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MATEM ´ATICAS III
Licenciatura en Econom´ıa
Relaci´on de Ejercicios
N◦ 1
- Para las siguientes funciones halla los m´aximos y m´ınimos globales, en caso de que existan, sobre el conjunto S indicado.
a ) f ( x ) = 3 x^4 − 4 x^3 , S = [ 0 , 2 ]. b ) f ( x ) = 3 x^4 − 4 x^3 , S = [ 3 , 6 ]. c ) f ( x ) = 3 x^4 − 4 x^3 , S =] 3 , 6 [. d ) f ( x ) = x ( 5 x − 6 )^2
, S = [− 2 , 0 ].
e ) f ( x ) = x^4 − 4 x^3 − 20 x^2 + 150, S = R.
f ) f ( x ) =
ex^ − e − x 2
, S = R.
g ) f ( x ) = − 3 x^4 + 8 x^3 + 20, S = [ 1 , +∞[.
- Representa gr´aficamente los siguientes conjuntos de R^2.
(a) S = {( x , y ) ∈ R^2 / ( x − 1 )^2 + y^2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } (b) S = {( x , y ) ∈ R^2 / 3 x + 4 y ≤ 12 , x − y ≤ 1 , 3 x + y ≥ 3 } (c) S = {( x , y ) ∈ R^2 / x y ≥ 0 } (d) S = {( x , y ) ∈ R^2 / x y < 0 } (e) S = {( x , y ) ∈ R^2 / 4 x^2 + y^2 = 4 , x ≥ 0 } (f) S = {( x , y ) ∈ R^2 / x + y^2 ≥ 0 } (g) S = {( x , y ) ∈ R^2 / ( x + 1 )^2 + y^2 ≤ 1 , x^2 + y ≥ 0 , y < 0 }
- De los anteriores conjuntos (a) ¿Cu´ales de ellos son cerrados? (b) ¿Cu´ales son abiertos? (c) ¿Cu´ales son acotados? (d) ¿Cu´ales son compactos? (e) ¿Cu´ales son convexos?
- Representa gr´aficamente algunas curvas de nivel de las funciones:
(a) f ( x , y ) = ( x − 1 )^2 + ( y + 2 )^2 , (b) f ( x , y ) = x^2 + y , (c) f ( x , y ) = xy , (d) f ( x , y ) = 4 x^2 + 9 y^2 (e) f ( x , y ) = e^2 x + y
- Resuelve gr´aficamente los siguientes problemas:
(a)
Minimizar : 2 x − 5 y s.a. x^2 + y^2 ≤ 9 x^2 + y^2 ≥ 4 2 x − 2 y ≤ 4 x ≥ 0 , y ≥ 0
(b)
Maximizar : x^2 − y s.a. y ≤ 1 − x y ≤ 1 + x y ≥ 0
(c)
Minimizar : ( x − 1 )^2 + ( y − 1 )^2 s.a. − x + y ≤ 1 x + y ≤ 2 x ≥ 0 , y ≥ 0
(d)
Minimizar : ( x − 0 , 5 )^2 + ( y + 1 )^2 s.a. − x + y ≤ 1 x + y ≤ 2 x ≥ 0 , y ≥ 0
(e)
Maximizar : x^2 + 3 y^2 s.a. − x + y ≤ 1 x^2 − y ≤ 1
(f)
Optimizar : − x + 3 y s.a. ( x + 1 )^2 + y^2 ≤ 1 x^2 + y ≥ 0 y ≤ 0
- Dado el conjunto S = {( x , y ) / − x + 2 y ≤ 8 , 2 x + y ≥ 6 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } (a) Repres´entalo gr´aficamente. (b) Resuelve, si es posible, los siguientes problemas:
( a )
Minimizar : − x + y s.a. ( x , y ) ∈ S
( b )
Minimizar : 3 x + y s.a. ( x , y ) ∈ S
( c )
Minimizar : 4 x + 2 y s.a. ( x , y ) ∈ S
- En algunos problemas que resolvemos por el m´etodo gr´afico se puede ver cu´al es el punto ´optimo, pero sus coordenadas no se pueden calcular f´acilmente. En el caso de que el punto ´optimo sea un punto de tangencia entre una de las curvas que delimitan el conjunto factible, S, y la curva de nivel de f que pasa por dicho punto, se pueden hallar sus coordenadas usando dicha condici´on de tangencia, traducida en que dos curvas que son tangentes en un punto tienen la misma pendiente en dicho punto. Resuelve por el m´etodo gr´afico:
(a)
Maximizar : 3 x − y s.a. y ≥ x^2
(b)
Optimizar : x − y s.a. x^2 + y^2 ≤ 9 x + y ≤ 2
- Una empresa produce dos tipos de art´ıculos, A y B. Desea conocer la producci´on semanal de ´estos que maximice su beneficio. Adem´as, se sabe que el beneficio por unidad es de 20 y 40 euros, respectivamente y la producci´on semanal m´ınima es de 80 y 60 unidades, respectivamente. Cada uno de los art´ıculos debe ser procesado por tres m´aquinas y las horas requeridas por art´ıculo y m´aquina son:
M´aq 1 M´aq 2 M´aq 3 A 1 1 2 B 1 2 1
El n´umero de horas semanales que pueden usarse las m´aquinas es 240, 300 y 360, respectivamente. Plantea el problema de maximizar los beneficios y resu´elvelo por el m´etodo gr´afico.
- Un fabricante de juguetes produce dos videojuegos en cajas de 100: Blasteroids (B) y Galaxian (G). El margen de beneficios es de 3.000 u.m. sobre cada caja del juego B y de 2.000 u. m. sobre cada caja del G. Cada caja de G necesita 6 horas de elaboraci´on, 4 horas de montaje y 2 horas de embalaje. Por su parte, cada caja del B precisa 3 horas de elaboraci´on, 6 horas de montaje y 1 hora de embalaje. Si se dispone de 54 horas de elaboraci´on, 48 horas para el montaje y de 30 para el embalaje, ¿Cu´al ser´a la producci´on de ambos juguetes que maximiza el beneficio?
- Utiliza el m´etodo de sustituci´on para resolver los siguientes problemas de optimizaci´on:
(a)
Minimizar : x^2 + 2 y s.a. x + y = 42 x ≥ 0 , y ≥ 0
(b)
Maximizar : − x^2 + y^2 + z s.a. x + 2 y − z = 0 2 y + z = 2
- La funci´on de utilidad de un individuo es U ( x , y ) = xy , siendo x e y las cantidades consumidas de dos bienes, cuyos precios son p 1 = 2 y p 2 = 3. El individuo dispone de una renta de 6 u.m. que debe gastar completamente en el consumo de ambos bienes. Plantea el problema de maximizaci´on de la utilidad y resu´elvelo por el m´etodo de sustituci´on.
