DEPARTAMENTO DE ECONO MÍA
GRADO EN ECONOMÍA
ESTADÍSTICA ECONÓMICA II
RELACIÓN DE EJERCICIOS Nº 2
1. Se selecciona una muestra aleatoria simple de una población de Poisson de
parámetro
, (X1, X2,…,X10), y se consideran los siguientes estimadores de
:
10
10
1 2 10 1
1 2 3
1
1
1
ˆ ˆ ˆ
10 3 9
i
i
i
i
X
X X X
X
Se pide:
a) Calcular el error cuadrático medio de estos estimadores.
b) ¿Son insesgados estos estimadores?
c) ¿Cuál de ellos es más eficiente?
Solución
( ) ( ) ( )X P E X y Var X
a) Para calcular el error cuadrático medio de los estimadores, tenemos
en cuenta que:
22
ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ( ))
ˆ
( ) ( )
ECM E Var b
donde b E
10 10 10
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 10 es insesgado ( ) 0
10 10 10 10
ii
i i i
E E X E X b
10 10
1
11
1 1 1
ˆ
( ) ( ) 10
10 100 100 10
ii
ii
Var Var X Var X
2
11
ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) 10
ECM E Var
1 2 10 1 2 10
2 2 2
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ
( ) es insesgado ( ) 0
3 3 3
X X X E X E X E X
E E b
1 2 10
2 1 2 10
11
ˆ
( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )
3 9 9 3
X X X
Var Var Var X Var X Var X
2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) 3
ECM E Var
10 10
11
3 3 3
1 ( ) 1
10 1 10 1 1
ˆ ˆ ˆ
( ) es sesgado ( )
9 9 9 9 9
ii
ii
X E X
E E b
10 10
11
3
1 ( )
10
ˆ
() 9 81 81
ii
ii
X Var X
Var Var
222
22
3 3 3 3
10 1 10 2 1 8 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) 81 9 81 81
ECM E Var b
b) Teniendo en cuenta los cálculos anteriores, podemos poner que
