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PROBLEMAS REPASO
TIPOLOGÍA 1 : ESTUDIO DE LA SUFICIENCIA DE UN ESTADÍSTICO
1 - En una población de parámetro desconocido 𝜃 con distribución exponencial definida a través
de una función de distribución 𝑓
2
−𝜃
2
𝑥
, 𝑥 ≥ 0 , 𝜃 > 0 , se considera el estadístico
𝑖
𝑛
𝑖= 1
. Estudiar si es suficiente 𝑇(𝑋).
Sabemos que 𝑇
es suficiente si se puede factorizar según el lema de Neyman-Fisher, es
decir,
Independencia total entre X y 𝜃
Calculando la función de verosimilitud:
1
1
2
𝑛
2
𝑛
2
−𝜃
2
𝑥
1
∙ 𝜃
2
−𝜃
2
𝑥
2
… 𝜃
2
−𝜃
2
𝑥
𝑛
= 𝜃
2 𝑛
−𝜃
2
(𝑥
1
+𝑥
2
+⋯+𝑥
𝑛
)
2 𝑛
−𝜃
2
∑ 𝑥
𝑖
𝑛
𝑖= 1 = 𝜃
2 𝑛
−𝜃
2
𝑇(𝑋)
tenemos que se puede definir 𝑔(𝑇(𝑋); 𝜃) como:
2 𝑛
−𝜃
2
𝑇
( 𝑋
)
De forma que considerando
ya que se cumple por enunciado que X es independiente de 𝜃, 𝑥 ≥ 0 , 𝜃 > 0 , se puede
establecer la factorización
y por tanto, se demuestra que 𝑇(𝑋) = ∑ 𝑥
𝑖
𝑛
𝑖= 1
es un estadístico suficiente.
*** NOTA : Repasar estos dos ejercicios, además de los realizados en clase.
TIPOLOGÍA 2 : ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE UN ESTIMADOR
1 - Dada una población de parámetro desconocido con distribución
1
3 𝜃
3
2
−
𝑥
𝜃
, 𝑥 ≥ 0 , 𝜃 > 0 ,
y el estimador de 𝜃
∗
𝑥
3
de 𝜃, se pide:
a) Estudiar la insesgadez del estadístico propuesto.
Sabemos que un estimador es insesgado, cuando lo que espero encontrarme es el
parámetro desconocido.
∗
𝑥
3
1
3
1
3
1
3
∗
Luego, 𝜃
∗
𝑥
3
es un estimador insesgado.
b) Estudiar si es consistente.
Sabemos que un estimador es cosistente cuando es insesgado y eficiente, o bien, su
sesgo y varianza tienden a cero asintóticamente (𝑛 →∞).
Por el apartado (a) tenemos que 𝜃
∗
𝑥
3
es insesgado.
Calculando 𝑉(𝜃
∗
𝑥
3
∑ 𝑥 𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑛
1
9 𝑛
2
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑛→∞
Otra forma 𝑉
∗
𝑥
3
1
9
1
9
𝜎
2
𝑛
𝑛→∞
Luego, 𝜃
∗
𝑥
3
es consistente ya que se cumplen ambas condiciones.
*** NOTA : Repasar los ejercicios realizados en clase relacionados con estas propiedades.
TIPOLOGÍA 4 : INTERVALOS DE CONFIANZA
✓ IC para la media 𝜇 de una población normal siendo σ conocida
*** NOTA : Repasar los ejercicios realizados en clase
✓ IC para la media 𝜇 de una población normal siendo σ desconocida
*** NOTA : Repasar los ejercicios realizados en clase
✓ IC para la proporción 𝑝 de una población dicotómica, B( 1 ; p )
*** NOTA : Repasar los ejercicios realizados en clase
