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Estad´ıstica. Grado en Ciencias Ambientales
Problemas de Probabilidad
Problema 1 Considera una familia con una madre, un padre, y dos hijos. Sea A 1 = {la madre tiene la enfermedad E}, A 2 = {el padre tiene la enfermedad E}, A 3 = {el primer hijo tiene la enfermedad E}, A 4 = {el segundo hijo tiene la enfermedad E}, B = {al menos un hijo tiene la enfermedad E}, C = {al menos uno de los padres tiene la enfermedad E}, D = {al menos un miembro de la familia tiene la enfermedad E}.
a) ¿Qu´e significa A 1 ∩ A 2? ¿Qu´e significa A 1 ∪ A 2?
b) ¿Son A 3 y A 4 incompatibles?
c) ¿Qu´e significa A 3 ∩ B? ¿Qu´e significa A 3 ∪ B?
d) Expresa C en t´erminos de A 1 , A 2 , A 3 , A 4.
e) Expresa D en t´erminos de B y C.
f) ¿Qu´e significa A¯ 1? ¿Qu´e significa A¯ 2?
g) Expresa C¯ en t´erminos de A 1 , A 2 , A 3 , A 4.
h) Expresa D¯ en t´erminos de B y C.
i) Supongamos que la probabilidad de que cada hijo tenga la enfermedad E es 0.2, mientras que en un 10 % de las familias ambos hijos tienen la enfermedad E. ¿Cu´al es la probabilidad de que en una familia al menos un hijo tenga la enfermedad E?
j) Supongamos que en un 10 % de las familias la madre tiene la enfermedad E; en un 10 % de las familias el padre tiene la enfermedad E; y en un 2 % de las familias ambos, el padre y la madre, tienen la enfermedad E. ¿Son independientes los sucesos A 1 y A 2?
k) ¿Cu´al es la probabilidad de que el padre tenga la enfermedad E si la madre la padece?
l) ¿Cu´al es la probabilidad de que el padre tenga la enfermedad E si la madre no la tiene?
Problema 2 Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?
Problema 3 La probabilidad de que un especimen de laboratorio contenga altos niveles de contaminaci´on es de 0.1. Se eligen al azar 4 de estos espec´ımenes de forma independiente. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que ninguno contenga altos niveles de contaminaci´on.
b) Que uno contenga altos niveles de contaminaci´on.
c) Que al menos uno contenga altos niveles de contaminaci´on.
Problema 4 En varios bosques del norte de Europa queremos estudiar si existe diferencia en el color de las hojas de cierta especie de ´arbol dependiendo de si han estado sometidas al contacto con cierto par´asito. Para ello se toman 24000 hojas de las cuales 8065 estaban afectadas por el par´asito, y de ellas 4415 presentaron un color verde brillante y 3650 un color verde no brillante. De las no afectadas por el par´asito 6750 ten´ıan color verde brillante por 9185 no brillante. Se elige una hoja al azar de entre las 24000,
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que dicha hoja est´e afectada por el par´asito y presente color verde no brillante?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que, sabiendo que no est´a afectada por el par´asito, presente un color verde no brillante?
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que, sabiendo que es verde brillante, est´e afectada por el par´asito?
d) ¿Cu´al es la probabilidad de que la hoja est´e afectada por el par´asito?
Problema 5 En un bosque de 32200 casta˜nos se estudia la posible relaci´on entre la exposici´on a un agente radioactivo y la presencia de una determinada enfermedad en los casta˜nos, con los resultados que aparecen en la siguiente tabla:
Expuesto No expuesto Enfermo 2715 12925 No enfermo 2466 14094
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un casta˜no est´e expuesto a la radiaci´on y enfermo?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que un casta˜no expuesto al agente est´e enfermo?
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que un casta˜no que sabemos que est´a enfermo haya estado expuesto al agente?
d) ¿Cu´al es la probabilidad de que un casta˜no est´e enfermo?
Problema 6 Considera el experimento aleatorio que consiste en examinar un guisante elegido al azar en un cultivo. Llegamos a la conclusi´on de que el 44 % de los guisantes tienen la piel rugosa o la flor amarilla, presentando ambas caracter´ısticas el 6 % de los guisantes. Se observa en la plantaci´on que tienen la flor amarilla el 30 % de las plantas.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un guisante tenga la piel rugosa?.
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que un guisante no tenga ni la piel rugosa ni tenga la flor amarilla?
c) ¿Es independiente tener la flor amarilla y la piel rugosa?
Problema 7 Se est´a estudiando la probabilidad con la que el Camale´on de Madagascar aclara u oscurece su piel y la probabilidad con la que aumenta o disminuye el n´umero y tama˜no de las manchas rojas que presenta diseminadas por su piel. Parece ser que cuando cambia de rama oscurece su piel con una probabilidad de 0.5 mientras que la probabilidad de que oscurezca su piel y al mismo tiempo aumente el n´umero de manchas rojas es de 0.1. La probabilidad de que al cambiar de rama haga alguna de las dos cosas (oscurecer la piel y aumentar el n´umero de manchas rojas) es de 0.6.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que aumente el n´umero de manchas rojas cuando cambia de rama?
b) ¿Cu´al es la relaci´on de dependencia que existe entre los sucesos oscurecer la piel y aumentar el n´umero de manchas rojas?
Problema 8 En una amplia encuesta sobre satisfacci´on de la atenci´on recibida en la visita a un parque natural se encuentra que el 40 % de las personas manifiestan que el recorrido realizado les ha parecido fatigoso. El 10 % de los encuestados dicen que las explicaciones recibidas de los monitores sobre las caracter´ısticas del entorno natural y el manejo que de ese entorno se hace en el parque son insuficientes. El 43 % de los encuestados ha respondido de modo afirmativo al menos a una de las dos preguntas anteriores (recorrido fatigoso, explicaciones insuficientes). Elegimos una de las encuestas al azar,
a) ¿Qu´e probabilidad tendremos de que sea de alguien que ha contestado de modo afirmativo a ambas cuestiones?
b) ¿Qu´e probabilidad hay de que, sabiendo que es de una persona que se ha fatigado, no le parezcan insuficientes la explicaciones?
c) ¿Seg´un las probabilidades asignadas a las dos respuestas, podemos decir que son independientes, entre las personas encuestadas, ambas cuestiones (recorrido fatigoso, explicaciones insuficientes)?
Problema 15 En un estudio de aguas localizadas en proximidades de centrales el´ectricas y de otras plantas industriales que vierten sus desag¨ues en el hidrosistema, se ha llegado a la conclusi´on de que el 5 % muestra signos de contaminaci´on qu´ımica y t´ermica, el 40 % de contaminaci´on qu´ımica y el 35 % de contaminaci´on t´ermica. Suponiendo que los resultados del estudio reflejen correctamente la situci´on general,
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un arroyo muestre contaminaci´on t´ermica o qu´ımica?
b) ¿Y la probabilidad de que un arroyo que presenta contaminaci´on t´ermica presente tambi´en contaminaci´on qu´ımica?
c) ¿Y la de que un arroyo que muestra contaminaci´on qu´ımica no presente contaminaci´on t´ermica?
Problema 16 Unos estudios muestran que los ejemplares de una cierta raza de liebres de alta monta˜na mueren antes de lo normal. Dos de las causas de muerte identificadas son: baja cantidad de az´ucar en sangre y convulsiones. Se estima que el 7 % de los animales presenta ambos s´ıntomas, el 40 % tienen bajo nivel de az´ucar en sangre, y el 25 % sufre convulsiones
a) ¿Cual es la probabilidad de que un animal elegido aleatoriamente presente alguno de los dos s´ıntomas?,¿y la de que no presente ninguno de los dos s´ıntomas?
b) Supongamos que un animal elegido tiene bajo nivel de az´ucar, ¿cu´al ser´a la probabilidad de que sufra tambi´en convulsiones?
Problema 17 Algunos caracteres en animales est´an sexualmente influenciados. Por ejemplo, la aparici´on de cor- namenta en la oveja est´a gobernada por un par de alelos, H y h. El alelo H para la presencia de la cornamenta es dominante en los machos pero recesivo en la hembras. El alelo h para ausencia de cornamenta es dominante en las hembras pero recesivo en los machos. Por tanto, dados un macho y una hembra heterocigotos (Hh), el macho tendr´a cornamenta y la hembra no. Supongamos que un macho y una hembra heterocigotos se aparean.
a) Calcula, para una cr´ıa de este cruce, las probabilidades de los distintos genotipos.
b) Cada cr´ıa de este cruce tiene exactamente la misma posibilidad de ser macho que de ser hembra. Calcula la probabilidad de que dada una cr´ıa, sea macho y tenga cornamenta.
c) Calcula la probabilidad de que dada una cr´ıa, sea hembra y tenga cornamenta.
d) Halla la probabilidad de que una cr´ıa dada tenga cornamenta.
e) ¿Son los sucesos “la cr´ıa es macho” y “la cr´ıa tiene cornamenta” independientes?
