b) P ( B ) c) P ( A B ) d) P ( A B ).
e) ¿Son independientes los sucesos A y B?
Solución:
a) El espacio muestral está formado por 36 sucesos elementales:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2); … (6, 5), (6, 6)}
El resultado de la suma de los dos dados es el indicado en la siguiente tabla.
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Curso Chicos Chicas Total
1º 60 a 130
2º b 65 c
Total 110 d 245
Curso Chicos Chicas Total
1º 60 70 130
2º 50 65 115
Total 110 135 245
a) La suma es par en 18 de los 36 sucesos elementales. Por tanto,
P A = =.
b) La primera de las puntuaciones es impar también para 18 de los 36 sucesos elementales.
(En la tabla estos sucesos se han coloreado en rojo.) Por tanto,
P B = =.
c) El suceso A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3) , (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}. (Son los
sucesos subrayados en rojo).
Por tanto, ( )
P A B = =.
d) P A ( B ) = P A ( ) + P B ( ) − P A ( B )=
e) Dos sucesos A y B son independientes cuando P ( A B )= P ( A )· P ( B ).
En este caso se cumple esa relación, pues P A ( B )= 2
= = P A P B ( )· ( ).
Por tanto, los sucesos A y B son independientes.
10. (Propuesto en Selectividad 2016, Andalucía)
Marta tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de
color rojo, otro de color azul y dos pares blancos. Si decide aleatoriamente qué ponerse,
determine las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Llevar un traje rojo y unos zapatos blancos.
b) No ir toda vestida de blanco. c) Calzar zapatos azules o blancos.
Solución:
a) Sean los sucesos R , A y B , traje rojo, azul y blanco, respectivamente; y los sucesos r , a y b ,
zapato rojo, azul y blanco, también respectivamente.
Por el enunciado se conocen las siguientes probabilidades:
2 ( ) 4
P R = ;
P A = ;
P B = ;
P r = ;
P a = ;
P b =
Como la elección de vestido y calzado es aleatoria, los sucesos llevar un color de traje y
ponerse un determinado tipo de zapato son independientes.
Por tanto:
a) La probabilidad de llevar un traje rojo y unos zapatos blancos es:
2 2 1 ( ) · 4 4 4
P Ryb = =.
b) Ir vestida de blanco consiste en llevar traje blanco y zapatos blancos; en ese caso, no ir
vestida de blanco será el suceso contrario: alguno de los dos, vestido o zapatos, no es blanco o
ninguno es blanco.
Como
P Byb = = P (no ir vestida de blanco) =
c) La probabilidad de calzar zapatos azules o blancos es:
( o ) 4
P a b =.
b) Dos sucesos A y B son independientes cuando P A ( B ) = P A P B ( )· ( ).
Como
P A ( B ) =0, 2 y P A P B ( )· ( ) = 0, 4·0,5 =0, 2 los sucesos son independientes.
14. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P ( A ) = 0,4; P ( A B ) = 0,5;
P ( B / A ) = 0,5. Calcula:
a) P ( A B ) b) P ( B ) c) P A ( / B )
Solución:
a) Se conocen las probabilidades:
P ( A ) = 0,4; P ( A B ) = 0,5; P ( B / A ) = 0,5.
Como
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A B ) 0,5 = 0,4 + P ( B ) – P ( A B ) [1]
Por la probabilidad condicionada:
( ) ( ) ( / ) 0,5 ( ) 0,5·0, 4 0, 2. ( ) 0, 4
P A B P A B
P B A P A B
P A
b) Sustituyendo en [1]:
0,5 = 0,4 + P ( B ) – 0,2 P ( B ) = 0,3.
c) De P ( B ) = 0,3 P B ( ) =0,7.
Por tanto:
P A B P A B P A P A B
P A B
P B P B P B
P A B
15. Se consideran los sucesos A , B y C de un experimento aleatorio tales que: P ( A ) = 0,09;
P ( B ) = 0,07 y P A ( B ) =0,97. Además, los sucesos A y C son incompatibles.
a) Estudia si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcula P A ( B / C ).
Solución:
El suceso A B es el contrario suceso A B.
Es una de las leyes de Morgan:( )
C (^) C C A B = A B ; o bien A B = A B → el contrario
de la intersección es la unión de los contrarios.
Por tanto:
P A ( B ) = P A ( B ) P A ( B ) = 1 − P A ( B )= 1 − 0,97 =0,03.
a) Dos sucesos son independientes cuando P A ( B ) = P A P B ( )· ( ).
Como P A P B ( )· ( ) = 0,09·0,07 = 0,0063 0,03, los sucesos A y B no son independientes.
b) Dos sucesos son incompatible cuando su intersección es el vacío.
Como ( )
P T S
P T S
P S
P A B C
P A B C
P C P C
16. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, de los que se conocen las
probabilidades P ( A ) = 0,6 5 y P ( B ) = 0, 30. Determina las probabilidades que deben asignarse a
los sucesos A B y A B en cada uno de los siguientes supuestos:
a) Si A y B fuesen incompatibles.
b) Si A y B fuesen independientes.
c) Si P ( A / B ) = 0,40.
Solución:
a) Si A y B fuesen incompatibles P A ( B ) = P A ( ) + P B ( ) = 0,65 + 0,30 =0,95.
Y si son incompatibles, como A B = P A ( B ) = 0.
b) Si A y B fuesen independientes P A ( B ) = P A P B ( )· ( )= 0,65·0,30 =0,195.
Como P A ( B ) = P A ( ) + P B ( ) − P A ( B ) P A ( B ) = 0,65 + 0,30 − 0,195 =0,755.
c) Si P ( A / B ) = 0,40, como ( )
P A B
P A B P A B P B P A B
P B
Por tanto:
P A ( B ) = 0,30·0, 40 =0,.
P A ( B ) = 0,65 + 0,30 − 0,12 =0,.
17. Los resultados académicos de cierto grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de
aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar
las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, cuánto vale la
probabilidad de que:
a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.
b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.
c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.
d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?
Solución:
Sea M el suceso aprobar Matemáticas y E , aprobar economía.
Se conocen las siguientes probabilidades:
P M ( ) =0,6 , P E ( ) =0,7; P M ( E ) =0, 45.
a) Como
P M ( E ) = P M ( ) + P E ( ) − P M ( E ) P M ( E ) = 0,6 + 0,7 − 0, 45 =0,85.
b) Aprobar solo una es el suceso M – E o E – M = M E − M E.
P ( ( M − E ) ( E − M )) = P M ( E ) − P M ( E )= 0,85 – 0,45 = 0,40.
c) No aprobar ninguna es el suceso contrario de aprobar alguna:
( (^ ) )
C P M E = 1 – P M ( E ) = 1 – 0,85 = 0,1 5.
d) Serán independientes si P M ( E ) = P M ( )· ( P E ).
Como P M ( E ) =0, 45y P M ( )· ( P E ) = 0,6·0,7 =0, 42, los sucesos no son independientes.
d) Al menos una ha encestado es el suceso M C , contrario de ninguna ha encestado.
Su probabilidad es: ( )
P M C = − =.
Observación: Puede comprobarse que P M ( C ) = P M ( ) + P C ( ) − P M ( C ).
En efecto: ( )
P M C = + − =.
20. En un IES hay dos grupos que cursan Economía. En el primero el 55 % de los estudiantes
son hombres y en el segundo, son mujeres el 60 %. Se elige al azar un estudiante de cada
grupo.
a) Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
A = “Ambos son mujeres”; B = “Solo uno es mujer”: C = “Los dos son hombres”
b) Razona si el suceso contrario del suceso A es el B , el C , el B C , el B C o algún otro
suceso y calcula su probabilidad.
Solución:
a) Sean M y H los casos ser mujer o ser hombre, respectivamente.
En el grupo primero se tiene: P H ( ) = 0,55 P M ( )=0, 45.
En el grupo segundo se tiene: P M ( ) = 0,60 P H ( )=0, 40.
Con esto:
P A ( ) = P MM ( ) = 0, 45·0,60 =0, 27.
P B ( ) = P HM ( ) + P MH ( ) = 0,55·0,60 + 0, 45·0, 40 =0,.
( HM indica H en el primer grupo y M en el 2; y lo mismo en los demás casos)
P C ( ) = P HH ( ) = 0,55·0, 40 =0, 22.
(Los resultados pueden acompañarse del diagrama de árbol adjunto).
b) El suceso contrario de A = “ambas son mujeres” es “alguna de las dos no es mujer” = “al
menos hay un hombre”. Estos sucesos son:
“solo uno es mujer” “los dos son hombres” = B C.
Su probabilidad es:
P B ( C ) = 1 − P A ( )= 1 − 0, 27 =0,.
21. En un proceso de fabricación se sabe que la probabilidad de que un producto sea
defectuoso es 0,1. Si se selecciona una muestra aleatoria de 3 productos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo el segundo sea defectuoso?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, uno de los tres sea defectuoso?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente uno defectuoso?
Solución:
Sean B y D los sucesos el producto es bueno y defectuoso, respectivamente.
Se sabe que P D ( ) = 0,1 P B ( )=0,9.
Puede admitirse que en cada elección los sucesos ser defectuosos o bueno son independientes.
(Esto no es así en la realidad, salvo que el producto elegido, defectuoso o no, sea devuelto al
grupo. Esto es, cuando las elecciones se hagan con devolución. No obstante, como se supone
que el número de productos es muy grande las probabilidades varían muy poco).
a) “Solo el segundo sea defectuoso” es el suceso BDB.
P BDB ( ) = 0,9·0,1·0,9 =0,.
b) “Al menos uno de los tres sea defectuoso” es el suceso contrario de “los tres son buenos”.
P ( al menos uno defetuoso ) = 1 − P BBB ( )= 1 − 0,9·0,9·0,9 =0, 271.
c) “Exactamente uno defectuoso” es el suceso { DBB , BDB , BBD }.
P DBB BDB BBD ( , , ) = 3·0,1·0,9·0,9 =0, 243.
Probabilidad condicionada y total: Bayes
22. Hace dos días me presentaron un matrimonio, y me dijeron que tenían dos hijos. Ayer me
enteré de que uno de los hijos se llamaba Ramiro, y hoy he sabido que éste es el mayor de los
dos hermanos. ¿Cómo ha ido variando con el proceso de la información, la probabilidad de
que los dos hijos sean varones? Determina estas probabilidades.
Solución:
Si V designa varón y M mujer, el espacio muestral de tener dos hijos, indicando el orden
mayor/menor, es: { VV , VM , MV , MM }.
Cada suceso elemental es equiprobable.
→ Hacer dos días no tenía ninguna información sobre el sexo de los hijos.
Por tanto: ( )
P VV =.
→ Ayer me enteré de que hay un hijo varón (Ramiro) se descarta el suceso MM.
Por tanto: ( )
P VV =.
→ Hoy he sabido que Ramiro es el mayor se descarta también el suceso MV.
Por tanto: ( )
P VV =.
23. Sean A y B dos sucesos independientes de un mismo experimento aleatorio, tales que
P A ( ) =0, 4 y P B ( ) =0,5. Calcula las siguientes probabilidades:
a) P (^^ A B ). b) P (^^ A B ). c) P A ( / B ). d) P B ( / A ).
Solución:
a) Como los sucesos son independientes, P A (^^ ^ B )^^ =^ P A P B (^ )· (^ )^ =^ 0, 4·0,5^ =0, 2.
b) Como P A ( B ) = P A ( ) + P B ( ) − P A ( B ) P A ( B ) = 0, 4 + 0,5 − 0, 2 =0,
c) Como los sucesos son independientes se cumple que (^) P A ( / B ) = P A ( ) =0, 4.
d) Por lo mismo: (^) P B ( / A ) = P B ( ) =0,5.
Observación: Si se aplica la fórmula de la probabilidad condicional se tiene:
P A B
P A B
P B
P A B = = ;
P A B
P B A
P A
P B A = =.
Solución:
Se tienen las siguientes probabilidades:
P (tener Smartphone) = P ( S ) = 0,63 P (tener otro móvil) = P ( O ) = 1 – 0,63 = 0,37.
P (Internet/ S ) = P ( I / S ) = 0,77 P(Internet/ O ) = P ( I / O ) = 0,08.
Puede hacerse un diagrama de árbol como el siguiente.
La probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través de teléfono móvil será:
P I ( ) = P S ( )· ( P I / S ) + P O P I ( )· ( / O ) = 0,63 · 0,77 + 0,37 · 0,08 = 0,5147.
27. Sobre una mesa hay dos bolsas iguales opacas. Una de ellas contiene 2 bolas verdes y 3
rojas; la otra, 4 bolas verdes y 1 roja.
a) Si se elije una bolsa al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola
extraída sea roja?
b) Si se elije una bolsa al azar y se extraen dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las bolas
sean de distinto color?
Solución:
Sea A la bolsa con 2 bolas verdes y 3 rojas; y B la bolsa con 4 bolas verdes y 1 roja.
Ambas bolsas pueden elegirse con probabilidad 1/2.
Sean V y R los sucesos bola verde y bola roja, respectivamente.
El diagrama de árbol asociado al experimento es el siguiente.
a) Si se elige bolsa y se extrae una bola,
P R ( ) = P A P R ( )· ( / A ) + P B P R ( )· ( / B )
1 3 1 1 4 2 ( ) · · 2 5 2 5 10 5
P R = + = =.
b) Si se elige bolsa y se extraen dos bolas, los
sucesos que se piden son V y R (o R y V ), en
cualquier orden. La probabilidad pedida es:
P V ( y R ) = P A P V ( )· ( y R ) + P B P V ( )· ( y R )
( y ) · · · · · · 2 5 4 5 4 2 5 4 5 4 2
P V R
28. Una caja contiene 7 bolas blancas y 10 negras. Se extrae al azar una bola y se
sustituye por dos del otro color. A continuación se extrae una segunda bola. Calcula la
probabilidad de que:
a) La segunda bola sea blanca.
b) La segunda bola sea del mismo color que la primera.
Solución:
Si se extrae una bola blanca de la caja inicial, se introducen dos bolas negras. La caja estará
formada por 6 bolas blancas y 12 negras: Caja 1, C 1.
Si se extrae una bola negra de la caja inicial, se introducen dos bolas blancas. La caja estará
formada por 9 bolas blancas y 9 negras: Caja 2, C 2.
Este proceso se indica en el siguiente diagrama.
a) La probabilidad de que la segunda bola extraída sea blanca es:
P (2ª B ) = P C ( 1)· ( P B C / 1) + P C ( 2)· ( P B C / 2)^ =
b) La probabilidad de que la segunda bola extraída sea del mismo color que la primera es:
P BB ( ) + P NN ( ) = P C ( 1)· ( P B C / 1) + P C ( 2)· ( P N / C 2) =
29. Se tienen dos bolsas con bolas. La primera bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras; la
segunda, 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la
segunda. A continuación, se saca una bola de la segunda.
Calcula la probabilidad de que:
a) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra.
b) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si se sabe que la bola extraída de la segunda
ha sido blanca.
Solución:
Se designa la bola blanca por b, y la negra por n. Inicialmente las bolsas están como sigue:
B1: [4n, 3n]; B2: [3b, 5n].
Tras extraer una bola de B1 e introducir en B2, la segunda bolsa que como sigue:
Si la bola extraída de B1 ha sido blanca → B2: [4b, 5n].
Si la bola extraída de B1 ha sido negra → B2: [3b, 6n].
El siguiente diagrama de árbol resume el proceso
Con esto:
a) Por la probabilidad total,
P (n de B2) = P (b de B1) · P (n de B2/b de B1) + P (n de B1) · P (n de B2/n de B1) =
Por tanto, P (b de B2) = 63
b) Por Bayes:
1 3 · ( ) (^) 2 4 5 ( / ) ( ) 27 9
40
P A R
P A R
P R
32. Se tiene una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Se saca una bola al azar que se introduce en
otra urna que contiene 3 bolas blancas y 5 negras. De esta urna se extrae una segunda bola.
Calcula:
a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca.
b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas.
e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca.
Solución:
Para contestar a todas las peguntas conviene confeccionar un diagrama de árbol.
Si la primera bola es blanca, se forma la urna 2, U 2, con 4 bolas blancas y 5 negras.
Si la primera bola es negra, se forma la urna 2, U 3, con 3 bolas blancas y 6 negras.
a) ( )
P B B =.
b) ( )
P B N = = =.
c) ( ) ( )
P B N + P N B = + = =.
d) ( )
P B B = = =.
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P B = P B P B B + P N P B N = + =.
f) ( )
P B B P B P B B
P B B
P B P B
Combinatoria
33. En una empresa trabajan 7 mujeres y 12 hombres. Si se seleccionan 3 personas al azar,
halla la probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre.
Solución:
Las 2 mujeres se pueden seleccionar de C 7,2maneras distintas; el hombre puede ser
cualquiera de los 12 que hay.
El número de grupos de favorables a 2 mujeres y un hombre es:
=^ =
El número total de grupos de 3 personas seleccionadas entres 19 (7 mujeres + 12 hombres) es
19,
C
Por tanto:
2 mujeres y 1 hombre 0, 26 969
P = .
34. En una bolsa hay 7 bolas blancas y 9 negras. Si se extraen a la vez 3 bolas al azar, calcula
la probabilidad de que:
a) Las 3 bolas sean negras. b) Una sea negra y las otras 2 blancas.
c) Dos sean negra y 1 blanca. d) Al menos 1 sea blanca.
Solución:
Es independiente que las bolas se extraigan a la vez que una detrás de otra. Lo
significativo es que no hay reposición.
Puede resolverse mediante recursos de combinatoria.
El total de opciones de extraer 3 bolas de una bolsa en la que hay 16 bolas (7 blancas y 9
negras) es 16,
C = =.
a) Las 3 bolas serán negras cuando sean de las 9 que hay.
El número de opciones es 9,
C = =.
Por tanto:
P N = =.
b) La bola negra puede ser cualquiera de las 9 que hay. Las 2 blancas pueden elegirse de
C 7,2 maneras posibles. En número de casos favorables es: 7,
C = =.
Por tanto:
P N B = =.
c) La bola blanca puede ser cualquiera de las 7 que hay. Las 2 negras pueden elegirse de
C 9,2 maneras posibles. En número de casos favorables es: 9,
C = =.
Por tanto:
P N B = =.
d) Al menos 1 sea blanca es el suceso contrario de “las 3 son negras”. Luego,
P (al menos 1 B ) = 1 − P (3 N ) = 1 − 0,15 =0,85.
Otros problemas
37. (Propuesto en Selectividad, 2011. Castilla y León)
El 38 % de los habitantes de una ciudad declaran que su deporte preferido es el fútbol, el 21%
prefiere el baloncesto y el resto se inclina por otro deporte. Si se eligen al azar tres personas,
calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Las tres personas son aficionadas al fútbol.
b) Dos personas prefieren el fútbol y la otra el baloncesto.
c) Al menos una de las tres personas prefiere otro deporte diferente al fútbol y al baloncesto.
Solución:
Sean F , B y O los sucesos preferir el fútbol, el baloncesto o cualquier otro deporte,
respectivamente. Se conocen las siguientes probabilidades:
P ( F ) = 0,38; P ( B ) = 0,21, P ( O ) = 1 – 0,38 – 0,21 = 0,41.
Cuando el número es muy grande, la elección al azar de una, dos o tres personas y la
verificación de cualquiera de los sucesos en esa muestra se estudia como si cada suceso fuese
independiente del otro. Esto es, la verificación de cualquier suceso elemental no cambia la
probabilidad de que se vuelva a cumplir a continuación. Con esto:
a) P (los tres prefieran fútbol) = P ( FFF ) = 0,38 · 0,38 · 0,38 = 0,054872.
b) P (dos prefieran fútbol y una baloncesto) = P ( FFB ) + P( FBF ) + P ( BFF ) =
= 3 · 0,38 · 0,38 · 0,21 = 0,090972.
c) El suceso “al menos una de las tres personas prefiera otro deporte” es el suceso contrario
“de ninguna de las tres personas prefiere otro deporte”; esto es, las tres prefieren o fútbol o
baloncesto, suceso que tiene probabilidad,
P ( F o B ) = P ( F ) + P ( B ) = 0,38 + 0,21 = 0,59.
Por tanto:
P (Al menos una prefiera otro deporte) = 1 – P (Ninguna prefiere otro deporte) =
= 1 – 0,59 · 0,59 · 0,59 = 0,794621.
38. (Propuesto en Selectividad, 2013. Castilla y León)
El 70 % de las compras de un supermercado las realizan mujeres. El 8 0 % de las
compras realizadas por éstas supera los 20 €, mientras que sólo el 30 % de las realizadas
por hombres supera esa cantidad.
a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 20 €?
b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 20 €, ¿cuál es la probabilidad de que la
compra la hiciera una mujer?
Solución:
Se definen los sucesos:
M , ser mujer; H , ser hombre; S , hacer una compra superior a 20 €.
Se dan las siguientes probabilidades:
P ( M ) = 0,70; P ( H ) = 0,30; P ( S / M ) = 0,80; P ( S / H ) = 0,30;
a) Por la probabilidad total:
P S ( ) = P M ( )· ( P S / M ) + P H ( )· ( P S / H ) = 0,7·0,8 + 0,3·0,3 =0,.
b) Por Bayes: ( )
P M S
P M S
P S
39. (Propuesto en Selectividad, 2013. Andalucía)
Se cree que hay una vuelta hacia estilos de baile más populares, por lo que se realiza una
encuesta a estudiantes de bachillerato, resultando que al 40 % les gusta la salsa, al 30 % les
gusta el merengue y al 10 % les gusta tanto la salsa como el merengue.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante le guste el merengue si le gusta la salsa?
b) ¿Y la de que a un estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa?
c) ¿Son independientes los sucesos “gustar la salsa” y “gustar el merengue”? ¿Son
compatibles?
Solución:
Sean los sucesos:
S = “gustar la salsa”; M = “gustar el merengue”
Se dan las siguientes probabilidades:
P ( S ) = 0,40; P ( M ) = 0,30; P ( S M ) = 0,
En el diagrama adjunto se indican esos datos.
a) Por la probabilidad condicionada:
P M S
P M S
P S
= = = =^.
b) Al 60 % no les gusta la salsa. Hay un 20 % que les gusta el
merengue, pero no la salsa.
Por tanto:
( )
( )
( )
P M S
P M S
P S
c) Serían independientes si P S ( M ) = P S ( )· ( P M ).
Como P ( S ) · P ( M ) = 0,40 · 0,30 = 012 y P ( S M ) = 0,10, los sucesos no son independientes.
Es evidente que son compatibles, pues P ( S M ) = 0,10.
40. (Propuesto en Selectividad, 2013. Comunidad Valenciana)
El 50 % de los jóvenes de cierta población afirma practicar el deporte A y el 40 % afirma
practicar el deporte B. Además, se sabe que el 70 % de los jóvenes de dicha población
practica el deporte A o el B. Si seleccionamos un joven al azar, se pide:
a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes
b) La probabilidad de que practique el deporte A y no practique el deporte B.
c) Si practica en deporte B, ¿cuál es la probabilidad de que practique el deporte A?
d) ¿Son independientes los sucesos “Practicar el deporte A” y “Practicar el deporte B”? ¿Por
qué?
Solución:
Sean los sucesos:
A = “Practicar el deporte A”, B = “Practicar el deporte B”.
Se sabe que:
P ( A ) = 0,50; P ( B ) = 0,40; P ( A B ) = 0,70.
a) No practicar ningún deporte es el suceso contrario de A B. Su probabilidad es:
( ) 1 ( )^1 0,70^ 0,
C P ^ A B = − P A B = − =
