Ecuaciones Diferenciales II - Grado en Matem´aticas
Relaci´on de ejercicios no.1:Existencia
Curso 2023-24
1. Sea f:⌦!RNuna funci´on de clase C1, donde ⌦⇢R⇥RNes un dominio (es decir,
abierto y conexo). Justifica que las soluciones de la ecuaci´on diferencial x0=f(t, x)
son de clase C2. Generaliza este resultado para funciones fde clase Cpcon p2.
2. Encuentra una funci´on f:R2!R2continua pero no de clase C1y de forma que todas
las soluciones de la ecuaci´on diferencial p0=f(p)seandeclaseC1.
3. Sea ⌦⇢R⇥RdN un dominio y f:⌦!RNuna funci´on continua. Consideramos la
ecuaci´on diferencial de orden d:
x(d)=f(t, x(t),...,x
(d1)(t)) .(⇤)
a)Da una definici´on precisa de soluci´on de (⇤).
b)Dada x2Cd(I,RN) definimos X:I!RdN por X(t):=0
B
B
B
@
x(t)
x0(t)
.
.
.
x(d1)(t)
1
C
C
C
A
.Encuentra
una funci´on continua F:⌦!RdN de manera que x:I!RNsea soluci´on de
(⇤)siysolosiX(t)essoluci´ondeX0=F(t, X ).
4. En los casos siguientes encuentra el dominio de la ecuaci´on diferencial y los posibles
intervalos de definici´on de la soluci´on propuesta:
a)x0=p1x2,x(t)=sent, b)¨x=µx
kxk3,x(t)= 3
r9µt
2
20
@
1
0
0
1
A,(µ>0) .
5. Dada la funci´on f2C(R2) consideramos la siguiente ecuaci´on de Volterra
x(t)=5e3t+Zt
0
e3(ts)f(s, x(s)) ds.
Encuentra un PVI equivalente.
6. Encuentra soluciones de las ecuaciones/sistemas de ecuaciones integrales siguientes:
a)x(t)=2+Zt
1
x(s)2ds ;b)8
>
>
>
<
>
>
>
:
x(t)=Zt
0
y(s)ds
y(t)=Zt
0
x(s)ds + cos(t)
;
c)✓x(t)
y(t)◆=✓⇡
0◆+Zt
0✓y(s)
sen(x(s))◆ds.
1
