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Asignatura: matematicas empresariales, Profesor: , Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: ULPGC
Tipo: Ejercicios
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Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Departamento de M´etodos Cuantitativos en Econom´ıa y Gesti´on Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas Doble Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas y Derecho
palabra
palabra
1.1. Funciones reales de variable real.
1.2. Derivabilidad. C´alculo de derivadas. Aplicaciones.
1.3. Estudio local de funciones.
1.4. Integraci´on de funciones.
CAP´ITULO 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 3
a) e^2 x ^5 + 1 = 4.
b) 3e^2 x^ 1 =
c) eln(2x)^ = 5.
d ) e3 ln^ x^ = 8.
e) ln(2x + 1) = 2.
f ) ln( 5 x^2 + 9x 3) = 0.
a) p = 50 2 q, p = 10 + 2 q. b) p = 100 20 q, p = 20 + 60 q,
determinar la cantidad y el precio de equilibrio y representarlas gr´aficamente.
a) p = q^2 + 1, p = 2 q + 3. b) p = e^2 q^ , p = e q+2.
c) p = ln(q 1), p = ln
q
, q > 1.
a) 2x + 3 > 0. b) x^3 + 3x^2 4 0. c) x^3 8 x^2 + 21x 18 0.
d ) x^3 + 4x > 0.
e)
x^2 + 3x + 2
a) y = 5x^4
x^3 +
x
b) y = x^7 + 5x^3 +
x
6 ex^ + 1.
c) y = 3x ^3 +
x^2 /^3
p 5 x^2 +
x ^4
d ) y = 4
p 3 x + 2x 6.
e) y = a^2 x^2 + 2ax 4 , a 2 R.
4 MATEM ATICAS EMPRESARIALES. EJERCICIOS PROPUESTOS´
f ) y =
p x 8 3
p x^2
g) y =
x^2
h) y =
6 x^3 + 2x 4
p x
i ) y =
x 1 x + 1
j ) y =
x + 1 x 1
k ) y = ex+e
x . l ) y =
2 ex^ x^2.
m) y = ln
x +
1 + x^2
n) y = x
p x^2 1. ˜n) y = xe x
2 . o) y = ex^ ln x. p) y = ln(3x^2 + 2).
q) y = ln 3
1+x 1 x.
D(t) = 50000 5000 t,
donde t est´a medido en a˜nos (0 t 10). Se pide:
a) Calcular la tasa de variaci´on de la depreciaci´on con respecto al tiempo en t = 2, t = 3 y para cualquier valor de t. b) Supongamos ahora que la de depreciaci´on de esa misma m´aquina sigue la expre- si´on D(t) = 50000e ^0.^1 t. Calcular la tasa de variaci´on de la depreciaci´on con respecto al tiempo en los mismos valores que el apartado anterior.
a) y = ln(2u + 1), u =
p x + 1. b) y =
p 2 u 1, u = 4 2 x^2.
c) y =
u u + 1
, u = (x^2 3 x + 1)^2.
Calcular dydx , para el primer caso en x = 3 y para el segundo y tercer caso en x = 1. Interpretar en todos los casos el resultado.
a) y = ex^ +
x , donde x = t^2 2 t + 1.
b) y = x e
p x+2, donde x = t (^2) 1 t
Calcular
dy dt
, para el primer caso en t = 0 y para el segundo en t = 1.
6 MATEM ATICAS EMPRESARIALES. EJERCICIOS PROPUESTOS´
dC dY
p 3 Y
donde C es el consumo, que es funci´on de la renta nacional, Y , expresada en billones de d´olares. Determinar la funci´on de consumo para dicho pa´ıs si es conocido que el consumo es de 10 billones de d´olares cuando Y = 12 billones de d´olares.
Cm(x) = dC(x) dx
p x
Sabiendo que el art´ıculo se vende a un precio de p = 15 u.m., calcular los costes fijos de la empresa si los beneficios obtenidos en la venta de 9 unidades son 30 u.m.
a)
0
e^2 x 5 + e^2 x^
dx.
b)
1
(3x^1 /^3 + x(x^2 + 3)^2 ) dx.
c)
0
7 x
2 x^2 + 5 dx.
d )
0
(ex^ e ^2 x) dx.
e)
0
x^2 ex
3 dx.
f )
4
x x^2 10 dx.
a) f (x) 0 para todo x 2 (a, b).
b)
∫ (^) b
a
f (x) dx = 1.
Dadas las siguientes funciones:
a) f (x) =
, en (1, 5).
b) f (x) =
(x^2 + 2x + 1), en (0, 1).
c) f (x) = 3 x^2 19
, en (2, 3).
d ) f (x) =
ln 2
2 x x^2 + 1
, en (0, 1).
Comprobar que se tratan de funciones de densidad en los intervalos en que est´an definidas.
a) f (x) = k(x + 3), x 2 (0, 4). b) f (x) = k(x^2 + 1), x 2 (1, 2).
c) f (x) =
k x^2
, x 2 (1, 2).
d ) f (x) = ke x, x 2 (0, 1). e) f (x) = k, x 2 (a, b).
Calcular el valor de la constante k para que las mismas sean funciones de densidad en los intervalos que se indican.
CAP´ITULO 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 7
dC dq
p q
donde C viene expresada en u.m. Hallar el coste total que supone incrementar la producci´on de 4 a 9 unidades.
dC dq
100 q^2 √ q^3 4
hallar el coste que supone incrementar la producci´on de 2 a 5 unidades.
a) La curva f (x) = 3x x^2 , el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4. b) Las curvas f (x) = x y g(x) = x^2. c) Las curvas f (x) =
p x y g(x) = x. d ) Las curvas f (x) = 4x x^2 + 8 y g(x) = x^2 2 x. e) Las curvas y = 9 x^2 e y = x^2 + 1 desde x = 0 a x = 3. f ) La curva y = e ^2 x, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 4.
∫ (^) q 0
0
(p p 0 )dq =
∫ (^) q 0
0
f (q) dq p 0 q 0.
Del mismo modo, si p = g(q) es una funci´on de oferta en la que se representan los precios a los que los productores suministran diferentes cantidades de un bien, el excedente del productor (EP ) viene dado por
∫ (^) q 0
0
(p 0 g(q))dq = p 0 q 0
∫ (^) q 0
0
g(q) dq.
Calcular el excedente del consumidor para las siguientes curvas de demanda:
a) p = 400 8 q^2 , q 0 = 5 y p 0 = 200.
b) p =
q + 6
, q 0 = 4 y p 0 = 30.
Calcular el excedente de productor para las siguientes curvas de oferta:
a) p = q^2 + 3q + 70, q 0 = 4 y p 0 = 98. b) p = 6 + 0 5 p q, q 0 = 100 y p 0 = 11.
CAP´ITULO 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 9
a) x = ln
1 y^2
b) x =
ln
1 y^2 4
c) x =
1 y^2
Sea f (x) la funci´on de la gr´afica
f
Entonces la gr´afica de su derivada pue- de ser:
f´
f´ f´
a) b) (^) c)
q^2 + 7 es la ecuaci´on de de- manda de un producto, entonces la tasa de variaci´on de q respecto a p en p = 4, esto es
dq dp (^) p= , es:
a)
. b)
. c)
p^2 + 3
la ecuaci´on de de-
manda de un producto para la que los precios evolucionan respecto al tiempo de la forma p = e^4 t
(^2) 1
. La variaci´on de q con respecto al tiempo en t 0 = 1/ 2 es: a)
. b)
. c) 2.
q = 2 ln(p 2), p > 2 ,
entonces,
dp dq (^) q=
es:
a) 1. b) 2. c) 2.
x^2 x 1
a) Es creciente en (0, 1) [ (1, 2) y de- creciente en ( 1, 0) [ (2, + 1 ). b) Presenta un m´aximo local en x = 0 y un m´ınimo local en x = 2. c) Presenta un m´ınimo local en x = 0 y un m´aximo local en x = 2.
a) El ingreso (I = p q) se maximiza para q = 100. b) El ingreso se maximiza para q = 10. c) El ingreso m´aximo es 2000 e.
0 X 0 a
Entonces la gr´afica de su derivada, f ′, puede ser:
0 X 0 0 X 0
a) (^) b) c)
a
a
1 + x
a) Es c´oncava en R+. b) Es convexa en R+. c) Es convexa en (0, 1) y c´oncava en (1, + 1 ).
ln x x^2
a) Es creciente en (0,
p e). b) Tiene un m´ınimo local en el punto de abscisa x 0 =
p e. c) Es decreciente en (0,
p e).
10 MATEM ATICAS EMPRESARIALES. EJERCICIOS PROPUESTOS´
)x^3 :
a) Es creciente en todo R. b) Es decreciente en todo R. c) Es creciente en R+^ y decreciente en R .
4 x+ ln 4
8 x, entonces:
a) x =
es punto cr´ıtico de f (x).
b) x =
es punto cr´ıtico de f (x).
c) La funci´on no tiene puntos cr´ıti- cos.
x^2 3 e^1 /x^
a) Es creciente en todo el dominio. b) Es creciente en ( 1, 0) y decre- ciente en (0, 1 ). c) Es creciente en (1, 1 ).
x + 1 x 1 en x = 0 es:
a) 2x + y + 1 = 0. b) 2x + y 1 = 0. c) 2x y + 1 = 0.
f (x) = ln
x
en el punto x 0 = 2 es:
a) y = 1
x.
b) y = 2
x.
c) y = 1 +
x.
(^2) +2t . Entonces la variaci´on de q con respecto al tiempo en t = 0, esto es
dq dt (^) t=
, es:
a)
. b) 4. c) 2.
ex (1 + ex)^2
es igual a:
a) ex 1 + ex^
b)
1 + ex^
c)
1 + ex^
a) Es f ′(x). b) Es 0. c) No se puede calcular.
f (x) =
x (ln x + 1)
el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2 es:
a) ln 2 + 1. b) ln (ln 2 + 1). c) ln (ln 2).
0
(2x + 1) e x
(^2) x+ dx es igual a:
a) e(1 e ^6 ). b) e(e ^6 1). c) e e ^6.
a) 9. b)
. c)
2.1. Funciones de varias variables. Dominio y curvas de nivel.
2.2. Derivadas parciales. La diferencial total.
2.3. El vector gradiente.
2.4. Regla de la cadena para derivadas parciales.
2.5. Derivaci´on impl´ıcita de ecuaciones.
2.6. C´alculo de derivadas parciales de orden superior.
2.7. La matriz hessiana.
CAP´ITULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 15
a) Calculando la diferencia entre las im´agenes. b) Usando la f´ormula de la diferencial total. c) ¿Qu´e error se comete al calcularlo de esta manera?
x =
p p ln q, y =
p q
siendo p y q los precios de ambos bienes. Se pide:
a) Siendo p = 4 y q = e el precio de los bienes, estudiar, utilizando la diferencial total, la variaci´on de la cantidad demandada del primer bien cuando los respectivos precios aumentan en 1/4 y e/2. b) Si el precio de los bienes var´ıa con el tiempo de acuerdo a
p(t) = at^2 , q(t) = bt^3 + ct^2 ,
hallar la variaci´on de la cantidad demandada del primer bien a lo largo del tiempo. c) Averiguar en qu´e direcci´on hemos de modificar los precios dados en el apartado a) para elevar al m´aximo la cantidad demandada del primer bien. d ) Dado el nivel de precios en a), calcular c´omo deber´ıamos variar los precios pa- ra elevar aproximadamente la demanda del bien x en 58 unidades y disminuir aproximadamente la demanda del bien y en (^41) e unidades.
QK (K 0 , L 0 ) = 150, QL(K 0 , L 0 ) = 70.
Calcular, aproximadamente, qu´e incremento de producci´on supone aumentar 05 uni- dades de K y una unidad de L.
a) Calcular su dominio y representarlo gr´aficamente. b) Calcular las curvas de nivel para c = 0, c = 1 y c = 2 y representarlas gr´aficamente de forma aproximada. c) Obtener el vector gradiente de f (x, y) en el punto (1, 2). d ) Obtener una aproximaci´on de la variaci´on de la funci´on al pasar del punto (1, 2) al punto (0 99 , (^2) 03) utilizando la diferencial total.
a) Calcular las derivadas parciales
y
si K = 4 u.m. y L = 8 trabajadores. Interpretar el resultado. b) Aplicar la diferencial total para obtener una aproximaci´on del valor de la produc- ci´on cuando las variaciones del capital y del trabajo son 2 u.m. y 3 trabajadores, respectivamente.
16 MATEM ATICAS EMPRESARIALES. EJERCICIOS PROPUESTOS´
p K
p L.
a) Utilizando el concepto de diferencial total, hallar una aproximaci´on del incremen- to de la producci´on cuando (K, L) pasa del punto (1, 1) al punto (0 9 , (^1) 5). ¿Cu´al es el valor aproximado de la producci´on en (K, L) = (0 9 , (^1) 5)? b) Si el valor del vector gradiente en el punto (K, L) =
4 , a
es (9, b), esto es ∇Q
4 , a
= (9, b), determinar a, b y escribir la expresi´on de la curva de nivel sobre la que est´a el punto hallado,
4 , a
c) Suponiendo que el capital y el trabajo son funciones del tiempo, t, y que estas funciones son
K = K(t) = 0 2 t + 1, L = L(t) = e^0 ·^1 t,
aplicar la regla de la cadena para hallar la tasa de variaci´on de la producci´on respecto del tiempo, es decir
dQ dt , en el momento t = 0.
a) xy^2 = 1, y evaluarla en el punto (1,1). b) y^2 + 2xy^2 3 x + 1 = 0, y evaluarla en el punto (2,1). c) ln(xy) =
y ex^
, en el punto (1, e).
a) x^2 + y^2 = 1, en los puntos x =
p 2 2 ,^ x^ = 0,^ x^ = 1 respectivamente, y representar gr´aficamente. b) x + y^2 = 2xy, en los puntos y = 0, x = 1 respectivamente.
a) 5x^2 + yx z^2 y = 4 en x = 1, y = 1, z > 0. b) x^2 + y^2 + z^2 = 1 en (0, 0 , 1) y (1, 0 , 0). c) 6x y 6 z^2 = 7 en x = 5, y = 1 , z > 0.
xz^2 + y^2 (x + y) = 0,
se pide:
a) Determinar el valor de z cuando x = 1 , y = 2.
