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EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
RESUELTOS MEDIANTE EL METODO SIMPLEX
I. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B****. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B , y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B****. El precio del tipo I es de 10 dólares y el del tipo II es de 30 dólares. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Sustancia A Sustancia B Precio $ Tipo I (x) 1 5 10 Tipo II (y) 5 1 30 15 15
Variables de decisión:
Tipo I x
Tipo II y
Función Objetivo:
Min z=10x +30y
Restricciones:
sa: 𝑥 + 5 𝑦 ≥ 15
1. Convertir a igualdad las restricciones:
2. Igualar la función objetivo a 0
3. Escribir la tabla inicial simplex
Iteración 1
Base x y e1 e2 Vs e1 1 5 - 1 0 15 e2 5 1 0 - 1 15
- z 10 30 0 0 0 Vfe2: 5 1 0 - 1 15 Vf-z: 10 30 0 0 0 - - - - - - - - - - 1 1 1 1 1 30 30 30 30 30
1/5 1 - 1/5 0 3 1/5 1 - 1/5 0 3 = = = = = = = = = = Nfe2: 24/5 0 1/5 - 1 12 Nf-z: 4 0 6 0 - 90
Iteración 2
Base x y e1 e2 Vs y 1/5 1 - 1/5 0 3 e2 24/5 0 1/5 - 1 12
- z 4 0 6 0 - 90 Vfy: 1/5 1 - 1/5 0 3 Vf-z: 4 0 6 0 - 90 - - - - - - - - - - 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 4 4 4 4 4
1 0 1/24 - 5/24 5/2 1 0 1/24 - 5/24 5/ = = = = = = = = = = Nfy: 0 1 - 5/24 1/24 5/2 Nf-z: 0 0 35/6 5/6 - 100
Iteración 3
Base x y e1 e2 Vs y 0 1 - 5/24 1/24 5/ x 1 0 1/24 - 5/24 5/ z 0 0 - 35/6 - 5/6 +
Respuestas:
x= 5/2 3
y=5/2 3
z=
3. Escribir la tabla inicial simplex
Iteración 1
Base x y h 1 h 2 Vs h 1 1 3 1 0 9 h 2 5 1 0 1 8 z - 20 - 40 0 0 0 Vfh2: 5 1 0 1 8 Vfz: - 20 - 40 0 0 0
1 1 1 1 1 - 40 - 40 - 40 - 40 - 40
1/3 1 1/3 0 3 1/3 1 1/3 0 3 = = = = = = = = = = Nfh2: 14/3 0 - 1/3 1 5 Nfz: - 20/3 0 40/3 0 120
Iteración 2
Base x y h 1 h 2 Vs y 1/3 1 1/3 0 3 h 2 14/3 0 - 1/3 1 5 z - 20/3 0 40/3 0 120 Vfy: 1/3 1 1/3 0 3 Vfz: - 20/3 0 40/3 0 120
1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 - 20/3 - 20/3 - 20/3 - 20/3 - 20/
1 0 - 1/14 3/14 15/14 1 0 - 1/14 3/14 15/ = = = = = = = = = = Nfy: 0 1 15/42 - 1/14 37/14 Nfz: 0 0 90/7 10/7 890/
Iteración 3
Base x y h 1 h 2 Vs y 0 1 15/42 - 1/14 37/ x 1 0 - 1/14 3/14 15/ z 0 0 90/7 10/7 890/
Respuestas:
x= 15/
y=37/
z=890/
III. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 dólares cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 dólares. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. Oro Plata Precio $ Tipo A (x) 1 3/2 40 Tipo B (y) 3/2^1 750 750
Variables de decisión:
Tipo A x
Tipo B y
Función Objetivo:
Max z=40x +50y
Restricciones:
sa: 𝑥 +
3 𝑦 2
3 𝑥 2
1. Convertir a igualdad las restricciones:
3 𝑦 2
3 𝑥 2
2. Igualar la función objetivo a 0
IV. Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica está dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: Montaje Acabado Utilitaria 3 horas 3 horas Lujo 3 horas 6 horas El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, ¿cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio? Montaje Acabado Precio $ Utilitarias (x)^3 3 Lujo (y)^3 6 120 180
Variables de decisión:
Utilitarias x
Lujo y
Función Objetivo:
Max z=300x +400y
Restricciones:
sa: 3 𝑥 + 3 𝑦 ≤ 120
1. Convertir a igualdad las restricciones:
2. Igualar la función objetivo a 0
3. Escribir la tabla inicial simplex
Iteración 1
Base x y h 1 h 2 Vs h 1 3 3 1 0 120 h 2 3 6 0 1 180 z - 300 - 400 0 0 0 Vfh1: 3 3 1 0 120 Vfz: - 300 - 400 0 0 0
3 3 3 3 3 - 400 - 400 - 400 - 400 - 400
1/2 1 0 1/6 30 1/2 1 0 1/6 30 = = = = = = = = = = Nfh1: 3/2 0 1 - 1/2 30 Nfz: - 100 0 0 200/3 12000
Iteración 2
Base x y h 1 h 2 Vs h1 3/2 0 1 - 1/2 30 y 1/2 1 0 1/6 30 z - 100 0 0 200/3 12000 Vfy: 1/2 1 0 1/6 30 Vfz: - 100 0 0 200/3 12000
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 - 100 - 100 - 100 - 100 - 100
1 0 2/3 - 1/3 20 1 0 2/3 - 1/3 20 = = = = = = = = = = Nfy: 0 1 - 1/3 1/3 20 Nfz: 0 0 200/3 100/3 14000
Iteración 3
Base x y h 1 h 2 Vs x 1 0 2/3 - 1/3 20 y 0 1 - 1/3 1/3 20 z 0 0 200/3 100/3 14000
Respuestas:
x= 20
y=
z=
6. Escribir la tabla inicial simplex
Iteración 1
Base x y e1 e2 Vs e1 1 2 - 1 0 750 e2 3/2 1 0 - 1 1000
- z 50 40 0 0 0 Vfe1: 1 2 - 1 0 750 Vf-z: 50 40 0 0 0 - - - - - - - - - - 1 1 1 1 1 50 50 50 50 50
1 2/3 0 - 2/3 2000/3 1 2/3 0 - 2/3 2000/ = = = = = = = = = = Nfe1: 0 4/3 - 1 2/3 250/3 Nf-z: 0 20/3 0 100/3 - 100000/
Iteración 2
Base x y e1 e2 Vs e1 0 4/3 - 1 2/3 250/ x 1 2/3 0 - 2/3 2000/
- z 0 20/3 0 100/3 - 100000/ Vfx: 1 2/3 0 - 2/3 2000/3 Vf-z: 0 20/3 0 100/3 - 100000/ - - - - - - - - - - 2/3 2/3 2/3 2/3 2/3 20/3 20/3 20/3 20/3 20/
0 1 - 3/4 1/2 125/2 0 1 - 3/4 1/2 125/ = = = = = = = = = = Nfx: 1 0 1/2 - 1 625 Nf-z: 0 0 5 30 - 33750
Iteración 3
Base x y e1 e2 Vs y 0 1 - 3/4 ½ 125/ x 1 0 ½ - 1 625 z 0 0 - 5 - 30 33750
Respuestas:
x= 625
y=1 25 /
z=
