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Estadística I
Ejercicios del Tema 5
Curso 2020/
- La variable X= número de hijos por familia de una cierta ciudad tiene distribución de probabilidad:
X P(X=x) 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0.
Calcular:
a) Media. ¾Qué signi cado tiene este número? b) Varianza y desviación típica. c) Suponiendo que el ayuntamiento de la ciudad paga 1000 euros por hijo y que Y = 1000X, ¾Qué representa Y? ¾Cuál es su distribución de probabilidad? d ) Media y desviación típica de Y. e) Responde a las dos preguntas anteriores si el ayuntamiento decide cambiar la prestación por hijo de manera que ahora paga 350x^2 , siendo x el número de hijos.
- La siguiente grá ca corresponde a la función de densidad de una variable continua X.
a) Calcula la probabilidad de que X sea menor que uno. Razónalo grá camente. b) Calcula la probabilidad de que X sea mayor que 0.5 y menor que 3/2. Razónalo analíticamente. c) Calcula la media de la distribución. d ) Calcula la varianza de la distribución.
- La duración en minutos de una llamada a cierto servicio de atención al cliente se distribuye como una v.a. continua cuya función de distribución es:
F (x) =
0 si x ≤ 0 1 − 23 e
− 2 x (^3) − 13 e −x (^3) si x > 0
Se estima que las llamadas que tienen una duración superior a los 6 minutos reciben una cali cación muy baja en la satisfacción del cliente, mientras que aquellas que en las que el cliente es atendido en menos de 3 minutos reciben una cali cación muy alta:
a) Calcula la probabilidad de que la duración de una llamada esté comprendida entre 3 y 6 minutos. b) Calcula la probabilidad de que una llamada exceda los 6 minutos. c) Una llamada lleva 3 minutos. >Cuál es la probabilidad de que no pase de los 6 minutos?
- Para cada una de las siguientes situaciones, indica si la variable aleatoria de nida sigue una distribución binomial. En caso a rmativo, identi ca los valores de n y p :
a) Lanzamos cien veces un dado y nos preguntamos por el número de unos que obtenemos. b) Extraemos una carta de una baraja y vemos si es un as o no. Sin devolverla al mazo, extraemos otra y también miramos si se trata de un as o no, ... y así sucesivamente hasta diez veces. c) El 2 % de las naranjas que se empaquetan en un cierto lugar están estropeadas. Se empaquetan en bolsas de 10 naranjas cada una. Nos preguntamos por el número de naranjas estropeadas de una bolsa elegida al azar. d ) En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Repetimos la experiencia 10 veces y estamos interesados en saber el número de bolas blancas que hemos extraído. e) En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Repetimos la experiencia 10 veces y estamos interesados en saber el número de bolas de cada color que hemos obtenido.
- (Examen mayo 2017) Una empresa ha diseñado la siguiente campaña para anunciar un producto a escala global mediante el envío masivo de correos electrónicos (emails): Enviará cien mil emails a potenciales clientes no relacionados entre sí ofertando su producto, que reporta un bene cio de 70 e por unidad. La empresa asume que, en promedio, una de cada diez personas que recibe el email comprará el producto. Responde a las siguientes preguntas, justi cándolas adecuadamente.
(a) Especi ca un modelo probabilístico para la variable aleatoria Y , que representa el bene cio que se obtendrá con la campaña. (b) Calcula la media, varianza y desviación típica del bene cio Y. (c) Calcula (de forma exacta o aproximada) la probabilidad de que el bene cio Y supere los 712000 e.
- Una entidad bancaria ofrece como producto un depósito por valor de 6000 euros con plena liquidez. Dispone de 25 depósitos suscritos. Si la probabilidad de un reintegro de uno de los depósitos es de 0 , 01 al día y los reintegros son independientes entre sí, ¾de cuánto dinero debe disponer el banco en su caja para asegurar los pagos por este producto en al menos el 99 % de los días?
- Una compañía alquila un ordenador por periodos de t horas, cobrando por ello un total de 600 euros por hora. El número de veces que el ordenador se estropea durante una hora es una variable aleatoria con distribución de Poisson, y la tasa de fallo es de λ = 0, 08. Si el ordenador se rompe x veces en las t horas, debe pagar 50 x^2 para arreglarlo. Obtén el bene cio esperado de la compañía en función de t. ¾Para que valor de t obtiene la compañía el máximo bene cio esperado?
- Una empresa aseguradora recibe un promedio de 3 partes de accidentes de vehículos al día. Además, se sabe que el número de partes que llegan al día sigue una distribución de Poisson.
a) Calcula la probabilidad de que en dos días consecutivos lleguen más de 2 partes. b) Si para cada parte que llega, la cuantía que la compañía aseguradora tiene que pagar al asegurado sigue una distribución exponencial de media 500 euros, obtén la función de distribución de la cuantía que la compañía tiene que pagar a un asegurado por cada parte que llega. Calcula la probabilidad de que en un parte determinado haya que pagarle al asegurado más de 1200 euros.
a) Dibuja la función de densidad de la variable aleatoria X. Especi ca en los ejes de coordenadas tanto los valores de X con densidad positiva, como los valores que toma la función de densidad.
b) ¾Cuál es la probabilidad de que un autobús tarde entre 30 y 37.5 minutos en realizar su trayecto?
c) Se seleccionan aleatoriamente 100 autobuses urbanos de esta ciudad y se cuenta cuántos de ellos tardarán entre 30 y 37.5 minutos en realizar sus trayectos. Especi ca el nombre de la distribución de esta nueva variable aleatoria, que llamaremos Y , e indica los valores de sus parámetros. Calcula la esperanza y desviación típica de Y.
d) ¾Cuál es la probabilidad (aproximada) de que haya, entre los 100 autobuses seleccionados aleatoriamente, menos de 64 autobuses que tarden entre 30 y 37.5 minutos en realizar sus trayectos?
