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ESTAD´ISTICA Y AN ´ALISIS DE DATOS
Pr´actica del Tema 6. Esperanza matem´atica, momentos, funci´on caracter´ıstica
- Sea (X, Y ) una v.a. cuya distribuci´on conjunta aparece en la siguiente tabla:
(X, Y ) − 1 1 0 3/6 1/ 1 2/6 0
a) Calcula E(X) y E(Y ). b) Calcula la covarianza entre X e Y. ¿Son independientes? Raz´onalo. c) Calcula para la v.a. X las funciones caracter´ıstica, generatriz de momentos y cumulativa. Deduce a partir de la funci´on generatriz de momentos el valor de la varianza de X.
- Consideremos una v. a. bidimensional (X, Y ) con funci´on de densidad conjunta:
f (x, y) =
3 4 x
(^2) y si x ∈ (0, 2) e y ∈ (0, 1)
0 en otro caso.
a) Calcula E[X], E[Y ] y E[XY ]. ¿Cu´al es el valor de la covarianza entre X e Y? b) Calcula E[X|Y = 0, 5]. c) ¿Son X e Y independientes? Raz´onalo.
- Sea una diana de 20 cm. de radio dividida en cuatro zonas con distintas puntuacio- nes; si la distancia del dardo al centro es menor que 5 cm., la puntuaci´on obtenida es 50 puntos, de 5 a 10 cm., 25 puntos, de 10 a 15 cm., 10 puntos y de 15 a 20 cm., 5 puntos. Supongamos que la distancia del dardo lanzado por un cierto individuo al centro de la diana viene dada por una v.a. X con funci´on de densidad:
f (x) =
30 − x 400
si x ∈ (0, 20)
0 en otro caso.
a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el individuo no d´e en la diana? b) Calcula la distancia media al centro de la diana de los lanzamientos. c) Calcula la media de la puntuaci´on obtenida. Puedes ayudarte utilizando la siguiente tabla: Puntos Distancia al centro Probabilidad 50 (0,5) P rob[X ∈ (0, 5)] =? 25 (5,10) P rob[X ∈ (5, 10)] =? 10 (10,15) P rob[X ∈ (10, 15)] =? 5 (15,20) P rob[X ∈ (15, 20)] =?
- La media y la varianza de la distribuci´on de probabilidades de la v.a. X son, respec- tivamente, 10 y 3. Calcula, y si no es posible acota inferiormente, la probabilidad de que la variable aleatoria X pertenezca al intervalo (8, 12) en las siguientes hip´otesis:
a) Caso de distribuci´on desconocida. b) Caso de distribuci´on uniforme en el intervalo (7; 13). Se puede comprobar que en este caso la media y varianza tambi´en son 10 y 3, respectivamente: E(X) = a+ 2 b= 7+13 2 = 10 y V ar(X) = (b−a)
2 12 =^
(13−7)^2 12 = 3.
- Los ingresos y gastos de una empresa son aleatorios. Las distribuciones de probabi- lidad correspondientes son desconocidas, pero se sabe que la media y la desviaci´on t´ıpica en miles de euros de los ingresos son mx = 1500, σx = 100; y las de los gastos my = 1200, σy = 80, siendo el coeficiente de correlaci´on entre ingresos y gastos ρ = 0,8. Si, Benef icio = Ingresos − Gastos = X − Y,
a) Calcula la media y la varianza del beneficio de esta empresa. b) Calcula una cota para la probabilidad de que dicho beneficio est´e comprendido entre 0,21 y 0,39 millones de euros.
- Se define la distribuci´on de probabilidad de la v.a. (X, Y ) dando a cada uno de los diez puntos siguientes la probabilidad 0.1. Es decir:
P (1, 1) = P (2, 1) = P (2, 2) = P (2, 3) = P (3, 1) = P (3, 2) = P (3, 3) = P (3, 4) = P (4, 3) = P (4, 4) = 0, 1
Demuestra que el coeficiente de correlaci´on entre X e Y es igual a 0,6186.
- Considera un dado regular y perfecto.
a) ¿Cu´al es el valor medio de la puntuaci´on que se obtiene al realizar un lanza- miento? b) ¿Cu´al es su varianza? c) Se realizan n lanzamientos sucesivos, y se define la v.a. Xn como la media aritm´etica de las puntuaciones obtenidas en los n lanzamientos. Calcula la media y la varianza de dicha media aritm´etica, E(Xn) y Var(Xn).
- La media y la desviaci´on t´ıpica de la distribuci´on de probabilidades de la v.a. X son respectivamente m = 5 y σ = 0,1. Hallar la probabilidad, o una cota inferior de la misma, correspondiente al intervalo (4,85; 5,15) en las dos siguientes situaciones:
a) Caso de distribuci´on de X desconocida. b) Caso de que X tenga distribuci´on uniforme en un cierto intervalo (a, b). Re- cuerda que en este caso la media y varianza tambi´en son E(X) = a+ 2 b= 5 y V ar(X) = (b−a)
2 12 = 0,^1
(^2) = 0,01, respectivamente.
- Una compa˜n´ıa de telefon´ıa m´ovil factura por minuto completo. Un cliente consume sin tener en cuenta este hecho, es decir, el tiempo que tarda en hablar es un n´umero entero de minutos m´as los segundos, que se reparten de forma uniforme entre 0 y 60. Este cliente tiene contratada una tarifa de 21 c´entimos de euro por minuto durante todo el d´ıa. Recuerda que si X ∼ U (a, b), su media es E(X) = a+ 2 by su varianza es V ar(X) = (b−a)
2
a) Calcular el n´umero medio de segundos que la compa˜n´ıa cobra de m´as a este cliente en cada llamada. b) Calcular la varianza de los segundos que la compa˜n´ıa cobra de m´as a este cliente en cada llamada. c) Calcular la media y la varianza de la cantidad, en euros, que la compa˜n´ıa cobra de m´as a este cliente en cada llamada. d ) Si el cliente realiza 15 llamadas en un d´ıa ¿cu´al es la media y la varianza de la cantidad total que la compa˜n´ıa cobra de m´as a este cliente en un d´ıa?
- Sea X una v.a. discreta con distribuci´on:
P (X = −1) = 14 P (X = 0) = 12 P (X = 1) = (^14) Hallar:
a) La funci´on de cuant´ıa de Z = X^2. b) La funci´on caracter´ıstica de Z. c) La media y la varianza de Z a partir de su funci´on caracter´ıstica.
- Una mujer decide tener hijos hasta que uno de ellos sea ni˜na, o hasta que alcance un total de 5 varones, en cuyo caso desiste de su empe˜no de tener una ni˜na. Sea X la v.a. “n´umero total de hijos”. Si P(ni˜no)=P(ni˜na)=^12 , calcular:
a) La funci´on de cuant´ıa de X. (Nota: se trata de una mujer f´ertil, por lo que P (X = 0) = 0). b) Obtener la funci´on caracter´ıstica de X. c) Deducir la media y la varianza de X. d ) Consideremos ahora dos mujeres distintas con comportamiento independiente y similar al descrito m´as arriba. Sean X e Y los n´umeros respectivos de hijos que tiene cada una y Z = X + Y el n´umero total de hijos de las dos mujeres. Calcular P (Z = 4).
- Considera la v.a. (X, Y ), cuya funci´on de densidad es:
f (x, y) =
k si 0 ≤ x ≤ 1 , y ≤ x, 0 ≤ y ≤ 1 0 en otro caso
Calcular:
a) El coeficiente de correlaci´on lineal entre X e Y. b) ¿Son X e Y incorrelacionadas? ¿Son independientes?
- Sean X e Y v.a. independientes con funciones caracter´ısticas ψX (u) = e^3 iu−u^2 y ψY (u) = e^2 iu−^2 u^2. Calcular la funci´on caracter´ıstica de Z = 2X − 3 Y + 4.
- a) E(X) = 1 124 + 2 126 + 3 122 = 2212 = 1, 833
E(Z) = 5 E(X) + 3 = 5^2212 + 3 = 14612 = 12, 167 b) E(X^2 ) = 12 4 12 + 22 6 12 + 32 2 12 = (^4612) σ X^2 = E(X^2 ) − [E(X)]^2 = 4612 −
12
c) E(eiuX^ ) = eiu1 4 12 + eiu2 6 12 + eiu3 2 12 = 16 (2eiu^ + 3e^2 iu^ + e^3 iu) d ) E(XY ) = 1 123 + 2 121 + 2 122 + 4 124 + 6 122 = (^3712) E(Y ) = 1 125 + 2 127 = (^1912) Cov(X,Y) = E(X, Y ) − E(X)E(Y ) = 3712 − 2212 ·^192 = 12262 = 0, 18055
- a) La distribuci´on marginal de la v.a. X, es: P (X = −1) = P (X = 0) = P (X = 1) = (^13) Y la de la v.a. Y , es: P (Y = −1) = P (Y = 0) = P (Y = 1) = (^13) Es decir ambas variables tienen la misma distribuci´on. b) E(X) = − 1 · 13 + 0 · 13 + 1 · 13 = 0. Como X e Y tienen la misma distribuci´on, tienen la misma media, luego E(Y ) = E(X) = 0. Adem´as E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = 0.
E(X · Y ) = (−1)^2 · P (− 1 , −1) + (−1) · 0 · P (− 1 , 0) + (−1) · 1 · P (− 1 , 1)
+ (0) · (−1) · P (0, −1) + 0 · 0 · P (0, 0) + 0 · 1 · P (0, 1)
+ (1) · (−1) · P (1, −1) + 1 · 0 · P (1, 0) + 1 · 1 · P (1, 1) =
c) V ar(X) = E(X^2 ) − (E(X))^2 , donde E(X) = 0 y E(X^2 ) = (−1)2 1 3 + (0)2 1 3 + (1)2 1 3 = 23. Luego V ar(X) = 23. Lo mismo para la v.a. Y , V ar(Y ) = 23. Finalmente, V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2 · Cov(X, Y ). Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) = 0 − 0 = 0, luego V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) = 23 + 23 = 43.
- Son correctas c) y d)
- X es el n´umero de segundos que habla sin contar los minutos completos.
a) Y = 60 - X es el n´umero de segundos que la compa˜n´ıa cobra de m´as a este cliente en cada llamada. E(X) = 30 E(Y ) = 60 − E(X) = 30 b) σ X^2 = (60−0)
2 12 = 300 σ Y^2 = σ X^2 = 300
c) Si llamamos D al dinero, en euros, que la compa˜n´ıa cobra de m´as a este cliente en cada llamada. D = 060 ,^21 Y E(D) = 0 , 6021 E(Y ) = 060 ,^21 30 = 0, 105 σ D^2 =
60
σ^2 Y =
60
d ) Si llamamos DT a la cantidad total, en euros, que la compa˜n´ıa cobra de m´as a este cliente en un d´ıa. DT = D 1 + · · · + D 15 E(DT ) = 15 · E(D) = 15 · 0 ,105 = 1, 575 σ DT^2 = 15 σ D^2 = 15 · 0 ,003675 = 0, 055125
- a) P (Z = 0) = P (Z = 1) = (^12)
b) ψZ (u) = 12 + 12 eiu c) E(Z) = 12 , Var(Z) = (^14)
- a) P (X = 1) = 12 , P (X = 2) = 14 , P (X = 3) = 18 , P (X = 4) = 161 , P (X = 5) = 322
b) ψX (u) = 12 eiu^ + 14 e^2 iu^ + 18 e^3 iu^ + 161 e^4 iu^ + 322 e^5 iu c) E(X) = 1,9375, Var(X) = 1, 4335 d ) P (Z = 4) = 0, 1875
- a) ρ = (^12)
b) ρ 6 = 0, luego est´an correlacionadas, luego no son independientes, son depen- dientes. Su dependencia lineal es positiva y moderada.
- ψZ (u) = e^4 iu−^22 u^2
