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UPM
Ingeniería Civil
MATEMÁTICAS II
Tema 3 (1/2). Octubre, 2013
1.- Hallar el dominio de de nición de las siguientes funciones:
f (x) =
x − 3
x − 1 , f (x) = e
1 /x − e
2 x , f (x) = cos (x
2 − log(x + 1)),
f (x) = log
x − 1
x + 2
, f (x) =
x
3
x
2 − 1
, f (x) =
x
3 − 1
sen
x
2.- Calcular la composición de los siguientes pares de funciones, obteniendo los dominios:
f (x) =
2 x + 3
x + 1
, g(x) =
x − 1
f (x) = sen(x
2 − 2), g(x) = e
1 /x
3.- Hallar, si existe, la función inversa de f (x) =
x
1 + |x|
. Estudiar la continuidad de ambas
funciones y esbozar sus grá cas.
4.- Calcular, si existen, los siguientes límites:
l´ım
x→a
x
2 − (a + 1)x + a
x
3 − a
3
l´ım
x→a
1 − x
1 − x
3
l´ım
x→ 0
a
2
2 −
a
2 − ax + x
2
a + x −
a − x
l´ım
x→ 0
log (1 + 3x − x
2 )
x
l´ım
x→−∞
x − 1
x + 1
x
l´ım
x→ 0
(cos x)
1 /x
l´ım
x→+∞
sen x + x
cos x + x
l´ım
x→+∞
cos
x + 1 − cos
x
l´ım
x→+∞
(1 − sen x) tan
2 x l´ım
x→+∞
(log(cosh x) − x)
l´ım
x→ 0
| sen x|
tan x l´ım
x→ 0
x
tan x
l´ım
x→ 0
x
sen x
x
l´ım
x→+∞
(x
3
1 /x
5.- Demostrar que las funciones f (x) = e
1 /x
x(x + 2) y g(x) = x + 2 son equivalentes en +∞.
6.- Estudiar la continuidad de la función
f (x) =
x
3
x + 1
x
3 − x
|x| > 2
x ∈ {− 1 , 0 , 1 }
|x| ≤ 2 y x /∈ {− 1 , 0 , 1 }
(c) mmbs
7.- Calcular los valores de los parámetros para que la siguiente función sea continua:
f (x) =
−3 sen x
a sen x + b
cos x
x ≤ −
π
π
< x <
π
x ≥
π
8.- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función. Clasi car las discontinuidades y
obtener la expresión de la derivada primera.
f (x) =
log(−x) x < − 1
sen(π x) x ∈ [− 1 , 2]
x
x ∈ (2, 3)
x ≥ 3
9.- Dada la función f (x) =
x|x|, calcular las derivadas laterales en x = 0 y hallar su función
derivada, indicando su dominio.
10.- Hallar la derivada de las siguientes funciones:
f (x) = x
1 / tan x , f (x) = exp
x
exp(x)
, f (x) = x
tan x x > 0.
11.- Hallar l´ım
x→+∞
x + sen x
x
y justi car si es aplicable o no la regla de L'Hôpital en este caso.
12.- Hallar un valor aproximado de la función f (x) =
3
27 + x
27 − x
en x = 0. 12.
13.- Usando polinomios de Taylor calcular l´ım
x→ 0
e
x − e
−x − 2 x
x − sen x
14.- Utilizando el polinomio de Taylor de orden tres centrado en el origen de la función
log (1 + log(1 + x)), y el de orden cuatro centrado en el origen de la función 1 −cos(1−cos x),
calcular
l´ım
x→ 0
3 sen (x
3 ) + 1 − cos(1 − cos x)
2 log (1 + log(1 + x)) + exp(− 2 x) − 1
15.- Estudiar y representar las siguientes funciones:
f (x) =
x
3
x
2 − 1
, f (x) =
x
log x
, f (x) = x
2 exp(−x)
(c) mmbs
