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INTEGRALES IMPROPIAS
- Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann
de una función f acotada y definida en un intervalo
cerrado y acotado [ a , b ], con a b , ∈ . Ahora
generalizamos este concepto.
- Integral de una función acotada, definida en un
intervalo no acotado ( Integral impropia de 1ª
especie ). Ejemplo:
f ( ) x en [1, ) x
- Integral de una función no acotada, definida en un
intervalo acotado ( Integral impropia de 2ª
especie ). Ejemplo:
f ( ) x en (0,1] x
- Integral de una función no acotada, definida en un
intervalo no acotado ( Integral impropia de 1ª y
2ª especie ). Ejemplo:
1
0 0 1
1ª especie 2ª especie
f ( ) x en (0, ) dx dx dx x x x x
∞ ∞ = ∞ ⇒ = +
- Definición : Sea f una función acotada definida en el
intervalo [ , a ∞), a ∈ . Si para todo b > a la función es
integrable en [ a , b ] y además es finito el límite
lim ( )
b
b a
f x dx →∞
, se dice que existe la integral
impropia de f en [ , a ∞) y es convergente.
Ejemplo:
2 [^ )
1
1 2 1 2 1
( ) en 1, ;
lim lim lim 1 1
b b
b b b
f x x
dx dx x x x b
∞ (^) −
→∞ →∞ →∞
= = ^ − = − + =
- Definición : Sea f una función acotada definida en el
intervalo ( −∞, ], b b ∈ . Si para todo a<b la función
es integrable en [ a , b ] y además es finito el límite
lim ( )
b
a a
f x dx →−∞
, se dice que existe la integral
impropia de f en ( −∞, ] b y es convergente.
- Definición : Sea f una función acotada definida en el
intervalo ( −∞ ∞, ). Si para todo a<b la función es
integrable en [ a , b ] y además son finitos los límites
lim ( )
b
a a
f x dx →−∞
y lim ( )
b
b a
f x dx →∞
, se dice que
existe la integral impropia de f en (^) ( −∞ ∞, ) y es
convergente, es decir,
( ) lim ( ) lim ( )
c b
a a^ b c
f x dx f x dx f x dx
∞
−∞ (^) →−∞ →∞
Valor Principal en sentido de Cauchy
Si existe ( ) ( ) lim ( )
b
b b
f x dx f x dx f x dx
∞ ∞
−∞ −∞ →∞ −
La implicación contraria no se da.
Ejemplo:
2 2
1 (^2 2 2 2 22 )
es convergente para todo 2 ya que (1 )
0 y lim lim. (1 ) 2
x
b b
x (^) b b
dx x x e
dx dx x x e x x x
∞
∞ (^) −
→∞ →∞
≤ ≤ = = ^ − =
Ejemplo:
1 5 / 3
2 / 3 2 / 3 1/ 3 5 / 3 5 / 3 (^11)
2 es divergente para todo 1 ya que 2
2 1 1 1 y lim 3. 2 2 2 2 2
b
b
x dx x x
x x x x dx x x x
∞
− ∞ −
→∞
≥
= = = ∞
Ejercicio : Estudie para qué valores de α ∈ es
convergente la integral de la función
f ( ) x x
α
= en el
intervalo [ , a ∞), con a >0.
- Integrales impropias de 2ª especie
Definición: Sea f una función definida en ( a , b ] y
supóngase que f es integrable en [ a + ε , ] b ∀ε > 0. Si
existe y es finito el límite 0
lim ( )
b
a
f x dx ε → +^ +^ ε
, se dice
que existe la integral impropia de f en ( a , b ] y es
convergente.
Análogamente:
- La integral de una función f no acotada en el
intervalo [ a , b ) se define como el límite (cuando
existe y es finito): 0
lim ( )
b
a
f x dx
ε
ε +
−
→ ∫^
- Si la función f no está acotada en c ∈ [ a , b ], entonces
se define
0 0
( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
b c b c b
a a c a c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
ε
ε +^ ε + ε
−
→ → +
Teorema: Sea f una función definida en ( a , b ] que tiene
función primitiva F. Entonces si 0
lim F a ( ) k ε
→ +
verifica que ( )
b
a
f x dx
es convergente y además
b
a
f x dx = F b − k
Ejercicio: Estudie la convergencia de:
y de:
2
( ) ln( ), (0,1]
( ) , [ 2,3]
f x x x
g x x x
INTEGRALES EULERIANAS
- Definición: Se define la función Gamma de parámetro
p como la integral:
1
0
p x p x e dx
∞ (^) − − Γ =
- Proposición: Existencia ⇒ Si p >0, la integral Γ ( p ) es
convergente.
Demostración :
1
1 1
1
Sea el intervalo 0, (0,1) [1, ).
- Sea ( ) , definida en (0,1);
entonces como 0 , basta con demostrar
que es convergente la integral en (0,1) de la función
para 0, para co
x p
x p p
p
f x e x
e x x
x
p
− −
− −
−
[ ]
1
1
(^1 0 )
0 1
1
0 0
ncluir que también será convergente
la integral en (0,1) de la función para 0 :
1 1 1 , si^0 lim lim 1
, si 0
lim ln lim ln , si 0
x p
p p
p
p e x
p x p p p p dx p x
x p
ε ε ε
ε ε ε
−
→ → −
→ →
^
= ^
−∞^ <
Por tanto, para p >0 será convergente
1 1
0
x p e x dx
− −
1 1 2 2
1
1 2 1 2 1
1
1
1
0
- Sabemos que [1, ) : 0
Como lim lim 1,
entonces 0< 1,.
En definitiva, de 1) y de 2) se tiene que es
convergen
p p x x
b (^) b
b b
p x
p x
x x x e p e x x
dx dx x x x
x e dx p
x e dx
− −
∞ −
→∞ →∞
∞ − −
∞ (^) − −
= = ^ − =
te para p >0.
- Si y 2 ( ) ( 1)!
p p p p
p p p p
π
INTEGRALES DOBLES
(apuntes extraídos de Moisés Villena)
Definición
Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con
respecto a y igualmente. Hágalo como ejercicio.
1) Haciendo un barrido vertical:
2) Haciendo un barrido horizontal:
