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Actividad
Demostrar las siguientes identidades o desigualdades trigonométricas:
a)
1 −sen a
cos a
cos a
1 + sen a
Tomamos el lado derecho
cos a
1 + sen a
Lo multiplicamos por
1 −sen a
1 −sen a
( cos a)∗( 1 −sen a)
( 1 + sen a )∗( 1 −sen a)
cos a−cos a∗sen a
( 1 + sen a ) .( 1 −sen a)
simplicamos el denominador
cosa−cos a∗sen a
1 −s en
2
a
Utilizamos la identidad de pitagoras en el denominador
1 −sen
2
a=cos
2
a
cosa−cos a∗sen a
cos
2
a
factorizamos elnumerador
cosa∗ 1 −sen a
cos
2
a
cancelamos factor comun
1 −sen a
cos a
comprobamos que si es una identidad
1 −sen a
cosa
cos a
1 + sen a
1 −sen a
cosa
1 −sen a
cos a
b)
sen a+ cot a
tan a+ cs c a
=cos a
Tomamos el lado izquierdo
Reemplazamos cot (a) que es igual a
cos a
sen a
, hacemos la misma
operación con tan (a) =
sen a
cos a
sen a+
cos a
sen a
sen a
cos a
+cs c a
Utilizamos la identidad reciproca en csc (a) =
sen a
sen a+
cos a
sen a
sen a
cos a
sen a
=lo multiplicamos la fraccion por
sen a cos a
sen a cos a
sen a cos a∗(sen a+
cos a
sen a
sen a cos a∗(
sen a
cos a
sen a
aplicamos propiedad de distribución y cance la mos factor comun.
cos a∗sen a
2
+cos a
sen a
2
+cosa
anulamos factor común
cos a=cos a
sen a+cot a
tan a+ csc a
=cos a es una identidad
c) 𝑇𝑎𝑛 𝑎 + 𝑐𝑜𝑡 𝑎 = 𝑠𝑒𝑐 𝑎 ∙ 𝑐𝑠𝑐 𝑎
Trabajos con el lado izquierdo
𝑇𝑎𝑛 𝑎 + 𝑐𝑜𝑡 𝑎 = lo convertimos a seno y coseno
sen a
cos a
cos a
sen a
=sumas de feacciones
sen a∗sen a+ cos a∗cosa
cos a∗sen a
=simplificamos y utilizamos laidentidad de pitagoras
sen a∗sen a+ cos a∗cosa
cos a∗sen a
simplificamos y aplicamosla identidad de pitagoras
sen a
2
2
cosa∗sen a
cosa∗sen a
primer termino lado izquierdo
Agarramos el lado derecho
𝑠𝑒𝑐 𝑎 ∙ 𝑐𝑠𝑐 𝑎 lo convertimos a seno y coseno
cos a
sen a
cos a∗sen a
segundo termino ladoderecho
𝑇𝑎𝑛 𝑎 + 𝑐𝑜𝑡 𝑎 = 𝑠𝑒𝑐 𝑎 ∙ 𝑐𝑠𝑐 𝑎 es una identidad
b) cot
2
cos
2
𝑎 + (cot a ∙ cos a)
2
Tomamos el lado derecho
Descomponemos
(Cot a* cos a) * ( cos
2
cos
2
cos
2
𝑎) factorizamos cos
2
a
cos
2
cos
2
𝑎) aplicamos identidad de Pitágoras
cos
2
csc
2
𝑎 lo pasamos a seno y coseno
cos
2
𝑎*¿ realizamos la operación y nos queda
cos
2
a
sen
2
a
lo reescribimos como cot
2
a y comprobamos que si es una identidad
EVALUACIÓN
1) Completa el enunciado:
a) Una igualdad que siempre se __ cumple __ se llama identidad
b) Una igualdad también se llama _____identidad _____
2) Explique, ¿Qué es una identidad trigonométrica?
Una identidad trigonométrica es una igualdad de funciones trigonométrica donde
existe tres clases o grupos por decirlo así, encontramos las identidades reciprocas, las
identidades del cociente e identidades pitagóricas.
3) ¿Cuáles son las funciones más importantes dentro de la trigonometría?
Dentro de la trigonometría encontramos tres funciones importantes y vitales que
son:
Seno
Coseno
Tangente
Luego de estas encontramos
Cotangente
Secante
Cosecante
4) Marque con una X la respuesta correcta:
A. La razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo se
llama:
a) Seno
b) Tangente
c) Coseno
B. La relación entre los catetos de un triángulo rectángulo se llama:
a) Seno
b) Coseno
c) Tangente
