Límites y continuidad, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

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LÍMITES Y

CONTINUIDAD

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LÍMITES Y CONTINUIDAD

En este capítulo aprenderemos a obtener el límite de las funciones y, sobre todo, cómo graficar cualquier función racional mediante las estrategias propuestas, únicas y desarrolladas para este libro. Finalizaremos el tema con la continuidad de las funciones y de sus gráficas.

3.1 Límite de una sucesión. 3.2 Límite de una función de variable real. 3.3 Cálculo de límites. 3.4 Propiedades de los límites. 3.5 Límites laterales 3.6 Límites infinitos y límites al infinito. 3.7 Asíntotas. 3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. 3.9 Tipos de discontinuidades.

Si sabemos que el próximo mes el precio de este artículo será de $1,400.00 y al siguiente será de $1,250.00; determina:

a) El precio del artículo para este mes. b) En qué mes el precio será de $800.00. c) Qué ocurrirá con el precio a lo largo de 28 meses. d) Qué ocurrirá con el precio a través del tiempo.

Esto se puede resolver con ayuda de los límites y otros conocimientos de álgebra.

La parte más interesante es cuando queremos contestar los incisos c y d cuyas expresiones matemáticas quedan de la siguiente manera:

𝑐) lim P(t) = 𝑡→

𝑎𝑡 + 250 𝑡 + 𝑏

𝑑) lim P(t) = 𝑡→∞

𝑎𝑡 + 250 𝑡 + 𝑏

A veces no es fácil entender el concepto de límite matemático ; sin embargo, lo que hemos visto hasta aquí contribuye a que este concepto sea más claro. Desde luego, debemos introducirnos en el mundo de los límites matemáticos para poder entenderlos.

En la vida real el conocimiento de los límites tiene una gran relevancia, ya que nos ayuda a definir conceptos fundamentales como la continuidad, la velocidad instantánea, las tasas de cambio, así como el comportamiento exacto o muy aproximado de una función bajo condiciones determinadas y, por supuesto, también nos facilita comprender otros conceptos matemáticos importantes para la vida como la derivación, la integración y las sumas, entre otras herramientas matemáticas de gran aplicación.

Por lo anterior, conocer más de los límites matemáticos es importante para entender fenómenos que se pueden modelar con una función, y tomar decisiones con respecto a los datos arrojados por la aplicación de los límites.

3.1 LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Con el estudio de límites de sucesiones se inaugura el bloque temático dedicado al cálculo (o análisis) infinitesimal. Este nombre se debe a que se va a especular con cantidades infinitesimales (infinitamente pequeñas) en el cálculo diferencial e integral, fundamentalmente, y se reflexionará acerca de sucesiones de números al considerar una cantidad infinita de términos. Los conceptos del análisis infinitesimal son de una extraordinaria sutileza y el fruto de muchos años de pensamiento.

En el estudio de progresiones se indicó que una sucesión es una colección de números dispuestos uno a continuación de otro y separados por comas. Esto puede considerarse como una definición poco rigurosa, pero una definición más exacta no ayudaría mucho a entender con mayor claridad lo que es una sucesión.

En las progresiones, en general, se centró la atención en un número finito de términos; en lo sucesivo tendrá más interés considerar los infinitos términos de una progresión.

Todas las progresiones geométricas cuya razón, en valor absoluto, es menor que uno, tienen algo en común: los términos de la sucesión se van acercando a cero rápidamente (la sucesión tiende a cero).

Por supuesto, no todas las sucesiones presentan la particularidad de que sus términos se aproximen paulatinamente a un número, llamado límite de la sucesión. Las que así se comporten se llamarán convergentes y, de todas las sucesiones, éstas son las merecedoras de estudio.

El concepto de límite ha sido de enorme utilidad en el desarrollo de las matemáticas; en él se fundamenta el cálculo infinitesimal.

Aunque muchos matemáticos utilizaron la idea intuitiva de límite, fue el barón de Cauchy (1789-1857), a principios del siglo XIX, quien dio una definición satisfactoria de límite y, en consecuencia, de derivada de una función.

Sucesiones. Límite.

Una sucesión genérica se simboliza por a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... en la que el subíndice denota, con toda exactitud, el lugar que cada término ocupa en la misma. Así, a 5 es el quinto término de la sucesión.

Cuando en una sucesión haya que referirse a un término cualquiera sin especificar el lugar que ocupa se hará siempre mención al término a n , denominado término n - ésimo. En definitiva, el lugar que cada término tome en una sucesión será de vital importancia a la hora de hacer un mínimo análisis del comportamiento de la sucesión.

Encontrar el límite de una sucesión es un problema que consiste en determinar a qué número, si es que existe, se aproximan sus términos.

3.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

3.3 CÁLCULO DE LÍMITES

3.4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Definición de límite

Un límite se denota como los valores de una función (hacia donde se dirige y) cuando x se aproxima a cierto número; en otras palabras, el par ordenado que le correspondería a y cuando x adopta un valor.

EJEMPLO: Se pide dibujar la gráfica de la función f(x ) dada por

𝑥^3 − 1

Para todos los valores distintos de 1 es posible emplear las técnicas usuales para graficar, pero cuando x = 1 no sabemos qué esperar (note que cuando x = 1 se indetermina la función), y para esto usamos dos conjuntos de valores de x: uno que se aproxime por la derecha y otro que se aproxime por la izquierda (tabla 3.1).

La gráfica de esta ecuación (gráfica 3.1) resulta ser una parábola con un hueco en el punto (1,3); por lo que decimos que cuando x tiende a 1, f (x) se aproxima a 3.

Existen tres métodos, que estudiaremos más adelante, para hallar el límite de una función:

1. Método numérico (tabla de valores).
2. Método gráfico.
3. Método analítico (álgebra o cálculo).

Propiedades de los límites y límites especiales

Los límites también tienen propiedades que nos permiten determinar el comportamiento de las funciones y operar con ellos de una manera más sencilla.

1. Propiedad de la función constante. El límite de una constante es igual al valor de la constante. lim 𝑥→𝑐

lim 𝑥→

2. Propiedad de la identidad. El límite de una función identidad que se acerca a c, es c.

lim 𝑥→𝑐

lim 𝑥→

3. Propiedad de la función potencia. El límite de una variable elevada a un exponente cuando x se acerca a c, es c elevada al exponente.

lim 𝑥→𝑐

𝑥𝑛^ = 𝑐𝑛

lim 𝑥→

𝑥^2 = 5^2 = 25

3.5 LÍMITES LATERALES

Supongamos que un comerciante vende jabón líquido a granel. Si le solicitan menos de 10 litros, cobra $15.00 por cada litro; sin embargo, para promover pedidos cuantiosos, cobra $12.00 por litro si llevan más de 10 litros. Así, si se compran x litros del producto y C(x) es la función del costo total del pedido, entonces:

Al graficar nos damos cuenta que existe una variación después del punto 10. Debido a esta situación es necesario que al considerar el límite se tomen valores menores que 10, pero muy cercanos, y después de 10. Es decir, el límite debe tomarse por la derecha y por la izquierda de 10, lo que significa que debemos tomar límites laterales.

Límites unilaterales

Los límites unilaterales indican que la función se aproxima a un determinado valor a medida que x se aproxima a c por la derecha o por la izquierda. Debido a las restricciones del dominio, una función puede tener límites unilaterales, como en el caso de la función raíz.

Límites laterales

Para que el límite exista, tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha deben ser iguales; en otras palabras, cuando el límite por la izquierda y por la derecha son diferentes, el límite no existe.

a) El límite por la derecha significa que x se aproxima a c tomando valores superiores cada vez más cercanos a c, y se denota por lim 𝑥→𝑐+^

b) El límite por la izquierda significa que x se aproxima a c tomando valores inferiores cada vez más cercanos a c, y se denota por lim 𝑥→𝑐−^

Este tipo de límite es útil para encontrar la continuidad de una función; asimismo, también sirve para calcular el límite de funciones que contienen raíces.

EJEMPLO: lim 𝑥→

lim 𝑥→2+^

lim 𝑥→2−^ √𝑥 − 2 No existe. Para valores menores que 2 aparece el error matemático.

Por lo tanto el límite de lim 𝑥→

√𝑥 − 2^ NO EXISTE.

3.6 LÍMTES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO

3.7 ASÍNTOTAS

En la sección Antecedentes de este capítulo se plantea como ejemplo un problema de límites con la siguiente notación:

lim 𝑥→∞

Esta notación es básica y muy común en los límites. En el ejemplo este límite define el comportamiento de la función del precio a través del tiempo. Se podría pensar que si el precio de un producto baja mes con mes, llegará un momento en que éste sea prácticamente nulo; sin embargo, con el análisis de los límites podemos

En la función 𝑓(𝑥) = 1 𝑥−3 tenemos una asíntota vertical en x = 3 cuyos límites unilaterales son los siguientes: lim 𝑥→3+^

1 𝑥−3) = ∞^ y^ 𝑥→3lim−^ (^

1 𝑥−3) = −∞

Para determinar si f (x) se aproxima al ∞ o - ∞, hacemos una tabulación y, contrario a lo que proponen otros textos, el método que se sugiere sólo necesita dos puntos que muestren el cambio de signo. Tradicionalmente la tabulación se realiza acercándose lentamente al valor para el cual se desea observar el comportamiento de la función. Resulta más fácil usar ese valor de pivote para tabular y graficar la función para determinar el límite sin necesidad de acercarse lentamente. Un ejemplo de una tabulación y la gráfica de una función con sus límites y asíntotas se muestra en la gráfica 3.3.

Estrategia para graficar funciones racionales y sus asíntotas verticales

Graficar funciones racionales y sus asíntotas puede resultar una labor muy sencilla si conocemos o podemos predecir el comportamiento de la función cerca de las asíntotas, de tal manera que las asíntotas nos faciliten el dibujo al servir como “pivotes” para graficar nuestra función.

1. El primer paso para bosquejar funciones es identificar las asíntotas y colocarlas en nuestro sistema de coordenadas.
2. Después de identificar las asíntotas, por cada una de ellas buscaremos dos puntos: uno por la derecha y otro por la izquierda del límite. Si la función tiene dos asíntotas, buscaremos cuatro puntos: siempre uno por la derecha y uno por la izquierda de cada asíntota, y así sucesivamente hasta cuatro.
3. Por último, con los valores a la izquierda y a la derecha del límite observamos el cambio del signo: si el signo es positivo (+) la función tiende a +∞; si el signo es negativo ( -) la función tiende a -∞.

De lo anterior podemos obtener las siguientes conclusiones:

A la derecha y a la izquierda de la asíntota se forman dos L o U y su dirección varía, se pueden dirigir a +∞ o a - ∞. El número de gráficas varía de acuerdo con la cantidad de asíntotas. Al acercamos a la asíntota, f ( x) se dispara y empieza a crecer o a decrecer rápidamente con cambios cada vez más pequeños de x, y la gráfica se toma casi vertical. Cuanto más se alejen de la asíntota los valores que toma x, más se acerca f (x) a 0 y empieza a tomarse horizontal. Si existen más asíntotas, la parte central de la gráfica de f (x) puede tomar forma de U o de S, o inclusive tomar formas más raras (vea las gráficas 3.7, 3.8 y 3.9).

Límites al infinito y asíntotas horizontales

Para expresar que el dominio de f (x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real escribimos:

lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 o bien lim 𝑥→−∞

Si la gráfica de f(x) se aproxima a la recta y= L cuando x crece sin límite, la recta y = L recibe el nombre de asíntota horizontal. Una asíntota horizontal es aquella línea imaginaria paralela al eje de las abscisas ( x ) que se forma por la ausencia de valores en y al extenderse x hacia ∞ o - ∞. La recta y = L e s una asíntota horizontal de la gráfica de f si

lim 𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 o lim 𝑥→−∞

Nota: Sólo puede haber dos asíntotas horizontales como máximo.

EJEMPLO: lim

𝑥→∞

√4𝑥^2 + 5𝑥−

Método abreviado para encontrar asíntotas horizontales

Como se mencionó, éste es un método abreviado del proceso largo (completo), y consiste en tres sencillas reglas:

1. Si el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador, entonces la asíntota corresponderá a la razón entre los coeficientes de los términos con mayor exponente. Para lim 𝑥→∞

4−2𝑥^2 3𝑥^2 −1 la asíntota es^ −^

2 3 ya que -2 y 3 son los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y del denominador, respectivamente.

2. Si el grado del denominador es mayor que el del numerador, entonces el límite será, por definición, cero, ya que al sustituir el límite, el numerador nos dará cero.
3. Si el grado del denominador es menor que el grado del numerador, entonces el límite corresponderá a ±∞, según sea el caso, sin que exista una asíntota horizontal, tal como se puede apreciar en las gráficas 3.10 y 3.11.

Estrategia para graficar funciones racionales con asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales es el segundo de los tres tipos de asíntotas en el tema de límites. Graficarlas con base en lo aprendido en la estrategia para asíntotas verticales no sólo nos ayudará a definir mejor si la función tiene forma de U o de L; también nos ayudará a entender mejor el comportamiento general de la función. Al igual que en el método para asíntotas verticales, el cruce de la asíntota vertical y la asíntota horizontal nos servirá como punto de partida para determinar el comportamiento de la función y para dibujar su gráfica.