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1. Demostrar: lim 7 3 2
3
x x
Puesto que 7 3 x está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto
que contenga a 3 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe
demostrar que:
Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 0 x 3 7 3 x 2
Análisis previo:
si 0 x 3 9 3 x
si 0 x 3 3 x 3 3 x x 3
si
0 x 3 x 3
Demostración:
El último enunciado indica que es adecuado tomar
. Con esta elección de se
establece el siguiente argumento:
0 x 3 3 x 3 3 33 x 3 9 3 x 3
7 3 x 2 3 7 3 x 2 yaque
Así, se ha establecido que si
, el siguiente enunciado se cumple:
si 0 x 3 7 3 x 2
Esto demuestra que
lim 7 3 2
3
x x
2. Demostrar: 2 1
lim
2
1
x
x
x
Factorizando el numerador y, luego, simplificando, el límite se transformaría en:
lim 1 2
lim 1
lim 1 1
2
1
x x
x x
x
x
x x x
Como x 1 está definido x , cualquier intervalo abierto que contenga a 1
cumplirá con el primer requisito de la definición épsilon-delta.
Ahora se debe demostrar que
0 , 0 , tal que si: 0 x 1 x 1 2
Análisis previo:
si 0 x 1 x 1
El último enunciado muestra que es adecuado tomar . Con esta elección , se
establece el siguiente argumento:
0 x 1 x 1 1 1 x 1 2 x 1 2
Así, se ha establecido que si , el siguiente enunciado se cumple:
si 0 x 1 x 1 2
Esto demuestra que:
lim 1 2
1
x x
, y por consiguiente que 2 1
lim
2
1
(^) x
x
x
3. Demostrar: lim 2 1 9
4
x x
Puesto que 2 x 1 está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto que
contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe
demostrar que:
Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 0 x 4 2 x 1 9
Análisis previo:
si 0 x 4 2 x 8
si 0 x 4 2 x 4
si
0 x 4 x 4
Demostración:
El último enunciado indica que es adecuado tomar
. Con esta elección de se
establece el siguiente argumento:
0 x 4 2 x 4 2 2 x 8 2 2 x 1 9 2
2 x 1 9 yaque
5. Demostrar: lim 2 2 2
x x
Por definición:
f x b
x a
lim ssi 0 0 x , 0 x a f x b
lim 2 2 2
x x
ssi 0 0 x , 0 x 2 x 2 2
Análisis previo:
x 2 2
x
x x
x
x x
x
Hipótesis:
x 2
Se toma un entorno de 1 , 3 donde 1 :
x 2 1
1 x 2 1
3 x 2 5
3 x 2 5
3 2 x 2 2 5 2
x
x
Se tiene dos relaciones:
3 2
x
- 0 x 2
1) x 2):
x
x
3 2 3 2
min 1 , 3 2
3 2
Demostración:
H: 1) 0 x 2 2)
3 2
x
x
x x
x
Por la ley transitiva:
x x
x se multiplica 1 y 2 miembro a miembro
x
x pero 3 2
3 2 3 2
x
x
x
x
Multiplicando por la conjugada:
x
x x
x x
x x
x 2 2
f x 2
lim 2 2 2
x x
ssi 0 0 x , 0 x 2 x 2 2
sen
sensen lim
sen lim
sensen lim
sen
sen sensen lim
sensen
sen
sen lim
sensen lim
sensen lim
0 0 0
0 0 0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
x
1 sen 0
cos 0
1 sen
cos lim
1 sen
cos lim
0
0
x
x
x
x
x
x
cos 0
sen lim
limcos
sen
cos lim sen
cos lim cot lim
lim cot
0
0
0 0 0
0
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x x
x
x
x x x
x
lim 2
3
(^) h
h
h
lim 4
lim
2
(^22)
3
h h
h h h
h
h
h h
(factorizando),
lim 4
lim
2
(^22)
3
h
h h
h
h
h h
(simplificando),
lim
2
2
3
(^) h
h
h
(aplicando el límite),
lim 2
3
2
(^) h
h
h
x
x
x
sen
13. lim
Sea
1
t x x t
t x , x t 0
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
sen lim
sen lim
sen lim
sen lim 0 0 0
t
t
t
t
t
t
x
x
x t t t
x
x
x
1 sen lim
2
Sea
1
t x x t
t x x t
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
t
t
t
t
t
t
x
x
x t t^ t
^
1 sen
lim
1 sen
lim
1 sen
lim
1 sen lim 0 0 0 2
1 cos lim
1 sen
lim
1 sen lim 0 0 2
^ t
t
t
t
x
x
x t^ t
x
x
x cos
lim
2
Sea
t x x t
t x x t
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
sen lim
lim 1
sen
lim sen
lim
cos
lim cos
lim
0
0
0 0 0 2
t
t
t
t t
t
t
t
x
x
t
t
x t t t
lim 2 3
(^) x x
x
x
lim 3 5 2
lim
3
(^21) 3
x x
x
x x
x
x x
(factorizando el denominador),
lim 3 5 2
lim
3
(^21) 3
(^) x x x
x
x x
(simplificando),
lim 2 3
1
(^) x x
x
x
(aplicando el límite),
lim 2 3
1
x x
x
x
lim
lim 2 3
lim 2 3
lim 2 3
lim
lim
3
4 3
2 3
7
3 3 3
3
3
3
3
4
3
3
3
4 3
3
4 3
3
4 3
x x
x x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x
x
x
lim ln sen
2 ^
ln 1 0
lim lnsen ln sen
2
^
x x
(aplicando el límite directamente)
lim 7 2
(^) x
x
x
49 2 3
lim 49
lim 7 2 7 2
x x
x x
x
x
x x
multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador,
lim 49 2 3
lim 49
lim
lim 49 2 3
lim 49
lim
7 2 7 2 7
7 2 7 2 7 2
x x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x x
x x x
lim
lim 49
lim
7 2
7 2 7
x
x
x x x
x
x
x x
lim 7 2
(^) x
x
x
x x x
x x x x
x
x x
x
x x
x x
x
lim
lim
lim
0 0
0
multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador,
x x x
x x
x
x x
x x
lim
lim 0 0
producto de la suma por la diferencia de dos cantidades,
x x x
x x
x
x x
x x
lim
lim 0 0
(suprimiendo paréntesis),
x x x
x
x
x x
x x
lim
lim 0 0
(reduciendo),
x x x
x x
x x
lim
lim 0 0
(simplificando),
lim (^0)
x
x x
x
(aplicando el límite),
lim 0
x
x x
x
x
x
x (^) 48 32
lim (^2)
Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0.
Por lo que, es procedente simplificar la expresión.
x x
x x
x
x
x x 48 32 8 32
lim 48 32
lim (^2 2)
multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del denominador,
lim 48 32
lim 2 2 x
x x
x
x
x x
efectuando el producto conjugado en el denominador,
lim 48 32
lim (^2 2)
x x
x x x
x
x
x x
multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del factor x 2 2 del
numerador,
lim 48 32
lim 2 2
x x
x x
x
x
x x
efectuando el producto conjugado en el numerador,
lim 128 2 2 2
lim 48 32
lim (^2 22)
x
x
x x
x x
x
x
x x x
lim 2
x
x
x
lim 2 2 4
2
lim 2
lim
lim
2 3
2
2 3
1
2
(^32)
3
2
3
3
2
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x x x
x
2 2 2 2 2 4 0 4 4 4 0 2
lim 3
2 2 3
2
3
3
2
(^) x
x
x
x
x
x
lim
3
0
lim
lim
lim 3
1 3
2
3
1 3
2 3
1
0
3
1
0
3
0
x x x
x x x
x
x
x
x
x x x
lim
8 2 8 4
lim
lim 3
1 3 0 2 3
1 3
2
3
0
3
0
x x x
x
x x x
x
x
x
x x x
lim
8 2 8 4
lim
lim
3
1 3 0 2 3
1 3 0 2
3
0
x x x x x
x
x
x
x x x
lim 3
1 3
2
3
0
(^) x
x
x
lim 3
2
(^) x
x x
x
lim 3
2
3
2
(^) x
x x
x
(aplicando el límite directamente),
lim 3
2
(^) x
x x
x
2
2
0
sen lim x
x
x
sen
sen lim 4
sen 2
sen lim
sen lim 0 0 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
sen lim 4
sen lim
sen lim 4
sen 2 1 lim 0 0 0 2
2
0
kx
kx
x
x
x
x
x
x
x x x x
sen 2 1 lim 2
2
0
(^) x
x
x
2
2
0
lim x
x
x
lim
9 3
lim
lim 2 2
2
(^220)
2 2
(^20)
2
0
x x
x
x x
x x
x
x
x x x
lim
9 3
lim
lim 2 2 0 2 2
2
(^20)
2
0
x x x
x
x
x
x x x
lim 2
2
0
(^) x
x
x
h
h
h
2
0
1 cos lim
lim 1 cos ,
1 cos 1 cos lim
1 cos lim
1 cos lim 0 0 0
2
0
h h
h h h
h
h
h
h h h h
1 cos 0 1 cos 0 0 lim
1 cos lim 0
2
h
h
h
h
h h
x x x x
2
36. lim
x x x x
2 lim
lim lim lim lim , 2 2
2 2
2
2 2 2
x x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x x x x x x x x
,
lim
lim
lim lim lim
2
2 2 2
2
x x
x x
x
x
x
x x
x
x x x
x
x
x x x x x x x x
2
lim
2
x x x x
x
x
x (^) 2 3
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x x^23
lim 2 3
lim
(dividiendo cada término por x ),
lim 2 3
lim
x
x
x
x
x x
(simplificando),
lim 3
lim
lim 7
lim
lim 2 3
lim
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
lim
x
x
x
lim
2
(^) x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x^1
lim 1
lim
2
2
(dividiendo cada término por x ),
x
x
x
x
x
x x^1 1
lim 1
lim
2
(simplificando),
1 1 lim 1 lim
lim lim 2 lim
lim
2
x
x
x
x
x
x x
x x x
x
lim
2
x
x
x
(^) f
x x
x f x x Dom
si
si
41. en x 4
( i ) f 4 4 4 0
f x
f x x
x
ii f x
x
x x
x x 4
4 4
(^4 4) lim
lim lim 4 4 4 0
( ) lim lim
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 4.
f es continua en todo número excepto en- 1, 4 .
x x
x x f x si
si
x
x x
x x
f x
Por lo tanto, f es continua en x 3.
( i ) f 3 2
( ) lim lim 3 lim 3 3 3 0
3 3 3
ii f x x x x x x
lim lim 3 lim 3 3 3 0
3 3 3
f x x x x x x
por lo tanto, lim 0
3
f x x
( ) 3 lim ;
3
iii f f x x
Por lo que, f es discontinua en 3. Dicha discontinuidad es eliminable y desaparece si
redefinimos f 3
Definición de continuidad
Definición de continuidad
2
t t t
t t f t si
si 43.
2 i f
( ) lim lim 4 2 4 4 4 0
2 2
2 2
ii f t t t x
lim lim 2
2 2
f t t t t
por lo tanto, f t
t 2
lim
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 2. Dicha discontinuidad es esencial.
y y
y
44. f y
5 5 5 5
y y
y
y y
y
y y
y y
y
y
( i ) f 0 no existe; f es discontinua en 0
10
lim 5 5
( ) lim lim 0 0 0
y y y
y ii f y y y y
La discontinuidad es eliminable; la discontinuidad desaparece si se redefine
f 0
2
x x
x
45. f x
3
( i ) f^2 no existe; por lo tanto, f es discontinua en 3
lim 3 2 3 3 2
lim 3 2
( ) lim lim
3
2 3
2
2
3
2 3
2
x x
x x
x
x ii f x x x x x
Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable; para que la discontinuidad desaparezca, se
debe redefinir 4 3
(^) f.
Definición de continuidad
Definición de continuidad
Definición de continuidad
