¡Descarga Ejercicios de Estadística II: Regresión Lineal y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
Estad´ıstica II
Ejercicios Tema 4
- Los siguientes datos muestran la estatura (en cm.) y el peso (en Kg.) para una muestra de cinco alumnos de una clase:
estatura (cm.) peso (Kg.) 154 60 158 62 162 61 171 66 176 84
a) Calcula e interpreta los coeficientes de covarianza y de correlaci´on lineal muestrales entre la estatura y el peso. b) Calcula estimadores puntuales para los par´ametros (pendiente y constante) de la recta de regresi´on del peso en funci´on de la estatura, as´ı como para la varianza del error de la respuesta. ¿En cu´antos Kg. aumenta el peso, en promedio, por cada 10 cm. adicionales de estatura? c) Calcula estimadores por intervalos al 10 % de confianza para los par´ametros (pendiente y constante) de la recta de regresi´on del peso en funci´on de la estatura, as´ı como para la varianza del error de la respuesta. d ) ¿Aportan los datos evidencia significativa al 10 % para concluir que el peso depende linealmente de la estatura? Plantea y resuelve el contraste de hip´otesis correspondiente, y acota su p-valor. ¿Para qu´e niveles de significaci´on puedes asegurar que el peso depende de la estatura? e) Supongamos que un alumno mide 174 cm. A partir de los datos dados, ¿cu´al es el peso medio estimado de los alumnos que miden 174 cm? Da un intervalo de confianza al 95 % para el peso medio de los alumnos que miden 174 cm. Supongamos que cierto alumno de la clase mide 174 cm. Calcula un intervalo de predicci´on al 95 % de confianza para su peso.
- La siguiente tabla muestra informaci´on sobre la venta en 1998 de prensa diaria escrita en ejemplares diarios vendidos por cada mil habitantes para 8 comunidades aut´onomas espa˜nolas, relacion´andola con su producci´on econ´omica basada en el Producto Interior Bruto (PIB) por habitante en miles de euros (Fuente: INE. Anuario Estad´ıstico).
PIB 8 , 3 9 , 7 10 , 7 11 , 7 12 , 4 15 , 4 16 , 3 17 , 2 Ejemplares 57 , 4 106 , 8 104 , 4 131 , 9 144 , 6 146 , 4 177 , 4 186 , 9
a) Estimar por M´ınimos Cuadrados un modelo de regresi´on simple para explicar el n´umero de ejemplares vendidos en t´erminos del PIB. b) Construir un intervalo de confianza al 95 % para la pendiente de la recta de regresi´on y con- trastar la hip´otesis de que dicho par´ametro toma valor cero. ¿Puede afirmarse que el n´umero de ejemplares vendidos depende linealmente del PIB? c) ¿Cu´al ser´a la venta de prensa que se podr´ıa predecir para una comunidad cuyo PIB por habitante fuese de 15000 euros? d ) Si para una regi´on cualquiera el valor del PIB aumentase en 2500 euros, ¿c´omo cabr´ıa esperar que variase la venta de prensa diaria?
- Se pretende estimar la relaci´on entre el n´umero de habitantes (x) de cada ciudad de Espa˜na (medidos en millones) y el n´umero de ventas de ejemplares (y) de un cierto libro (medidos en miles de unidades) en dicha ciudad. Una muestra tomada sobre cinco ciudades arroja los siguientes datos:
¯x = 1, ¯y = 22,
∑^5
i=
x^2 i = 5, 98 ,
∑^5
i=
y^2 i = 3118,
∑^5
i=
xiyi = 136.
a) Construye un modelo de regresi´on lineal simple que modele las ventas del libro en funci´on del n´umero de habitantes de cada ciudad. Interpreta los coeficientes del modelo desde un punto de vista econ´omico. b) Si la poblaci´on de Bilbao es aproximadamente de 350.000 habitantes, efect´ua una predicci´on de cu´antos libros se vender´an en 2011 en dicha ciudad. ¿Es razonable, a un 95 % de confianza, suponer que se vender´an 12.000 libros? Puede utilizarse que
i=1 e 2 i = 8,204, donde los^ ei^ son los residuos de la regresi´on. c) Contrasta mediante el p-valor si los habitantes producen un efecto lineal significativo en las ventas. Interpreta los resultados. d ) ¿C´omo cambiar´a el modelo de regresi´on si decidimos medir las ventas de libros en unidades y el n´umero de habitantes en miles?
- Uno de los administradores de una empresa argumenta que el uso de Internet es la principal causa del gasto en la factura telef´onica. Para corroborar esta afirmaci´on, se toman datos en distintos departamentos del gasto telef´onico mensual en euros y los tiempos de conexi´on en minutos.
Cuant´ıa de la factura telef´onica 55 100 118 120 142 Tiempo de conexi´on 200 500 700 800 1000
(a) Calcular el coeficiente de correlaci´on entre ambas variables, existe una relaci´on de tipo lineal entre ellas? (b) Estimar un modelo de regresi´on lineal que permita estimar la cuant´ıa mensual de la factura telef´onica en t´erminos del tiempo de conexi´on. (c) De acuerdo a esta relaci´on lineal, ¿cu´al ser´ıa la cuant´ıa de la factura telef´onica de un departa- mento que no se conectase a Internet? Calcular un intervalo de confianza al 95 % para dicha estimaci´on. (d) ¿Cu´al ser´ıa el gasto telef´onico estimado seg´un esta relaci´on lineal si el tiempo de conexi´on a Internet de un departamento fuera de 2000 minutos? ¿Le parece aceptable tal predicci´on?
- Con el objetivo de estudiar la relaci´on lineal entre el precio de los autom´oviles y el n´umero de unidades vendidas, se procedi´o a recoger datos sobre tales magnitudes durante el pasado mes en una determinada regi´on. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Precio (miles de euros) Cantidad vendida (unidades mensuales) 7 , 5 450 9 425 10 , 5 400 12 350 14 325 16 300 18 290 20 , 5 280 23 , 5 260 27 200
(a) Calcular e interpretar el coeficiente de correlaci´on lineal entre ambas variables. (b) Una empresa radicada en la regi´on tiene previsto para el mes pr´oximo aumentar el precio de su modelo m´as vendido en 500 euros. Si suponemos como v´alida la relaci´on lineal entre las dos variables analizadas para los datos del pasado mes, ¿c´omo afectar´ıa este hecho a las ventas de dicho modelo? (c) Si expresamos el precio en euros y las cantidades vendidas en 10^2 unidades, ¿cu´al ser´ıa el modelo lineal que explica las ventas en funci´on del precio? ¿Y el coeficiente de correlaci´on?
- Una gasolinera ha recogido informaci´on acerca de su recaudaci´on diaria durante una semana, as´ı co- mo del n´umero de clientes que acudieron a la misma en cada d´ıa:
Recaudaci´on (10^3 euros) 1.5 10 8 3 5 15 2 N´umero de clientes (10^2 ) 3 6 5 3 , 5 4 8 3 , 2
a) Calcular e interpretar el coeficiente de correlaci´on lineal entre ambas variables. b) Estimar la recta de regresi´on correspondiente indicando el significado de cada coeficiente. c) Estimar la cantidad promedio de errores que cometer´a un trabajador que lleve cuatro a˜nos trabajando en la empresa.
- Una empresa desea investigar la relaci´on entre el n´umero de d´ıas que faltan sin permiso los empleados por a˜no (variable Y ) y la distancia en kil´ometros desde su hogar a su trabajo (variable X). Al analizar una muestra de empleados se obtuvieron los siguientes resultados:
cov(x, y) = 5,4; cor(x, y) = 0,7838; ¯x = 25; s^2 x = 12
Adem´as, para una distancia de 20 kil´ometros del hogar al trabajo, se ha estimado que el n´umero medio de d´ıas que faltan sin permiso es de 4.
a) Estimar un modelo de regresi´on lineal. b) En t´ermino medio, ¿cu´al ser´a el n´umero de d´ıas sin permiso que faltar´a un trabajador que viva a 18 kil´ometros del lugar de trabajo? c) Responder a los apartados anteriores expresando la distancia en metros.
- A partir de una muestra de pares de datos, {(x 1 , y 1 ) ,... , (xn, yn)}, se han obtenido los siguientes resultados: cor(x, y) = 0,9; x¯ = 5; s^2 x = 1,44; ¯y = 10; s^2 y = 4, 41
a) Determinar la recta de regresi´on de Y sobre X. b) ¿Cu´al ser´ıa la recta de regresi´on si cor(x, y) = 0? c) Responder a los apartados anteriores si el valor de cada una de las observaciones de la variable respuesta, yi, aumenta en 2 unidades.
- Los siguientes datos corresponden a una muestra de 10 alumnos universitarios seleccionados al azar donde la variable X representa el n´umero medio de hijos de sus abuelos y la variable Y el n´umero de hijos de sus padres:
X : 6 4 3 4 6 , 5 2 4 , 5 3 5 1 Y : 4 3 4 4 8 1 4 5 4 2
Se pide:
a) Calcular el coeficiente de correlaci´on entre las dos variables. Interpretar el resultado. b) Construir la recta de regresi´on que explique la variable Y en funci´on de los valores de X e interpretar su significado. ¿Cu´ales son los valores de los par´ametros del modelo de regresi´on lineal simple? ?Cu´al es el significado de la estimaci´on del coeficiente de regresi´on (coeficiente de X)? c) Hacer un contraste a un nivel de significaci´on del 1 % para ver si la relaci´on entre las dos variables es significativa.
- Los m´edicos est´an interesados en estudiar la relaci´on entre la dosis de un medicamento y el tiempo que necesita un paciente para recuperarse. La siguiente tabla muestra, para una muestra de 5 pacientes, las dosis administradas (en gramos), x, y los tiempos de recuperaci´on (en horas), y. Estos pacientes ten´ıan caracter´ısticas similares excepto por la dosis del medicamento que se les administr´o:
Dosis (gr) 1 , 2 1 , 0 1 , 5 1 , 2 1 , 4 Tiempo de recuperaci´on (horas) 25 40 10 27 16
Datos de inter´es: ∑^5
i=
xi = 6, 3 ,
∑^5
i=
x^2 i = 8, 09 ,
∑^5
i=
xiyi = 139, 8
∑^5
i=
yi = 118,
∑^5
i=
y^2 i = 3310,
∑^5
i=
e^2 i = 6, 42105
a) Calcular e interpretar el coeficiente de correlaci´on lineal entre ambas variables.
b) Realizar un ajuste lineal que exprese el tiempo de recuperaci´on en funci´on de la dosis admi- nistrada. c) Contrastar la hip´otesis de que el tiempo de recuperaci´on depende linealmente de la dosis suministrada.
d ) Determinar cu´al ser´a el tiempo medio de recuperaci´on previsto para aquellos pacientes similares a los que se les administren 135 centigramos de medicamento. Obtener un intervalo de confianza al 95 % para dicha predicci´on. e) Determinar cu´al ser´a el tiempo de recuperaci´on para un paciente al que se le administren 135 centigramos de medicamento. Obtener un intervalo de confianza al 95 % para dicha predicci´on. f ) Obtener la ecuaci´on de la recta de regresi´on si expres´asemos la dosis en centigramos y el tiempo de recuperaci´on en minutos.
g) Despu´es de responder a los apartados anteriores, completa la tabla que se obtendr´ıa como resultado de llevar a cabo este an´alisis utilizando software (completa los valores indicados con una interrogaci´on): Regression Analysis - Linear model: Y = a + b*X
Dependent variable: T_Recuperacion Independent variable: Dosis
Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value
Intercept? 4,7732 20,3659 0, Slope????
