¡Descarga Matemática Discreta Introducción y más Apuntes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity!
TEMA 1. ESPAZOS TOPOLÓXICOS E ESPAZOS
MÉTRICOS
Xa sabemos que os abertos nos espazos euclidianos permiten
caracteriza-la continuidade das funcións sen necesidade de utiliza-la
distancia. Isto suxire que unha noción razoable de "aberto" en
espazos abstractos permitiría introduci-las funcións continuas en
espazos máis xerais.
Neste primeiro tema presentarémo-los espazos topolóxicos, onde a
noción de aberto é fundamental, e veremos outras formas de definir
unha topoloxía nun conxunto para convertelo nun espazo topolóxico.
Estudaremos tamén unha serie de conceptos elementais relacionados
con estes espazos.
1). Topoloxías: espazos topolóxicos; abertos
Definición: Unha topoloxía nun conxunto é unha colección
de
subconxuntos de , que se chaman conxuntos abertos , verificando
os seguintes axiomas:
i)
ii)
iii) A unión de unha subfamilia calquera de
está en
iv) A intersección de dous elementos de
está en
Dada unha topoloxía
nun conxunto
, o par
(, ) chámase
espazo topolóxico. Normalmente falaremos do espazo topolóxico .
Exemplos:
Se
n
R
, a colección de tódolos abertos usuais en (as unións de
bolas abertas en para a distancia euclidiana) é unha topoloxía, que
chamaremos a topoloxía usual de . En particular, se
n
R
é a
topoloxía euclidiana de , e os seus abertos son os abertos
euclidianos.
Sexa
un conxunto calquera. A colección
() de tódolos
subconxuntos de é unha topoloxía en que se chama topoloxía
discreta ; con esta topoloxía dise que é un espazo discreto. A
colección
{, }
tamén é unha topoloxía en e chámase topoloxía
indiscreta (ou trivial); con esta topoloxía dise que é un espazo
indiscreto.
Dúas topoloxías
e nun conxunto son comparables se
ou . Se dise que e máis grande ou máis fina que
. Nun
conxunto calquera , a topoloxía discreta é a topoloxía máis fina e a
topoloxía indiscreta a menos fina.
2). Pechados
Definición : Dado un espazo topolóxico , un subconxunto de dise
que é pechado se o seu complementario é aberto en .
Teorema : A familia F
de tódolos conxuntos pechados nun espazo
topolóxico ten as seguintes propiedades:
i) O conxunto baleiro
está en F
ii) O conxunto total está en
F
iii) A intersección dunha subfamilia calquera de F
está en
F
iv) A unión de dous elementos de F
está en F
Reciprocamente, dado un conxunto F
, se
F () verifica estas
catro propiedades, entón F é a familia dos conxuntos pechados para
unha topoloxía en .
Exemplo :
A colección C
F
dos subconxuntos de R formada por R e tódolos
seus subconxuntos finitos verifica as catro propiedades do teorema
anterior e, polo tanto, é a familia de pechados para unha topoloxía en
R que se chama a topoloxía cofinita.
Sexa
o semiplano superior pechado
{( x , y ) y 0 } en
2
R
. Tomamos
como abertos básicos.
a) Tódalas bolas abertas usuais (suficientemente pequenas
para que estean completamente contidas en
).
b) Tódolos conxuntos da forma
{( x , 0 )}
, onde é unha
bola aberta no semiplano tanxente ó eixo de abscisas en
( x , 0 ) .
Esto determina unha topoloxía en
. O espazo topolóxico resultante
denominase plano de Moore.
A topoloxía do plano de Moore é estrictamente máis fina que a
topoloxía usual no semiplano superior pechado
. Como
consecuencia, o plano de Moore é un espazo Hausdorff.
O plano de Moore é separable e satisfai o primeiro axioma de
numerabilidade, pero non o segundo. Polo tanto, non é metrizable.
A topoloxía relativa do eixo de abscisas no plano de Moore é a
topoloxía discreta, logo non é separable. Esto mostra que “ser
separable” non é unha propiedade hereditaria.
4). Veciñanzas
Definición : Unha veciñanza dun punto x nun espazo topolóxico é
un conxunto
que contén un subconxunto aberto que contén a
x
A colección N x
de tódalas veciñanzas de x chámase sistema de
veciñanzas de x.
Exemplo :
Un aberto nun espazo topolóxico
é unha veciñanza de cada un
dos seus puntos. Dado x , chamaremos sistema de veciñanzas
abertas de x á colección U x
de tódolos abertos en que conteñen a
x.
5). Bases locais
Definición : Unha base local de x nun espazo topolóxico é unha
colección x
de veciñanzas de x , tendo a propiedade de que toda
veciñanza de x contén algún x
V
. Fixada unha base local de x , os
seus elementos denomínanse veciñanzas básicas de x.
Proposición : Dada unha base local x
de cada punto nun espazo
topolóxico , un subconxunto
U
de é aberto se e soamente se
contén unha veciñanza básica de cada un dos seus puntos.
Corolario :
i) Un subconxunto
U
de é aberto se e só se, contén
unha veciñanza de cada un dos seus puntos.
ii) Un subconxunto
U
de é aberto se e só se contén
unha veciñanza aberta de cada un dos seus puntos.
Proposición : Dadas dúas topoloxías
e nun conxunto , é
máis fina que
se e só se, para cada punto
x , cada elemento
dunha base local de x en
(, )
contén un elemento dunha base local
de x en
( , ) .
Este é o chamado criterio de Hausdorff de comparación de topoloxías.
6). Métricas nun conxunto: espazos métricas
Definición : Unha métrica ou distancia nun conxunto
é unha
aplicación:
d : R
Que verifica:
i)
d ( x , y ) 0 x y
ii)
d ( x , y ) d ( y , x ) x , y Simetría
Proposición : Para cada
x
, a colección de tódalas bólas abertas de
centro
x
é unha base local de
x
no espazo topolóxico
( , )
d
Os abertos no espazo mét rico
( , d )
son os abertos no espazo
topolóxico
( , )
d
e, polo tanto, cada aberto no espazo métrico é unión
de bólas abertas en
( , d )
Os pechados no espazo métrico
( , d )
son os pechados no espazo
topolóxico
( , )
d
Definición : Se
( , d )
é un espazo métrico, un subconxunto de
é acotado en
( , d ) (ou d - acotado ) se o conxunto de números reais
{ d ( x , y ) x , y } está acotado superiormente. Se é d-acotado e
non é baleiro, chámase diámetro de ao número real
( ) sup{ d ( x , y ) x , y } .
7). Métricas equivalentes
Definición : Dúas métricas nun conxunto
son topoloxicamente
equivalentes se as súas topoloxías coinciden.
Por exemplo, as métricas 1 2
d , d e
d en
n
R
son métricas
topoloxicamente equivalentes.
8). Metrizabilidade
Definición : Un espazo topolóxico
dise que é un espazo metrizable
se a topoloxía de
é a topoloxía dunha métrica no conxunto
Observación : Un espazo métrico é un par
( , d )
formado por un
conxunto e unha distancia, mentres un espazo metrizable é un
espazo topolóxico , é dicir, un par
( , ) formado por un conxunto e
unha topoloxía, tal que a topoloxía está definida por unha distancia.
A topoloxía usual de
n
R
é a topoloxía da métrica
2
d , logo coa
topoloxía usual cada
n
R
é un espazo metrizable
A topoloxía discreta dun conxunto
é a topoloxía da métrica
discreta, logo tódolos espazos discretos son metrizables.
9). Interior, clausura e fronteira
Definición : Sexa
un espazo topolóxico,
un subconxunto de
e
x
un punto de
. Dicimos que:
x
é un punto interior de
se existe unha veciñanza de
x
contida en
x
é un punto clausura ou punto adherente de
se toda
veciñanza de
x
contén algún punto de
x
é un punto fronteira de
se toda veciñanza de
x
contén
algún punto de
e algún punto que non está en
x
é un punto de acumulación de
se toda veciñanza de
x
contén algún punto de
distinto de
x
- x é un punto illado de
se existe unha veciñanza de
x
que non contén ningún outro punto de
Corolario : Sexa un espazo topolóxico e
un subconxunto de :
Int () é o maior conxunto aberto en
contido no conxunto
Cl ()
é o menor conxunto pechado en que contén ó
conxunto
Corolario : Sexa un espazo topolóxico e un subconxunto de :
é aberto se e só se
Int ()
Cl ()
Corolario : Sexa un espazo topolóxico e e dous subconxuntos
de . Se entón
Int ( ) Int () e
Cl ( ) Cl () .
Proposición : Sexa un espazo topolóxico e un subconxunto de
. Entón
Cl ()
. Polo tanto, un conxunto nun espacio
topolóxico é pechado se e só se contén ós seus puntos de
acumulación.
10). Espazos de Hausdorff
Definición : Un espazo topolóxico dise que é Hausdorff ou separado
se para cada par de puntos distintos
x , y
existen abertos
disxuntos U e V tales que x U e
y V .
Tódolos espazos metrizables son espazos Hausdorff. En particular,
cada subconxunto
de
n
R
coa topoloxía usual é un espazo
Hausdorff.
Nun espazo Hausdorff, cada punto (e, polo tanto, cada conxunto
finito) é pechado. Os espazos que verifican esta propiedade
chámanse espazos de Frechet.
11). Propiedades de numerabilidade
Definición : Dise que un espazo topolóxico satisfai o primeiro
axioma de numerabilidade ou é primeiro numerable se existe unha
base local numerable en cada punto
x .
Os espacios metrizables satisfán o primeiro axioma de
numerabilidade.
Proposición : Dise que un espazo topolóxico satisfai o segundo axioma
de numerabilidade ou é segundo numerable se a súa topoloxía
admite unha base numerable.
Proposición : Todo espazo topolóxico que satisfai o segundo axioma de
numerabilidade tamén satisfai o primeiro.
A recíproca da anterior proposición é falsa; por exemplo, ningún
espacio discreto non numerable satisfai o segundo axioma de
numerabilidade.
Definición : Un subconxunto dun espazo topolóxico é denso en
se a súa clausura é .
Un espazo topolóxico é separable se contén un subconxunto denso e
numerable.
Proposición : Sexa un espazo topolóxico, un subconxunto de
é denso en se e só se todo aberto non baleiro corta a , e tamén
dun punto x formada polas bolas abertas centradas nese punto,
tense que unha sucesión
{ }
n
x
en converxe a
x
se se verifica que,
para cada número real positivo, existe un número natural
v
tal que
se
n , n v
, entón
d ( x , x )
n
Proposición : Se unha sucesión converxe nun espacio Hausdorff entón
ten un único límite.
Lema : Se é un espazo topolóxico que satisfai o primeiro axioma de
numerabilidade, entón para cada punto
x existe unha base local
numerable
{ V n }
n
contractiva (é dicir,
1 2 3
V V V
) de
x
Lema : Se
{ V n }
n
é unha base local contractiva dun punto
x
nun
espazo topolóxico
e, para cada n ,
n
x é un punto de
n
V , entón
a sucesión
{ }
n
x converxe a
x
Proposición : Sexa
un espazo topolóxico. Se
satisfai o primeiro
axioma de numerabilidade,
e x , entón:
x Cl x x x
n n
() { } { }
13). Sucesións de Cauchy en espazos métricos
Definición : Se
( , d ) é un espacio métrico, dise que unha sucesión
{ }
n
x
en é unha sucesión de Cauchy se se verifica que, para cada
número real positivo
, existe un número natural
v
tal que se
m , n
,
m , n v
, entón
( , )
m n
d x x
.
Proposición : Toda sucesión converxente nun espazo métrico
( , d ) é
unha sucesión de Cauchy.
Definición : Dise que un espazo métrico
( , d ) é completo se toda
sucesión de Cauchy en
( , d )
converxe a un punto de .
14). Topoloxía relativa: subespazos
( , d )
un espazo métrico e un subconxunto de . A
restricción
d da métrica d en
a
é unha métrica en
, e o
espazo métrico ( , )
d dise que é un subespazo métrico de
( , d ) .
Os abertos en
( , )
d son as interseccións dos abertos en
( , d )
con
Definición : Sexa un espazo topolóxico, un subconxunto de .
A colección de conxuntos:
U U G G
Proposición : Sexa un subespazo dun espazo topolóxico e
un
subconxunto de . Entón,
é un subespazo de se e só se
é
un subespazo de .
TEMA 2. CONTINUIDADE
As propiedades topolóxicas son aquelas que son invariantes polas
transformacións continuas (“homeomorfismos”). Por exemplo, “ser
unha recta” ou “ser un círculo” non son propiedades topolóxicas:
unha recta pode transformarse nunha curva e un círculo pode
cambiar de forma ata ser un cadrado ou un triángulo mediante
transformacións continuas.
Neste tema introdúcense as nocións máis básicas sobre a
continuidade das aplicacións entre espazos Topolóxicos.
1). Aplicacións Continuas
Definición : Sexa
f :
unha aplicación dun espazo topolóxico
nun espazo topolóxico . Dise que
f é continua nun punto x se,
para toda veciñanza aberta G de
f ( x ) en
, existe unha veciñanza
aberta
U de
x
en tal que
f ( U ) G
. Nesta definición pódese
substituír “veciñanza aberta” por “veciñanza” ou por
“veciñanza básica”. Dicimos que
f
é continua se é continua en
tódolos puntos de .
Unha aplicación
f : é continua en x se, e só se, para toda
veciñanza aberta (ou veciñanza ou veciñanza básica) G de
f ( x ) ,
( )
1
f G
é unha veciñanza de
x
A continuidade dunha aplicación entre espazos métricos defínese
en termos da continuidade entre os correspondentes espazos
topolóxicos. Como consecuencia, tense que se
( , d ) e
( , d )
son
espazos métricos, unha aplicación f : ( , d ) ( , d )
é continua nun
punto x se para todo 0 existe un 0 tal que se
d ( ,)
entón
d ( f ( x ), f ( y ))
. En particular, a definición xeneraliza o
concepto de función continua entre espazos euclidianos.
Teorema : Sexa
f : unha aplicación dun espazo topolóxico
nun
espazo topolóxico
, e
unha base da topoloxía de
. As
propiedades seguintes son equivalentes:
i)
f é continua
ii) é un subconxunto pechado de se e só se a
aplicación inclusión i : é unha aplicación pechada. Polo
tanto, todo subconxunto pechado dun subespazo pechado de
é pechado en
3). Homeomorfismos e PropiedadesTopolóxicas
Definición : Un homeomorfismo
f
dun espazo topolóxico nun
espazo topolóxico é unha aplicación continua
f : que ten
unha inversa continua. Se existe un homeomorfismo de en ,
dicimos que e son homeomorfos , e escribiremos .
Proposición : A identidade nun espazo topolóxico é un homomorfismo.
Se
f é un homeomorfismo, daquela
1
f tamén o é. A composición de
dous homeomorfismos é un homeomorfismo. A relación “ser
homeomorfos” é unha relación de equivalencia.
Definición : Dise que unha propiedade é topolóxica se se conserva
polos homeomorfismos.
Proposición : As propiedades de ser Hausdorff, ser Fréchet, ser
separable, satisface-lo primeiro ou o segundo axioma de
numerabilidade son propiedades topolóxicas.
4). Restriccións
Definición : Sexa
f :
unha aplicación e un subconxunto de .
Chámase restricción de
f
a , e denótase
f
, a aplicación
composta
f i : .
A restricción dunha aplicación continua a un subespazo é unha
aplicación continua.
Sexa
f : unha aplicación tal que
f () e sexa :
D
f a
“aplicación definida por
f con valores en
”, é dicir,
f ( x ) f ( x )
D
para
todo
x
. Daquela,
f
é continua se e só se D
f
é continua. (A
continuidade non depende do rango).
Sexa
f :
unha aplicación continua , ,
f ()
,
daquela, a aplicación
:
~
f definida por
f
con valores en (“a
restricción de
f
a con valores en ”) é continua. Se
f
é un
homeomorfismo e
f () entón f
~
tamén é un homeomorfismo.
Definición : Se e son espazos topolóxicos, un encaixamento (ou
embebemento, ou mergullo ) de en é unha aplicación
f :
tal que a aplicación definida por
f
con valores no subespazo
f () de
é un homeomorfismo.
5). Aplicacións Combinadas
Definición : Sexan e conxuntos,
i i
{ }
é un recubrimento de
(ou sexa, unha familia de subconxuntos de tal que a súa unión é
todo ),
i i i
{ f : } unha familia de aplicacións tales que
i j i j
i j
f f
, para todo
i , j
. Definimos unha aplicación
f : poñendo
f ( x ) f ( x )
i
se i
x
. Dicimos que
f
é a aplicación
combinada da familia de aplicacións i i
{ f }
.
