Ejercicios tema 5 estadistica, Ejercicios de Estadística

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Estadística I

Tema 5: Modelos probabilísticos

Tema 5. Modelos probabilísticos

Contenidos

I (^) Variables aleatorias: concepto. I (^) Variables aleatorias discretas: I (^) Función de probabilidad y función de distribución I (^) Media y varianza de una v.a. discreta I (^) Variables aleatorias continuas: I (^) Función de densidad y función de distribución I (^) Media y varianza de una v.a. continua I (^) Modelos probabilísticos: I (^) Modelos de probabilidad discretos: Bernoulli, Binomial y Poisson I (^) Modelos de probabilidad continuos: Uniforme, exponencial y normal I (^) Teorema del Límite Central y aplicaciones (aproximación Normal a la Binomial)

Variables aleatorias

V.a. discretas:

Si X toma valores en un conjunto S ⊆ R finito o infinito numerable, decimos que X es una v.a. discreta

V.a. continuas

Si X toma valores en un conjunto S ⊆ R infinito no numerable (por ejemplo, en un intervalo o en una unión de intervalos de R), decimos que X es una v.a. continua

Ejemplos

I (^) X =“Resultado al tirar un dado” es una v.a. discreta con S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } I (^) Y =“Número de coches que pasan por cierto peaje en una semana” es una v.a. discreta con S = { 0 , 1 , 2 ,.. .} = N ∪ { 0 } I (^) Z = “altura (en cms.) de un alumno elegido al azar” es una v.a. continua con S = [ 0 , ∞)

Variables aleatorias discretas

Función de probabilidad

Sea X una v.a. discreta con valores x ∈ S. Su función de probabilidad (o de masa) asigna a cada posible valor de X su probabilidad: px = P{X = x} para x ∈ S

Ejemplo

X = resultado de lanzar un dado equilibrado. La función de probabilidad es

x 1 2 3 4 5 6 px (^161616161616)

En este caso, S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } y p 1 = · · · = p 6 = (^16)

Ejemplo

I (^) Un juego consiste en tratar de ensartar 3 aros sucesivamente en una pica. Participar cuesta 3 euros. Los premios son 4 euros por un acierto, 6 euros por dos y 30 euros por tres. Suponemos que la probabilidad de ensartar un aro es de 0.1 en cada intento, y que los resultados son independientes I (^) Definimos la v.a. X como la ganancia neta en el juego. El espacio muestral es Ω = {{f , f , f }, {a, f , f }, {f , a, f }, {f , f , a}, {a, a, f }, {a, f , a}, {f , a, a}, {a, a, a}} donde a denota acierto y f fallo. Por tanto, X solo admite cuatro posibles resultados, con las siguientes probabilidades: P{X = − 3 } = 0. 93 = 0. 729 P{X = 1 } = 3 × 0. 1 × 0. 92 = 0. 243 P{X = 3 } = 3 × 0. 12 × 0. 9 = 0. 027 P{X = 27 } = 0. 13 = 0. 001

Ejemplo

I (^) ¿Cuál es la probabilidad de ganar al menos 3 euros, descontando los 3 euros por participar?

P{X ≥ 3 } = P{X = 3 }+P{X = 27 } = 0. 027 + 0. 001 = 0. 028

I (^) ¿Cuál es la probabilidad de no perder dinero?

P{X ≥ 0 } = P{X = 1 } + P{X = 3 } + P{X = 27 } = = 0. 243 + 0. 027 + 0. 001 = 0. 271

o, lo que es lo mismo,

P{X ≥ 0 } = 1 −P{X < 0 } = 1 −P{X = − 3 } = 1 − 0. 729 = 0. 271

Ejemplo

I (^) La función de probabilidad de la v.a. X en el ejemplo del juego es

P{X = x} =

0 .729, si x = − 3 0 .243, si x = 1 0 .027, si x = 3 0 .001, si x = 27 I (^) Su función de distribución es

F (x) =

0, si x < − 3 0 .729, si − 3 ≤ x < 1

1. 729 + 0. 243 = 0 .972, si 1 ≤ x < 3
2. 729 + 0. 243 + 0. 027 = 0 .999, si 3 ≤ x < 27
3. 729 + 0. 243 + 0. 027 + 0. 001 = 1, si x ≥ 27

I (^) Nótese que F (x) es constante a trozos con discontinuidades de salto en los puntos de S. El salto en x ∈ S tiene magnitud P{X = x}

Esperanza (media) de una v.a. discreta

Sea X una v.a. discreta que toma valores en S con probabilidades px = P{X = x}. La esperanza (media) de X es

E [X ] =

x∈S

x P{X = x} =

x∈S

x px

Ejemplo

La esperanza de la v.a. X en el ejemplo del juego es

E [X ] =

x∈S

xP{X = x} =

= − 3 × P{X = − 3 } + 1 × P{X = 1 } + 3 × P{X = 3 }

• 27 × P{X = 27 } = − 3 × 0. 729 + 1 × 0. 243 + 3 × 0. 027 + 27 × 0. 001 = − 1. 836

Por lo tanto, la ganancia neta esperada (media) es de − 1 .836 euros

Varianza de una v.a. discreta

I (^) La varianza de la v.a. discreta X es

V [X ] = E [(X − E [X ])^2 ]

x∈S

(x − E [X ])^2 P{X = x}

x∈S

(x − E [X ])^2 px

I (^) La raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica. Se denota por S[X ] =

V [X ]

Ejemplo

La varianza de la v.a. X del ejemplo del juego es

V [X ] = E [X 2 ] − E [X ]^2 = 7. 776 − (− 1. 836 )^2 = 4 .405 euros^2

donde

E [X 2 ] = (− 3 )^2 × 0. 729 + 12 × 0. 243 + 32 × 0. 027 + 272 × 0. 001 = 7. 776

La desviación típica es S[X ] =

1. 405 = 2 .0988 euros

Ejemplo

Consideremos la v.a. X = número de caras al lanzar dos veces una moneda equilibrada. La función de probabilidad es

x 0 1 2 P{X = x} (^141214)

La esperanza (media) es

E [X ] = 0 ×

+ 1 ×

+ 2 ×

y la varianza es

V [X ] = E [X 2 ] − E [X ]^2 =

donde E [X 2 ] = 02 ×

+ 12 ×

+ 22 ×

Ejemplo de repaso

I (^) El conjunto donde X toma valores es S = {− 3 , − 1 , 1 , 3 } ya que

X (e 1 ) = 3 − 0 = 3 X (e 2 ) = X (e 3 ) = X (e 4 ) = 2 − 1 = 1 X (e 5 ) = X (e 6 ) = X (e 7 ) = 1 − 2 = − 1 X (e 8 ) = 0 − 3 = − 3

I (^) La función de probabilidad es

P{X = x} =

P{X = − 3 } =

3

P{X = − 1 } = 3 ×

3

× 23 = 29

P{X = 1 } = 3 × 13 ×

3

P{X = 3 } =

3

Ejemplo de repaso

I (^) Participamos en un juego en el que hay que pagar 6 euros. Si al lanzar 3 veces la moneda anterior aparece 1 cruz, ganamos 4 euros, si aparecen 2 cruces ganamos 6 euros y si aparecen 3 cruces ganamos 30 euros. ¿Cuál es la ganancia neta esperada? I (^) Sea Y la v.a. “ganancia neta en el juego”. Entonces I (^) Si no obtenemos ninguna cruz, X = 3, por lo que Y = −6 con probabilidad P{Y = − 6 } = P{X = 3 } = 278 I (^) Si obtenemos una cruz, X = 1, por lo que Y = −2 con probabilidad P{Y = − 2 } = P{X = 1 } = (^49) I (^) Si obtenemos dos cruces, X = −1, por lo que Y = 0 con probabilidad P{Y = 0 } = P{X = − 1 } = (^29) I (^) Si obtenemos tres cruces, X = −3, por lo que Y = 24 con probabilidad P{Y = 24 } = P{X = − 3 } = 271 I (^) Por tanto, Y toma valores en el conjunto S = {− 6 , − 2 , 0 , 24 }. La ganancia neta esperada es

E [Y ] = − 6 ×

− 2 ×

+ 0 ×

+ 24 ×

= − 1 .78 euros