Estad
´
ıstica II
Ejercicios Tema 2
1. Una empresa farmac´eutica est´a preocupada por controlar el nivel de impurezas en uno de sus
productos; su objetivo es que la concentraci´on de las impurezas no supere el 3%. Se sabe que para
un lote del producto la concentraci´on de las impurezas sigue una distribuci´on normal con desviaci´on
t´ıpica de 0.4%. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de un lote del tama˜no 64, y se ha obtenido
que la concentraci´on promedio de las impurezas en la muestra era de 3.07%.
(a) Contraste a un nivel del 5% que la media de impurezas en la poblaci´on es igual al 3%, frente
a la alternativa de que sea mayor del 3%.
(b) Encuentre el menor nivel de significaci´on para el que se pueda rechazar la hip´otesis nula.
(c) Supongamos que la hip´otesis alternativa fuese bilateral en vez de unilateral. Indique, sin llevar
a cabo nuevos c´alculos, si el p-valor del contraste ser´ıa superior o inferior al obtenido en 1b.
Dibuje un gr´afico que ilustre sus argumentos.
(d) En el contexto de este problema, explique porqu´e una hip´otesis alternativa unilateral puede
ser m´as apropiada que una hip´otesis bilateral.
2. Un profesor de Estad´ıstica est´a interesado en contrastar la capacidad de los estudiantes para deter-
minar la dificultad de un examen una vez que lo han completado. Un n´umero elevado de estudiantes
han realizado un examen, con una nota promedio de 78.5. Se pide a una muestra aleatoria de ocho
estudiantes que predigan esta nota media, obteniendo los valores siguientes:
72 83 78 65 69 77 81 71
Suponemos que la distribuci´on de estas predicciones es normal.
(a) Contraste la hip´otesis nula de que la media de las predicciones en la poblaci´on ser´ıa 78.5.
Utilice una alternativa bilateral y un nivel de significaci´on del 10%.
(b) Si se hubieran obtenido los mismos valores (media y desviaci´on t´ıpica) de una muestra aleatoria
de diecis´eis estudiantes, ¿ser´ıa la conclusi´on del contraste diferente de la obtenida en 2a?
(c) Si llevar a cabo ning´un nuevo c´alculo y sobre la base de la respuesta a 2a, decida si un intervalo
de confianza al 90% para la media de la poblaci´on incluir´ıa el valor 78.5 o no. ¿Y en el caso
de un intervalo de confianza para la media al 95%?
3. El alcalde de una ciudad cree que en una barriada especialmente deprimida al menos el 20% de
todos los varones entre 18 y 65 a˜nos de edad est´an en paro. Una muestra aleatoria de 120 hombres
de esta poblaci´on incluy´o a veinte desempleados.
(a) Contraste la creencia del alcalde a un nivel de significaci´on del 5%.
(b) Calcule la potencia de dicho contraste.
(c) Construya una gr´afica de la curva obtenida en 3b usando Excel.
(d) A partir del gr´afico obtenido en 3c, ¿para qu´e valores de pes la potencia del contraste mayor
o igual que 0.8 (aproximadamente)? Para estos valores de p, ¿cu´al es una cota superior para
la probabilidad de un error de Tipo II?
(e) ¿Cu´al ser´ıa una cota superior para la potencia cuando p≥0.2?
4. Una posible manera de evaluar la eficiencia de un profesor consiste en examinar las puntuaciones
obtenidas por sus alumnos en el examen final. El valor medio de estas notas es por supuesto
relevante, pero tambi´en lo es la varianza: algunos profesores traba jan muy bien con los estudiantes
m´as brillantes, pero pueden obtener peores resultados con estudiantes menos brillantes o menos
motivados. Para aplicar este procedimiento, el coordinador de la asignatura fija un examen est´andar
para todos los grupos de la misma. Este experimento se ha llevado a cabo durante varios a˜nos en
una cierta asignatura, y la varianza observada ha estado t´ıpicamente pr´oxima a 300. Un nuevo
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