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FUNCIONES
A. Introducción teórica
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B. Ejercicios resueltos
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A. Introducción teórica A.1. Definición de función
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un solo valor de y. La variable x se llama variable independiente. La variable y se llama variable dependiente
A.2. Dominio y recorrido de una función, f(x)
Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
Se llama recorrido o imagen de una función f(x) a todos los valores que puede tomar f(x). La imagen se denota como Im(f)
A.3. Crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo
Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x 1 y x 2 pertenecientes a (a,b) tales que x 1 < x 2 se cumple: f(x ) 1 f(x ) 2 A.4. Funciones polinómicas
a) Función polinómica de grado uno: es de la forma y=ax+b
Para representarlas se siguen los siguiente pasos:
- Hacemos una tabla de valores.
- A partir de ella extraemos dos puntos.
- Representamos los puntos en un plano cartesiano.
b) Función polinómica de grado dos: es de la forma y= ax^2 +bx+c
Para representarlas se siguen los siguiente pasos:
- Obtención de los puntos de corte con el eje x: Se obtienen a partir de la condición y=0. En ese caso:
f x ( 1 ) = f x( 2 )⇔ x 1 =x 2
b) En la ecuación y = f x( )despejamos la variable x.
c) Finalmente intercambiamos la variable x por la y para obtener
f −^1 ( x).
B. Ejercicios resueltos
B.1. Estudia el dominio de cada una de las siguientes funciones:
f(x) 1 x 2
Solución:
El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero. Dicho de otro modo, la función existe para todos los valores de x para los que el denominador es distinto de cero. En notación matemática:
Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x + 2 ≠ 0 ⇒ Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x ≠ − 2 , en donde el símbolo “/” significa “tal que”
f(x) = x 2 − 4
Solución:
El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función existe para los valores de x que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. En notación matemática:
Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x^2 − 4 ≥ 0 , en donde el símbolo “/” significa “tal que”.
Tenemos que resolver la inecuación x 2 − 4 ≥ 0.
Resolvemos la ecuación correspondiente:
x 2 − 4 = 0 ⇒ x = ± 2
Llevamos las raíces sobre la recta de los números reales:
Ahora estudiamos el comportamiento de x^2 − 4 ≥ 0 en las tres zonas que determinan las dos raíces:
Zona 1:
Tomamos un x cualquiera de ℝ comprendido entre −∞ y –2, incluido éste, o lo que es lo mismo en notación matemática: elegimos
un x ∈ −∞( , 2 ].
Así, para x=–3 tenemos que x 2 − 4 ≥ 0 ⇒ −( 3 ) 2 − 4 ≥ 0 ⇒ 5 ≥ 0 , lo cual
es cierto. Entonces en este intervalo tenemos una solución.
Zona 2:
Tomamos un x ∈ −( 2, 2 ), por ejemplo el cero. Así, para x=0 tenemos
que x^2 − 4 ≥ 0 ⇒ 0 2 − 4 ≥ 0 ⇒ − 4 ≥ 0 , lo cual no es cierto. Entonces en este intervalo no hay solución.
Zona 3:
Tomamos un x ∈ [ 2,∞) , por ejemplo x=3. Así,
x 2 − 4 ≥ 0 ⇒ 32 − 4 ≥ 0 ⇒ 5 ≥ 0 , lo cual si es cierto. Ello quiere decir que el intervalo estudiado es una solución de la inecuación.
Conclusión final:
Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x^2 − 4 ≥ 0 ⇔ Dom(f) = ∀x ∈ ℝ /x ≤ −2 y x ≥ 2 , y gráficamente:
x 3 f(x) x x 2
Solución:
El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero o cuando el radicando es menor que cero.
Dom(f) – (^2 2) Dom(f)
Escribimos la función como y = 5x − 2 y cambiamos x por y: x = 5y − 2
Ahora despejamos y: x 2 x 5y 2 y 5
Por último, hacemos el cambio y ≡ f −^1 ( x):
x 2 f x 5
f x( ) = x 2 − 2
Solución:
Primero comprobamos que la función es inyectiva:
f x ( 1 ) = f x( 2 ) ⇒ x^21 − 2 = x^22 − 2 ⇒ x 1 = x 2. Así que es inyectiva, por lo que tendrá inversa.
Escribimos la función como y = x 2 − 2 y cambiamos x por y: x = y^2 − 2
Ahora despejamos y: x = y^2 − 2 ⇒ y = x + 2
Por último, hacemos el cambio y ≡ f −^1 ( x):
f −^1 ( x) = x + 2
2x 3 f x x 1
Solución:
Primero comprobamos que la función es inyectiva:
( 1 ) ( 2 ) (^1 21 ) 1 2
2x 3 2x 3 f x f x x x x 1 x 1
. Así que es inyectiva, por lo
que tendrá inversa.
Escribimos la función como
2x 3 y x 1
y cambiamos x por y:
2y 3 x y 1
Ahora despejamos y: 2y (^3) x 3 x y y 1 x 2
Por último, hacemos el cambio y ≡ f −^1 ( x):
x 3 f x x 2
f x( ) = 3 x − 4
Solución:
Primero comprobamos que la función es inyectiva:
f x ( 1 ) = f x( 2 ) ⇒ 3 x 1 − 4 = 3 x 2 − 4 ⇒ x 1 = x 2. Así que es inyectiva, por lo que tendrá inversa.
Escribimos la función como y = 3 x − 4 y cambiamos x por y: x = 3 y − 4
Ahora despejamos y: x = 3 y − 4 ⇒ y = x^3 + 4
Por último, hacemos el cambio y ≡ f −^1 ( x):
f −^1 ( x) = x^3 + 4
B.3. Halla la variación y la tasa de variación media de cada una de las siguientes funciones
f(x) = 5x − 2 [ −3, 0 ]
Solución:
a) La variación viene dada por :
f b ( ) − f a( ) = f 0( ) − f (− 3 ) = 5 0⋅ − 2 − ( 5 ( − 3 ) − 2 ) = − 19
b) La tasa de variación media viene dada por
f b( ) f a( ) 19 19
b a 3 3
c) Impar o simétrica respecto al origen, cuando se cumple que
−f x ( ) = f (− x)
d) No tener simetría, si no se dan ninguno de los dos casos anteriores.
- ••• Estudio de la simetría par:
f x ( ) = f ( −x ) ⇒ x^4 + x 2 = −( x ) 4 + −( x ) 2 ⇒ x^4 + x^2 = x 4 + x^2.
Conclusión: La simetría es par. No hace falta seguir con el estudio, ya que las funciones no pueden tener dos tipos de simetría.
f x( ) = x 3 − x
Solución:
- ••• Estudio de la simetría par:
f x ( ) = f ( −x ) ⇒ x^3 − x = −( x ) 3 − −( x ) ⇒ x^3 − x ≠ −x 3 + x. Conclusión: La
simetría no es par.
- ••• Estudio de la simetría impar:
− f x ( ) = f (− x ) ⇒ −x 3 + x = −( x ) 3 − −( x ) ⇒ −x 3 + x = −x 3 + x. Conclusión:
La simetría es impar.
f x 2x 1
Solución:
- ••• Estudio de la simetría par:
f x f x 2x 1 2 x 1 2x 1 2x 1
, luego la simetría
no es par.
- ••• Estudio de la simetría impar:
f x f x 2x 1 2 x 1 2x 1 2x 1
, luego la
simetría no es impar.
- ••• conclusión final: La función no tiene simetría.
B.5. Representa cada una de las siguientes funciones
y = 2x
Solución:
La función dada se trata de una linea recta, ya que es de la forma y = mx+n, en dónde m es la pendiente. En nuestro caso, m=2 y n=0. Como n=0 ello quiere decir que la recta cortará al eje y en y=0.
Hacemos una tabla de valores para y=2x
x y=2x
–1 2(–1)=–2 ⇒ A(–1,–2)
1 2 1=2 ⇒ B(1,2)
Ahora representamos los dos puntos sobre el plano cartesiano:
y 2x 3
Solución:
2x y 3
y x 3
y = 0, 67x
A(–1,–2)
B(1,2)
Ahora representamos los dos puntos sobre el plano cartesiano:
Representa la siguiente función definida a trozos. Estudia también la continuidad, el crecimiento, decrecimiento y los máximos y mínimos de cada una de ellas.
x 3, J x 0 f(x) 2, 0 x 3 Jx, 3 x
Solución: El domino de f(x) tiene tres zonas, para una de las cuales corresponde un trazado distinto:
Para la primera zona, J ∞ < x ≤ 0 , construimos una tabla de valores con el fin de obtener dos puntos. No necesitamos más puntos, ya que en el
presente tramo la función es una línea recta, f 1 ( x) = x − 3
x x–
0 0–3=–3 ⇒ A(0,–3)
–2 –2–3=–5 ⇒ B(–2,–5)
A(–1,3)
B(1,–1)
Para la segunda zona, 0 < x < 3 , el valor de la función es constante,
f 2 ( x) = 2
Para la tercera zona, 3 ≤ x< ∞ , construimos una tabla de valores con el fin de obtener dos puntos. No necesitamos más puntos ya que este
tercer tramo se trata de otra recta, f 3 ( x) = −x
x –x
3 –3 ⇒ D(3,–3)
5 –5 ⇒ E(5,–5)
Sólo nos queda representar los puntos obtenidos:
Representa la siguiente función cuadrática: y = x^2 − 5x + 6
Solución:
Se obtienen a partir de la condición y=0. En ese caso:
2 (^5 )^ (^5 )^2 4 1 6^5 1 x^3
x 5x 6 0 x 2 2 x^2
− − ± − − ⋅ ⋅ ± ^ =
Están dadas por
2 2
b b 4ac x ; y 2a 4a
= − =. Sustituyendo los valores de
a y b en estas expresiones obtenemos:
b) Paso dos: y 4 3 x
= + , es la anterior función pero desplazada 3 unidades
verticales positivas:
3 unidades
f x ( ) = (^4) x+ 3
