Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Matematica Discreta, Profesor: , Carrera: Ingeniería en Informática, Universidad: UC3M
Tipo: Ejercicios
1 / 23
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
ESCUELA POLITÈCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Universidad Carlos III de Madrid Avda. de la Universidad, 30 28911 Leganés
Problema 1.1 Sea A = {x ∈ Z : x^2 < 16 }. Decidir la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
Problema 1.2 Demostrar que se verifican las siguientes igualdades:
Problema 1.3 Simplificar las expresiones
Problema 1.4 Decir si son inyectivas las aplicaciones f, g : R → R definidas por
f (x) =
2 x si x ≥ 0 , − 2 x − 1 si x < 0.
, g(x) =
3 x + 1 si x ≥ 0 , 2 x si x < 0.
Problema 1.5 Calcular, si es posible, la inversa de la función F : R \ {− 1 / 2 } → R \ { 1 / 2 }, definida como
F (x) =
x + 3 1 + 2x
Problema 1.6 Se consideran las siguientes dos funciones de R: la primera función, ⌊·⌋, asigna a cada número x ∈ R el mayor entero que es menor o igual que x. La segunda función, ⌈·⌉, asigna al número real x el menor número entero que es mayor o igual que x.
Problema 2.2 ¿De cuántas maneras puede el fotógrafo de una boda disponer en fila a 6 personas de un grupo de 10 invitados, entre los cuales están el novio y la novia, si
Problema 2.3 Encontrar cuántos números de cinco dígitos se pueden formar con el conjunto { 1 , 2 , 3 } tales que aparezcan los tres dígitos (es decir, que cada dígito aparezca al menos una vez).
Problema 2.4 Encontrar el número de palabras de tres letras que se pueden formar con el conjunto de diez letras {A, B,... , J} tales que todas las letras sean diferentes y además aparezcan en orden alfabético?
Problema 2.5 Un barco dispone de 12 banderas distintas y puede izar hasta 3 en su mástil de señales para indicar alguna circunstancia del barco.
¿Cuántos estados diferentes pueden describirse?
¿Cuántos estados diferentes pueden describirse si el barco dispone de 3 juegos iguales de banderas?
Problema 2.6 Encontrar el número de maneras de colocar tres A’s y siete B’s de manera que no haya dos A’s consecutivas.
Problema 2.7 ¿Cuántas trayectorias posibles hay en el espacio tridimensional uniendo los puntos (− 1 , 2 , 0) y (1, 3 , 7) si sólo se admiten movimientos de longitud 1 en la dirección de los ejes? Es decir, cada trayectoria está compuesta por movimientos de los siguientes tipos:
(H) (x, y, z) → (x + 1, y, z),
(V) (x, y, z) → (x, y + 1, z),
(L) (x, y, z) → (x, y, z + 1).
¿Cuántas de ellas pasan por el punto (0, 3 , 4)?
Problema 3.1 Sea V el conjunto de aquellas palabras de dos letras construidas sobre el alfabeto {w, x, y, z} cuya primera letra es y ó z. Se define el grafo G = (V, A) de forma que dos palabras de V determinan una arista de A si difieren exactamente en una letra.
Problema 3.2 Si un grafo G y su complementario G tienen respectivamente 20 y 25 aristas, ¿cuántos vértices tiene G?
Problema 3.3 Calcular el número de vértices de los grafos simples conexos G cuando
Problema 3.4 Sea Kn el grafo completo de n vértices.
Dibujar K 1 , K 2 , K 3 , K 4 y K 5.
¿Cuál es el grado de los vértices de Kn?
¿Cuántas aristas tiene Kn?
Demostrar que Kn es un subgrafo de Km para todo n < m.
Problema 3.5 ¿Para qué valores de n ≥ 3 son bipartitos Kn, Pn, Qn y Cn?
Problema 3.6 Demostrar que en cualquier grafo simple sin vértices aislados hay al menos dos vértices del mismo grado.
Problema 3.7 Hallar el mínimo número posible de vértices de un grafo con siete aristas si cada vértice tiene a lo sumo grado 3.
Problema 3.8 Escribir las matrices de adyacencia A 1 y A 2 de los grafos de la figura, y probar que estos son isomorfos encontrando una matriz de permutación P que verifique A 2 = P −^1 · A 1 · P.
Problema 4.4 Demostrar que no existe ningún grafo plano conexo tal que todo vértice tenga grado al menos ocho, y toda cara esté limitada al menos por ocho aristas.
Problema 4.5 Sean dos grafos conexos G y G′. G es un grafo plano de 10 vértices que divide el plano en 3 regiones y G′^ es un grafo de 10 vértices todos ellos de grado mayor o igual que 3. Explicar razonadamente si G y G′^ pueden o no ser isomorfos.
Problema 4.6 Dar un ejemplo, si es que existe, de
Problema 4.7 ¿Cuántos árboles tiene un bosque de 62 vértices y 51 aristas?
Problema 4.8 Sea el conjunto X = {A, B, C}. Definimos el grafo simple G = (V, E) de la siguiente manera: el conjunto de vértices está formado por los subconjuntos de X (V = P(X)) y dos vértices R, S ∈ V son adyacentes si y sólo si R ⊂ S ó S ⊂ R.
¿Cuántos vértices y aristas tiene G?
¿Cuál es el grado de los distintos vértices de G? ¿Es regular?
Razonar si G es planar o no.
¿Es G bipartito?
Problema 4.9 Demuestra que si G = (V, E) es un grafo simple y
entonces G es conexo.
Problema 4.10 Si el grado medio de un grafo conexo es mayor que 2 , demostrar que existen dos ciclos independientes.
Problema 4.11 Sea G = (V, E) un grafo cuya matriz de adyacencia AG está dada por
Contestar a las siguientes preguntas usando argumentos basados únicamente en la matriz AG (y sin usar la representación gráfica de G que se puede obtener de AG):
a) Decir si G es un pseudo-grafo, multi-grafo o un grafo simple.
b) Decir el número de vértices y aristas de G.
c) ¿Es G un grafo regular? Si lo es, decir el grado común de todos los vértices; en caso contrario, dar la secuencia de grados de G.
d) Sean i 6 = j dos vértices distintos de G (i, j ∈ V ). Sea nij el número de caminos de i a j de longitud 3. Encontrar los posibles valores de nij en G.
e) ¿Cuál es el ciclo de menor longitud en G?
Problema 5.1 Sea el grafo G = (V, E) definido por la siguiente matriz de adyacencia
Problema 5.2 Estudiar si el siguiente grafo admite un árbol recubridor de peso menor o igual que 12
g
a
f
h
b
e
d
c
Problema 5.6 Sea G = (V, E, ω) el siguiente grafo ponderado (con el peso de la arista {F, H} igual a x ∈ R):
x
Calcular el intervalo con los valores posibles del peso x ∈ R para que el camino de longitud mínima que parte de A y llega a H pase por la arista {F, H}.
Problema 5.7 Un constructor está planificando una nueva urbanización compuesta por 9 chalets individuales y ahora quiere diseñar el abastecimiento de agua. Como sabe algunas nociones de la teoría de grafos, define un grafo ponderado G = (V, E, ω), dónde los vértices V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I} corresponden a los chalets; dos vértices son adyacentes si los correspondientes chalets se pueden conectar con una tubería para el agua y el peso de cada arista es el coste (en miles de euros) de colocar la tubería correspondiente. El grafo G viene dado por:
Si el constructor coloca la toma principal de agua en el chalet A, calcula, usando el algoritmo de Dijsktra, el coste mínimo para hacer llegar el agua al chalet I (que es donde él vivirá). Calcular también el coste total del árbol generador con raíz en A que conecta este chalet con el resto de manera que el coste de la tubería que conecta A con cada chalet sea mínimo.
El resto de vecinos, cuando se enteran de esta idea, se quejan del precio de esta posible instalación. Ellos prefieren colocar las tuberías usando un árbol generador de coste mínimo. Encuentra uno de éstos subgrafos usando el algoritmo de Prim y calcula el coste total de esta instalación alternativa.
Problema 6.1 Sea el siguiente grafo ponderado G y sea H el grafo simple resultante de eliminar los pesos de G.
f g
e
a 1 b 3 c
d
2
{(1, 9), (7, 8), (0, 3), (4, 10), (2, 6), (5, 11)}
Problema 6.6 Encontrar ejemplos de grafos simples G que satisfagan las siguientes con- diciones:
G tiene 7 vértices, es hamiltoniano y es euleriano.
G tiene 8 vértices, es hamiltoniano y euleriano y el ciclo hamiltoniano no coincide con el circuito eulerano (y viceversa).
G tiene 7 vértices, es hamiltoniano, no es euleriano y no tiene ninguna arista puente.
G tiene 7 vértices, no es hamiltoniano y es euleriano.
G tiene 7 vértices, es hamiltoniano, no es euleriano y es bipartito.
Problema 6.7 Sea el grafo G = (V, E) definido por la siguiente matriz de adyacencia
Problema 7.1 Se tiene 4 pelotas de golf y 10 cajas distintas. Hallar de cuántas maneras distintas pueden distribuirse las pelotas en las cajas si
Problema 7.2 Si se lanzan simultáneamente 6 dados iguales, ¿cuántos resultados son po- sibles?
Problema 7.3 Encontrar el número de subconjuntos de cuatro elementos tomados del con- junto { 1 , 2 , 3 ,... , 15 } que no contienen enteros consecutivos.
Problema 7.4 Encontrar el número de subconjuntos de p elementos tomados de un con- junto de n elementos {a 1 , a 2 , ..., an} de manera que no contiene elementos consecutivos.
Problema 7.5 ¿De cuántas maneras se pueden colocar en fila a bolas blancas y b bolas negras de manera que haya k + 1 rachas de bolas negras?
Problema 7.6 ¿Cuántas soluciones hay de la ecuación x 1 + x 2 + x 3 = 17 en el conjunto de los enteros no negativos Z+?
Problema 7.7 ¿Cuántas soluciones hay de la ecuación x 1 + x 2 + x 3 = 17 en el conjunto de los naturales?
Problema 7.8 ¿Cuántas soluciones hay de la ecuación x 1 + x 2 + x 3 = 17 si cada xi ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }?
Problema 7.9 ¿De cuántas formas se pueden elegir 25 objetos de entre siete categorías distintas, habiendo siempre entre 2 y 6 de cada categoría?
Problema 7.
x 1 + x 2 + x 3 +... + xn = r?
x 1 + x 2 + x 3 +... + xn = 21
bajo la restricción x 1 > 1?
Problema 7.11 Una empresa de ventas tiene que inspeccionar las ventas en 20 ciudades. Se destinan para ello 5 miembros del personal, cada uno de los cuales supervisará 4 ciudades.
Problema 8.9 Sea el siguiente algoritmo recursivo para calcular la exponencial an^ con n ∈ N: procedure exp1(a,n) if (n = 1) return a else m = floor(n/2) return exp1(a,m) ⋆ exp1(a,n-m) Sea bn el número de multiplicaciones necesario para calcular an:
Calcular b 1 , b 2 , b 3 y b 4.
Encontrar una relación de recurrencia para {bn}.
Resolver la recurrencia cuando n es una potencia de 2.
Probar que bn = n − 1 para todo n ∈ N.
Problema 9.1 Encontrar el número de soluciones de la ecuación lineal
x 1 + x 2 + x 3 = 17 ,
si las variables están sujetas a las condiciones
xi ∈ { 0 , 1 , 2 ,... , 6 }.
x 1 , x 2 ∈ 2 N son pares y x 3 ≥ 0 es impar.
xi son impares no negativos.
Problema 9.2 Resolver las siguientes ecuaciones de recurrencia usando funciones genera- trices:
Problema 9.3 Demostrar que dado un entero N el número de particiones de N en enteros distintos coincide con el número de particiones de N en enteros impares. Ejemplo: el entero N = 4 tiene dos particiones en enteros distintos (3+1 y 4 ) y dos particiones en enteros impares (1 + 1 + 1 + 1 y 3 + 1). El entero N = 6 tiene cuatro particiones en enteros distintos (1+2+3, 2+4, 1+5 y 6 ) y cuatro particiones en enteros impares (1+1+1+1+1+1, 1 + 1 + 1 + 3, 3 + 3 y 1 + 5).
Problema 9.4 Encontrar una ecuación que satisfaga la función generatriz F que resuelve la siguiente ecuación de recurrencia con coeficientes variables:
n an = 2(an− 1 + an− 2 ) , n ≥ 2 , a 0 = e , a 1 = 2e.
Ayuda: La ecuación puede involucrar derivadas de F.
Problema 9.5 Encontrar el número de soluciones enteras de la ecuación
x 1 + x 2 + x 3 = N ,
con xi ≥ 0 y usando funciones generatrices.
Problema 10.1 Sea el grafo Gn con 2(n + 1) vértices
... ...
v 0 v 1 v 2 vn− 1 vn
u 0 u 1 u 2 un− 1 un
¿Es Gn bipartito? ¿Es planar?
Un emparejamiento completo o perfecto de un grafo con 2 n vértices es un subgrafo generador formado por n aristas disjuntas. Calcular el número de emparejamientos completos de Gn.
Problema 10.2 Encontrar el polinomio cromático PCn de un ciclo de n vértices:
Encontrar la relación de recurrencia que satisface PCn usando el teorema de contracción- borrado.
Resolver dicha relación de recurrencia.
Problema 10.3 Encontrar el polinomio cromático PG del grafo G definido de la siguiente manera:
Problema 11.1 Sean A ⊆ Rn^ y B ⊆ R dos conjuntos y f : A → B una función real. Demostrar que la relación binaria definida en A según la regla
aRb ⇔ f (a) = f (b) , a, b ∈ A ⊆ Rn^ ,
es de equivalencia para cualquier f. ¿Cuál es conjunto cociente A/R?
Problema 11.2 En el conjunto A = { 6 , 10 , 12 , 18 , 21 , 40 , 441 , 1323 } se define la relación
xRy ⇔ x e y tienen los mismos divisores primos.
Hacer una de estas dos cosas, según proceda: (a) si R es de equivalencia, hallar las clases de equivalencia; (b) si no es de equivalencia, decir qué propiedades no cumple.
Problema 11.3 Sea A un conjunto y B ⊂ A un subconjunto fijo. Se considera el conjunto P(A) y en él se define la relación
XRY ⇔ X ∩ B = Y ∩ B
entre dos subconjuntos cualesquiera X, Y de A.
Problema 11.4 Sea la relación R definida sobre N × N de manera que (a, b)R(c, d) si y sólo si a + b = c + d. Demostrar que R es una relación de equivalencia y que existe una biyección entre el conjunto cociente (N × N)/R y N \ { 1 }.
Problema 11.5 En el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 } se considera la relación a R b si y sólo si ⌊
a⌋ = ⌊
b⌋. Probar que es una relación de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
Problema 11.6 En R 2 = R × (R \ { 0 }) se define la relación
(a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc
Demostrar que una relación de equivalencia y obtener el conjunto cociente R 2 /R.
Problema 11.7 Una relación R definida en un conjunto A se dice que es circular si verifica
aRb y bRc ⇒ cRa.
Demostrar que una relación es de equivalencia si y sólo si es circular y reflexiva.
Problema 11.8 Una relación R sobre un conjunto A recibe el nombre de débilmente transitiva si para todos los elementos a, b, c, d ∈ A, las relaciones aRb, bRc, y cRd impli- can aRd. Una de las siguientes afirmaciones es falsa y la otra es cierta. Establecer cuál es verdadera y cuál falsa (demostrar la verdadera, y argumentar por qué la otra es falsa).
Problema 11.9 La matriz de adyacencia de una relación R viene dada por
0 1 b 1 a c
donde a, b, c = 0, 1. ¿Qué condiciones deben satisfacer a, b y c para que R sea una relación de equivalencia?
Problema 12.1 Dados a = 92 y b = 84, usar el algoritmo de Euclides para obtener d = mcd(a, b), así como valores x, y ∈ Z tales que ax + by = d.
Problema 12.2 El producto de dos números naturales es 1260 y su mínimo común múltiplo es 630. ¿De qué números se trata?
Problema 12.3 ¿Cuantos divisores positivos tiene el número 29338848000 = 2^8 · 35 · 53 · 73 · 11? ¿Cuántos son múltiplos de 99? ¿Y de 39?
Problema 12.4 Demostrar que log 2 3 es un número irracional.
Problema 12.5 Demostrar que 101 es un número primo.
Problema 12.6 Demostrar que 6 | a(a + 1)(2a + 1).
Problema 12.7 Resolver las siguientes ecuaciones de congruencia:
Problema 12.8 Encontrar el resto de dividir 268 entre 19.
Problema 12.9 Demostrar que 30 | (a^25 − a) para todo a ∈ Z.
Problema 12.10 Calcular los dos últimos dígitos de 31492.
Problema 12.11 Determinar el resto de dividir por 5 el número hexadecimal A1F05FFA01AFA0F.
