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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - HOJA 1
Cátedra de Probabilidad y Estadística Octubre 2024
- El jefe de personal de una empresa desea conocer si la distribución de salarios en la citada empresa es tan equitativa como afirma el gerente, pero solo conoce que es una distribución simétrica de media aritmética 750 dólares, que el salario máximo es de 1500 dólares y que ordenados los salarios de los 100 trabajadores en cinco clases de igual amplitud solo 10 de ellos ganan menos de 300 dólares y 20 ganan entre 900 dólares y 1200 dólares. ¿tiene rzón el gerente? Justifique su respuesta, para eso haga la tabla de distribución de frecuencias y explique.
- Se seleccionan seis vehículos, de entre los que tienen permiso para estacionarse, y se registran los datos siguientes:
Vehículo Tipo Marca ¿Colectivo?
Distancia de viaje en una dirección (millas)
Antigüedad del vehículo (años) 1 Auto Honda No 23.6 6 2 Auto Toyota No 17.2 3 3 Camión Toyota No 10.1 4 4 Van Dodge Si 31.7 2 5 Moto Harley- Davidson No^ 25.5^1 6 Auto Chevrolet No 5.4 9 a) ¿Cuáles son las unidades experimentales o individuos? b) ¿Cuáles son las variables que se miden? ¿Qué tipos de variables son? c) ¿Estos datos son univariados, bivariados o multivariados?
- En una clínica infantil se ha ido anotando, durante un mes, el número de metros que cada niño anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a caminar, obteniéndose la tabla de información adjunta:
Número de metros 1 2 3 4 5 6 7 8 Número de niños 2 6 10 5 10 3 2 2 Se pide: a) Tabla de frecuencias. Diagrama de barras para frecuencias absolutas, relativas y acumula- das.
b) Mediana, media aritmética, moda y cuartiles y su interpretación. c) Rango, varianza, desviación típica y su interpretación. d) ¿Entre qué dos valores se encuentra, como mínimo, el 75 % de las observaciones?
- Se registran las siguientes mediciones para el tiempo de secado (en horas) de cierta marca de pintura esmaltada. 3.4 2.5 4.8 2.9 3. 2.8 3.3 5.6 3.7 2. 4.4 4.0 5.2 3.0 4. Suponga que las mediciones constituyen una muestra aleatoria simple. a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra anterior? b) Calcule la media de la muestra para estos datos. c) Calcule la mediana de la muestra. d) Grafique los datos utilizando una gráfica de puntos.
- Se han obtenido los siguientes datos respecto a los galones de gasolina utilizados diariamente en una empresa de transporte, durante 90 días.
49 56 53 41 49 59 56 59 57 43 47 53 47 48 43 49 47 56 48 43 44 41 49 42 49 43 56 49 47 55 41 44 55 49 59 56 49 57 41 47 48 41 47 43 56 44 53 47 43 47 43 59 53 43 47 49 42 47 49 42 57 55 44 42 49 59 56 48 59 59 57 42 41 47 48 44 56 53 53 47 56 56 48 41 56 55 56 42 59 57
Determine: a) El número de días en los que se utilizaron, en cada uno de ellos, menos de 48 galones de gasolina. Respuesta(s): 38 días. b) El número de días en los que se utilizaron mínimo 45 galones y menos de 56 galones. Respuesta(s): 39 días. c) El número total de galones de gasolina que se utilizaron en los 32 días de mayor consumo. Respuesta(s): 1808 galones. d) El número total de galones de gasolina que se utilizaron en los 25 días de menor consumo. Respuesta(s): 1059 galones e) El rango y el tercer cuartil de la muestra. Respuesta(s): Rango = 18; Q 3 = 56. f ) La media, la mediana y la desviación estándar. Respuesta(s): Media = 49.6; Q 2 = 49; s = 5.
- Los siguientes datos representan el número de horas de ejercicio a la semana que realizan 50 personas de cierto condominio. 12 12 13 12 11 10 5 5 7 8 9 7 8 1 12 7 7 9 8 12 13 11 20 22 3 7 8 22 22 12 13 15 12 17 12 2 2 15 17 12 13 15 19 20 12 15 15 17 18 7 a) Encuentre la media, mediana, moda, varianza y desviación estándar. b) ¿Cuáles son los cuartiles de la población? c) ¿Cuál es la proporción de datos que esta por encima de la media? d) ¿Qué proporción de los datos está dentro 1 desviación estándar de la media? e) Realice el diagrama de caja de esta población.
Respuesta(s): a) ¯x = 11.66, Med = 12, Mod = 12; b) Q 1 = 8, Q 2 = 12, Q = 15; c) 0.58 d) 68 %
- De una facultad con 786 estudiantes se ha tomado una muestra representativa de 80, respecto al número de signaturas aprobadas hasta la fecha en la que se obtuvo la muestra, con lo cual se ha organizado la tabla de frecuencias individuales adjunta. Número de asignaturas 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Número de estudiantes 2 4 5 8 13 12 9 11 7 6 3 Calcule: a) El número total de las asignaturas aprobadas por los 15 estudiantes de la muestra que menos asignaturas tienen aprobadas. b) El número total de las asignaturas aprobadas por los 14 estudiantes de la muestra que más asignaturas tienen aprobadas. c) El número de estudiantes, en la muestra y en la facultad, que han aprobado al menos 20 asignaturas y menos de 26 asignaturas. d) El número de estudiantes, en la muestra y en la facultad, que han aprobado más de 25 asignaturas.
- Las siguientes puntuaciones representan la calificación en un examen final para un curso de Probabilidad y Estadística: 23 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 95 41 65 92 85 55 76 52 10 64 75 78 25 80 98 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 15 79 34 67 17 82 69 74 63 80 85 61
a) Determine una distribución de frecuencias para el puntaje de los estudiantes. b) Elabore un histograma de frecuencias relativas. c) Calcule la media, la mediana y la desviación estándar de la muestra.
Respuesta(s): Media ≈ 65.48; Mediana = 71.5; Desv. estándar ≈ 21.
- Al medir la altura en cm. que pueden saltar un grupo de escolares, antes y después de haber efectuado cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los siguientes valores. ¿Piensas que el entrenamiento fue efectivo? Altura saltada en cm. Alumno Ana Bea Carol Diana Elena Fanny Gia Hilda Inés Juana Antes del entrenamiento 115 112 107 119 115 138 126 105 104 115 Después del entrenamiento 128 115 106 128 122 145 132 109 102 117
- Sabiendo que la frecuencia absoluta de alumnos que tienen 3 hermanos es 30 y que la frecuencia acumulada de alumnos que tienen hasta 3 hermanos es 80. ¿Cuántos alumnos tienen 2 herma- nos o menos?
- Se entiende por punto de riesgo un cruce, un tramo o una zona, donde se han producido más de 10 accidentes. En el área metropolitana de Barcelona se han contabilizado 200 puntos de riesgo. La distribución de X:"número de accidentes de tráfico en estos puntos"se recoge en el siguiente diagrama de frecuencias relativas acumuladas:
a) Indique el porcentaje de puntos de riesgo que presentan: exactamente 12 accidentes más de 12 accidentes como mínimo 14 accidentes como máximo 13 accidentes b) ¿Cuántos de estos 200 puntos de riesgo han presentado exactamente 15 accidentes? c) ¿Podemos afirmar que el número mínimo de accidentes en el 25 % de los puntos con más riesgo es 20 accidentes? d) ¿Cuántos accidentes como máximo presenta un punto que se encuentra entre el 50 % con menos riesgo?
frecuencia relativa
dinero/dieta (marcas de clase)
e) Del gasto de otra empresa en seguros que pertenece al mismo sector, se sabe que la media de gasto por trabajador es de $120 dólares con una desviación estándar de $2,2 dólares. ¿Qué empresa tiene un gasto en seguros más parecido entre todos sus trabajadores? (jus- tifique su respuesta)
- De la producción de 8000 empaques se obtuvo una muestra cuya distribución de frecuencias por intervalos de clase considerando el peso de los empaques, está dada por:
i Intervalos (pesos en gramos) Empaques fi 1 4.5 - 11.5 17 2 11.5 - 18.5 23 3 18.5 - 25.5 18 4 25.5 - 32.5 26 5 32.5 - 39.5 19 6 39.5 - 46.5 14 7 46.5 - 53.5 23 8 53.5 - 60.5 27 9 60.5 - 67.5 21 10 67.5 - 74.5 19 a) El costo de producción de cada unidad es de 1.20 dólares. Las unidades que pesan hasta 29 gramos se venden a 1.40 dólares. Las unidades que pesan más de 29 y hasta 50 gramos se venden a 1.70 dólares. Las unidades que pesan más de 50 gramos se venden a 1.90 dólares. Calcule la utilidad que se esperaría obtener si la muestra es representativa de la población y se venden todas las unidades producidas. b) Calcule el peso máximo que estadísticamente se puede aceptar para las unidades que con- forman el 32 % más bajo de la muestra. c) Calcule el peso mínimo que estadísticamente se puede aceptar para las unidades que con- forman el 26 % más alto de la muestra.
- Respecto al tipo de defectos y su frecuencia en un proceso de producción de recipientes de vidrio, se ha obtenido la siguiente información.
Tipos de defectos Frecuencias Porcentajes Tensión 72 9. Rayado 236 30. Burbuja 83 10. Fractura 176 22. Mancha 117 15. Rajadura 51 6. Resistencia 18 2. Densidad 21 2. Total 774 100. a) ¿Qué tipo de variable se estudia en este caso? Explique b) Represente gráficamente la información, utilizando los diagramas más adecuados para este caso. Interprete los gráficos.
- De 9860 manzanas producidas se ha tomado una muestra respecto a su diámetro en mm, con la que se ha obtenido la distribución dada en la tabla.
iii Diámetro Manzanas 1 26,5-35,5 18 2 35,5-44,5 8 3 44,5-53,5 15 4 53,5-62,5 14 5 62,5-71,5 25 6 71,5-80,5 21 7 80,5-89,5 19 a) Calcule el número de manzanas, en la muestra y en la producción, que en diámetro se espera no superen 0.8 veces la media de la muestra. b) Calcule el noveno decil. c) Calcule el número de manzanas, en la muestra y en la producción, que en diámetro se espera superen 1.2 veces la media de la muestra. d) Calcule la mediana de la muestra.
Respuesta(s): a)34; 2760; b)83.8; c)36; d) 2919
- Para decidir sobre la calidad de cierto tipo de perfume se ha medido la cantidad de sustancia X en una muestra de 200 frascos, obteniéndose la siguiente distribución:
Respuesta(s): a) 5491, 5125.75, 1682.96 b) Q 1 = 4268.57, Q 2 = 5125.75, Q 3 = 6658
- Una persona está manejando un carro en una autopista a 70 km/h y nota que el número de au- tos a los que pasa es igual al número de autos que a ella le pasan. Los 70 km/h son el promedio, la mediana o la moda de las velocidades de los autos en la carretera. ¿Por qué?
- Si la remuneración anual media pagada a los ejecutivos senior de tres firmas de ingeniería es de $175,000, ¿uno de ellos puede recibir $550,000?
- Los siguientes son los números de minutos que una persona debe esperar un autobús para ir a trabajar en 15 días laborales:
10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 10, 3, 8, 6, 17, 2, 10, 15
a) Encuentre la media. b) Encuentre la mediana. c) Dibuje un diagrama de caja. d) En qué proporción de días debe esperar el autobús un tiempo menor al promedio de tiem- po de espera?
- El material fabricado de manera continua, antes de cortarse y enrollarse en grandes rollos, debe monitorizarse en su grosor (calibre). Una muestra de 10 mediciones en papel, en milímetros, dio como resultado
32.2, 32.0, 30.4, 31.0, 31.2, 31.2, 30.3, 29.6, 30.5, 30.
Encuentre la media y los cuartiles para esta muestra.
- Los salarios anuales promedio pagados a gerentes de alto nivel en tres compañías son $164,000,$172, y $169,000. Si los números respectivos de los ejecutivos de alto nivel en dichas compañías son 4, 15 y 11, encuentre el salario promedio pagado a esos 30 ejecutivos.
- Un contrato para el mantenimiento de las locomotoras de mucha potencia de un ferrocarril nacional se otorgó a una importante compañía privada. Después de un año de experiencia con el programa de mantenimiento, los encargados del programa creyeron que podían hacer- se grandes mejoras en la confiabilidad de las locomotoras. Para documentar el estatus actual, recopilaron datos acerca del costo de los materiales para reconstruir motores de tracción y se obtuvieron los siguientes resultados en miles de dólares:
1.41 1.70 1.03 0.99 1.68 1.09 1.68 1. 1.53 2.25 1.60 3.07 1.78 0.67 1.76 1. 1.54 0.99 0.99 1.17 1.54 1.68 1.62 0. 0.67 1.78 2.12 1.52 1.01 0.69 1.63 2.
a) Construya una distribución de frecuencia para el costo de los materiales de reconstrucción.
b) Calcule la media muestral. c) Calcule la desviación estándar de la muestra. d) Determine el máximo costo de material de reconstrucción que se pudo observar en el 30 % de las reconstrucciones más baratas.
- Se registran los tiempos (en minutos) de respuesta y auxilio recibidos de 400 llamadas de emer- gencia al 911, dado por
Tiempo [min] Casos de Límite inferior Límite superior respuestas 5 10 15 11 20 25 21 30 35 31 40 40 41 60 65 61 90 80 91 120 140 Total 400 a) Determine el coeficiente de variación del tiempo de respuesta y establezca si este tiempo puede considerarse homogéneo o no. b) Construya el diagrama de caja. c) Considerando que pasados los 50 minutos de respuesta es crítico, ¿cuál es este porcentaje de atención de estos casos?
- Una empresa de la ciudad de Quito tiene 1300 empleados, de los cuales: 20 % pertenecen al área administrativa, 42 % al área técnica y el resto al área de ventas. Se conoce además que 430 empleados tienen formación académica de Bachillerato, 650 tienen formación superior y el resto posgrado. Además 226 empleados del área técnica tienen formación de bachillerato, 328 empleados del área de ventas tienen educación superior, 118 empleados del área administra- tiva tiene educación de posgrado y, 74 empleados de ventas tienen formación de bachillerato. Complete la tabla siguiente con los datos de número de empleados de acuerdo a los criterios indicados en el enunciado:
Área de trabajo Administrativa Técnica Ventas Total Bachillerato Superior Posgrado Total
- Se muestran los casos de fallecimientos (reales) en el Ecuador por mes y por año (2017, 2018,
a) Describir la población, la muestra, el individuo, la variable estadística y el tipo de variable. b) Realizar una tabla de frecuencias agrupándolos mediante intervalos de clases. Use ampli- tud de cada clase igual a 17. c) Realizar un histograma de frecuencias absolutas que incluya el polígono de frecuencias.
- Un fabricante de cierto componente electrónico se interesa en determinar el tiempo de vida (en horas) de estos dispositivos, para lo cual ha tomado una muestra de 12 observaciones:
123, 116, 120, 130, 122, 110, 175, 126, 125, 110, 119, ?.
Uno de los datos se ha extraviado pero se conoce que la media de los 12 datos es 124 horas. a) Encuentre el dato faltante. b) Calcule la mediana, primer y tercer cuartil. c) Encuentre el rango, varianza y desviación estándar. d) Dibuje el diagrama de caja.
- Se tiene una muestra aleatoria con datos del costo en dólares por consumo de electricidad en una zona residencial de Guayaquil:
96 171 202 178 147 157 185 90 116 172 141 149 206 175 123 95 163 150 154 130 108 119 183 151 114 a) Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativas. b) Realizar un histograma de frecuencias absolutas y relativas e incluir el polígono de fre- cuencias. c) Calcule las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana, moda y los cuartiles. d) Calcule las medidas de dispersión: desviación estándar, varianza, rango intercuartil y el coeficiente de variación.
Explique con sus palabras y brevemente, el significado de cada una de estas medidas en térmi- nos del origen de los datos.
- ¿Qué informaría usted como valor modal de un conjunto de observaciones si hubiera un total de:
a) 10 observaciones y no hubiera dos valores iguales; b) 6 observaciones, todas iguales; c) 6 observaciones con valores de 1, 2, 3, 3, 4 y 4?
- La tasa de desempleo en el estado de Alaska durante los 12 meses de 2004 aparece en la si- guiente tabla:
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 8.7 8.8 8.7 7.8 7.3 7.8 6.6 6.5 6.5 6.8 7.3 7. a) ¿Cuál es la media aritmética de la tasa de desempleo en Alaska? b) Encuentre la media y la moda de la tasa de desempleo. c) Calcule la media aritmética y la mediana sólo de los meses de invierno (de diciembre a marzo). ¿Es muy diferente?
- DVR La grabadora de vídeo digital (DVR) es un elemento común en la mayoría de los hogares estadounidenses. De hecho, la mayoría de los hogares estadounidenses tienen DVR y muchos tienen más de uno. Una muestra de 25 hogares produjo las siguientes mediciones en x, el nú- mero de DVR en el hogar:
1 0 2 1 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 2 1 1 1 0 1 3 1 0 1 1 a) ¿La distribución de x, el número de DVR en un hogar, es simétrica o sesgada? Explique. b) Calcule la media, la mediana y la moda de estas mediciones. c) Dibuje un histograma de frecuencia relativa para el conjunto de datos. Ubique la media, la mediana y la moda a lo largo del eje horizontal. Interprete.
Tarea 1: Ejercicios: 1, 3 ,4, 7, 11, 13 ,15, 25. Tarea 2: Ejercicios: 10, 13 , 18, 24, 31, 34 , 35, 36.
