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Tema 1. Funciones reales de variable real
Departamento de Métodos Cuantitativos para Economía y Empresa Universidad de Las Palmas de Gran Canaria GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Dávila Cárdenes, Nancy Dorta González, Pablo García Artiles, Mª Dolores Gómez Déniz, Emilio Hernández Guerra, Juan
Profesores:
11
Objetivos
Objetivos Generales
Objetivos Específicos
Introducción del cálculo de funciones de una variable, que es
fundamento del análisis económico marginal y problemas de
optimización.
Conocer las funciones elementales y sus propiedades.
Asimilar los conceptos fundamentales del cálculo diferencial y sus
aplicaciones a problemas de economía.
Adquirir destreza en el cálculo de derivadas e integrales de
funciones de una variable.
22
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
2. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS.
3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES.
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
33
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos que asigna a
cada elemento del primer conjunto uno y sólo uno del segundo
conjunto.
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Definición
f A B
x y f x
: variable independiente,
: variable dependiente.
Cuando , , hablamos de función real de variable real.
x
y
A B
Conjunto de puntos en los que tiene sentido su expresión matemática.
( ). Dom ( )
f A B
x y f x f x A
2
: Calcular el dominio.
a) ( ) 1. b) ( ). c) ( ) 1.
E
jemplo
f x x f x f x x
x
Dom f Dom f Dom f x x
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Dominio
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
2
2
2
a) ( ) 2 1.
b) ( ) 1.
c) ( ). 1
1 d) ( ). 1
e) ( ) 1.
f x x
f x x
x f x x
f x x
f x x
2
2
f) ( ) 4.
g) ( ).
h) ( ). 1
1 i) ( ). 2
f x x
x f x x
x f x x
x f x x
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ejercicios propuestos
66
f A g A
x y f x x y g x
Suma ( ) ( ).
Producto ( ) ( ).
Cociente , ( ) 0. ( )
f x g x
f x g x
f x g x g x
Dadas
Composición: : , : se define :
f A B g B C g f A C
g f x g f x
2
2
) ( ) y ( ) 1.
) ( ) y ( ).
a f x x g x x
b f x x g x x
Ejemplo: Hallar la función resultante de componer las siguientes funciones.
2 2 Se tiene que ( )( ) ( 1) y ( )( ) 1.
Se tiene que ( )( ) y ( )( ).
f g x x g f x x
f g x x g f x x
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Operaciones
77
Ejercicios propuestos:
Hallar la función resultante de componer ( f g )( x ) y ( g f )( x ).
2
2
2
2
a) ( ) 1; ( ). 1
b) ( ) ; ( ) 1. 1
c) ( ) 2 1; ( ). 2
f x x g x x
x f x g x x x
x f x x g x
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Composición
88
Bisectriz
y=x
y x
2 y x
1
f A B f B A
f f x x x A
Las gráficas de son simétricas respecto a la recta y=x.
Una función f(x) tiene inversa, si existe 1 f ( x ) tal que:
1 f x ( ) y f ( x )
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función inversa
2 Las funciones ( ) y ( ) ,
son inversas la una de la otra.
f x x g x x
99
Hallar la función inversa de las siguientes funciones.
a ) y f x ( ) 3 x 5.
2 b ) y f x ( ) x 1.
x c y f x x
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ejemplos (f. inversa)
1 1
3 5 ( ), luego ( ). 3 3
y x x y x f y f x
2 1 1 x y 1 x y 1 f ( y ), luego f ( x ) x 1.
1 1
( ), luego ( ). 1 1 1
y x x yx x y x y y
y y x x f y f x y y x
Hallar la función inversa de las siguientes funciones:
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ejercicios propuestos
2
a) 3 2;
b) 3 2;
c) 2;
d) ;
e). 3 2
y x
y x
y x
x y x
x y x
Una función f es creciente si dados dos puntos x e y del dominio, si x<y
entonces f(x)<f(y).
Una función f es decreciente si dados dos puntos x e y del dominio, si
x<y entonces f(x)>f(y).
x y
f( x )
x y
f(y) (^) f(x)
f(y)
f(x) < f(y) f(x) > f(y)
f
f
f creciente f decreciente
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Monotonía (crecimiento
y decrecimiento)
1818
a: pendiente de la recta
a>0 recta creciente
a<0 recta decreciente
b: ordenada en el origen (punto de corte con el eje OY )
a< b
a> b
¿Qué ocurre en los casos a=0, b=0? Representar gráficamente.
¿Qué ocurre cuándo x=k, siendo k constante? Representar gráficamente.
¿Qué ocurre si se tienen dos rectas y=ax+b e y=ax+c?
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función lineal
( ) , a,b
Dom( )=. Gráfica: recta
f x ax b
f
19
- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,1) y tiene
pendiente 2.
- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (3,4).
- Calcular la pendiente de la recta 2x+3y=1.
- Representar las siguientes funciones lineales indicando el intervalo en
el que la función es positiva, y en el que es negativa
a) ( ) 2 ;
b) ( ) 1; 2
c) ( ) 1 ;
f x x
x f x
f x x
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ejercicios propuestos
f x (^ )^^ ^0 f x (^ )^^ ^0
2020
Para cada nivel de precios de un producto existe una cantidad
correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en
un determinado período. Por lo general, conforme mayor es el precio,
menor es la cantidad demandada. Si el precio por unidad de un
producto está dado por p y la cantidad correspondiente está dada por
q , la expresión que relaciona a p y q se puede expresar mediante una
expresión lineal denominada función de demanda y
consecuentemente, la función de demanda tendrá pendiente negativa.
En respuesta a diversos precios, existe una cantidad de productos
que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en un
período específico. Por lo general, cuanto mayor es el precio, tanto
mayor será la cantidad que los fabricantes están dispuestos a ofrecer,
al reducirse el precio, se reduce también la cantidad de oferta. En este
caso hablamos de la función de oferta, que si se representa mediante
una función lineal, tendrá pendiente positiva.
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Aplicación (oferta y dem.)
2121
p
q
Representando conjuntamente
la función de oferta y demanda,
como función de q, p=f(q), el
punto en que coinciden ambas
curvas ( q,p ) se denomina
punto de equilibrio de mercado.
oferta
demanda
q*
p*
Ejemplo: Supóngase que la demanda semanal de un producto es de
5 unidades cuando el precio es de 20 unidades monetarias por
unidad, y de 10 unidades cuando el precio es de 15. Determinar la
ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Aplicación
Dado que la ecuación de demanda es lineal, su gráfica es una recta
de la que conocemos dos puntos por los que pasa (5,20) y (10,15).
Así, si escribimos la ecuación
y sustituimos cada punto nos queda el siguiente sistema:
Resolviendo obtenemos:
Supóngase ahora que la oferta viene dada por la ecuación
Para determinar en qué punto se alcanza el equilibrio del mercado
bastará con igualar las ecuaciones de oferta y demanda obteniéndose:
p b a q ,
20 5 ,
b a
b a
^ ^ ^
^ ^
p 25 q.
p 10 2. q
10 2 25 , de donde 5 y 20. 25
p q q q q p p q
^
^ ^ ^ ^ ^
^
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Aplicación (Ejemplo)
Solución:
a<
a>
0, es cóncava con máximo global en / 2.
0, es cónvexa con mínimo global en / 2.
/ 2 , es el eje de simetría de la parábola.
a x b a
a x b a
x b a
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función cuadrática
2 ( ) , con 0.
Gráfica: parábola. Dominio=.
f x ax bx c a
2424
Casos:
c
c
2 2
Eje vertical: 0.
Eje horizontal: 0 0. 2
x y c
b b ac y ax bx c x a
2
2
2
4 0 un solo punto de corte con OX.
4 0 dos puntos de corte con OX.
4 0 no hay puntos de corte con OX.
b ac
b ac
b ac
Ejemplos con a>0:
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función cuadrática
Corte con los ejes:
25
Así pues la parábola corta el eje vertical en y=2 y el horizontal en x=2 y
x=1. Además es convexa pues el coeficiente cuadrático es positivo, luego
la gráfica será:
2 f x ( ) x 3 x 2
OX: 0 3 2 0 de donde 2, 1. 2
OY: 0 2.
y x x x x x
x y
Calcular los puntos de corte con los ejes y representar de manera
aproximada.
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función cuadrática
26
Calcular los puntos de corte con los ejes y representar de manera
aproximada las funciones indicando el intervalo en el que la función
es positiva, y en el que es negativa
2 2 2 2 2 2 2 a) ( ) ;
b) ( ) 1;
c) ( ) 2 1;
d) ( ) 2 1;
e) ( ) 2 3.
f) ( ) -.
g) ( ) -2 3.
f x x
f x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ejercicios propuestos
f x ( ) 0 f x ( ) 0 .
2727
Ejemplo: Sea la función de demanda p=1000-2q, con p el precio por
unidad correspondiente a una demanda semanal de q unidades.
Calcular el nivel de producción que maximiza los ingresos, representar
la función de ingresos e indicar dónde se alcanza el ingreso máximo.
Para una función de demanda lineal,
I q ( ) pq.
p f q ( ) b aq.
El ingreso se define como
Esta función es cuadrática y cóncava, pues el coeficiente de q 2 toma
un valor negativo.
La función de ingresos quedará definida por:
2
I q ( ) (1000 2 q q ) 1000 q 2 q.
Esta función corta los ejes en: (0,0) y (500,0)
El máximo lo alcanza en q^ ^ b^^ / 2^ a ^250
Para ese valor el ingreso es de 125000 unidades monetarias.
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Aplicación (f. ingreso)
Función polinómica de grado 3 (cúbica). Ejemplo: y=x 3 .
Función polinómica de grado 4. Ejemplo: y=x 4 .
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función polinómica 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Generalidades de
las funciones polinómicas
- Todas las funciones polinómicas son continuas en su dominio.
Analizar el comportamiento de las siguientes funciones en :
3636
Función logarítmica:
Características:
Dom (f) = + .
Gráfica: dibujada a la derecha de OY.
Creciente si a>1.
Decreciente si 0<a<1.
Caso particular: base número e , entonces y = f(x) = log x = Ln x = Lx,
se llama función logaritmo neperiano.
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función logarítmica
( ) log , 0, 1 a y f x x a a
log
y a
y x a x
f (1) 0
3737
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función logaritmo
neperiano.
f x ( ) ln x
0
lim ln x
x
lim ln x
x
3838
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Logarítmica y exponencial
La función logarítmica y la exponencial son inversas, por tanto sus
gráficas son simétricas respecto a la recta y=x.
x f x e
f x ( ) ln x
0
lim ln x
x
lim 0
x
x
e
y x
3939
Lnx
x
Ln
e x
Ln e x
Ln e
n
Ln x y Ln x Ln y
x Ln Ln x Ln y y
Ln x n Ln x
Ejemplos: ln 4
3 2
a) Hallar la solución de la ecuación 4.
b) Simplificar ln 27 ln9.
ln 27 ln9 ln3 ln3 3ln3 2ln3 ln3.
c) Escribir en términos de ln , ln , ln la expresión ln.
x e
x x
xy x y z z
ln ln( ) ln ln ln ln.
xy xy z x y z z
^ ^ ^ ^
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función logarítmica
Propiedades:
- Ejemplos 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ecuaciones exponenciales
y logarítmicas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 x 5
2 x
ln( 2 x )
e 1 4.
3e 1.
e 5.
ln( 2x 1) 2.
3 ln x 1.
ln( x( x 2 )) 0.
- Hallar el dominio de las siguientes funciones:
- Hallar ( f g )( x ) y ( g f )( x ) para las siguientes funciones:
1
2
a) ( ) ; ( ) ln(1 ).
ln b) ( ) ; ( ).
c) ( ) ; ( ) 2ln.
x
x
x
f x e g x x
x f x g x e x
f x e g x x
1 1 ln(1^ ) a) ( ) ; b) ( ) ; c) ( ) ln(1 ); d) ( ). 1
x^ x x
x f x e f x e f x x f x e
- Hallar la función inversa de las siguientes funciones:
3 1
2
a) ;
b) ln ;
c) 1 2.
x
x
y e
x y x
y e
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ejercicios propuestos
42
- Resolver las siguientes ecuaciones:
3 1
2 5 2
3
2 ln 4
- log (6 ) 2.
5 25. 7) log ( 2) 1.
- ln3 ln ln6. 2
x x x
x
x x
e x
x
x
e
3
- ln 3. 10) ln 2.
x x e
- Expresar lo más simplificadamente posible:
3ln5 2ln 49 4ln 25 ln7.
2ln9 3ln3 ln16 5ln 4.
- Desarrollar la expresión siguiente en término de ln a, ln b y ln c:
3 ln. ( )
a
b c
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Ejercicios propuestos
43
1. OTRAS GRÁFICAS QUE NO SON FUNCIONES
ELIPSE
2 2 0 0 0 0 2 2
2 2
2 2
Ecuación de la elipse con centro ( , ) y semiejes y : 1.
Si la elipse tiene centro en (0,0) 1.
x x y y x y a b a b
x y
a b
CIRCUNFERENCIA
En la ecuación de la elipse si a b r
2 2 2 0 0 0 0 ( x x ) ( y y ) r circunferencia con centro ( x , y ) y radio r.
2 2 Si la circunferencia tiene centro el (0,0) y radio 1 x y 1
2 2 x y 1
2 2 x y 1 9 4
4444
2. DERIVABILIDAD. CÁLCULO DE DERIVADAS.
4545
x 0
f(x 0 +h)
f(x 0
Sea f: A R, x 0 A, A conjunto abierto
La pendiente de la recta secante a la curva y= f(x):
y=f(x)
y=ax+b
x 0 +h
h
f(x 0 +h)- f(x 0
0 0 f x ( h ) - f x ( ) a h
2. DERIVABILIDAD: La derivada y la pendiente de una curva
4646
La derivada de f en x 0 , f’(x 0 ), es la pendiente de la recta tangente
a la curva y= f(x) en el punto (x ,f(x )).
x 0
f(x 0 +h)
f(x 0 )
y=f(x )
y=ax+b
x 0 +h
0 0 0 0
lim '( ) h
f x h f x a f x h
2. DERIVABILIDAD: La derivada y la pendiente de una curva
4747
f es derivable en su dominio si lo es en cada punto del mismo.
0 0
0 x=x
x x
df dy
f x
dx dx
La derivada de una función en un punto se expresa con cualquiera de
las notaciones siguientes:
2. DERIVABILIDAD: Notación
5454
Recuérdese la operación composición de funciones:
f g
x ( )
x f x g f x
g f x
Si y son derivables es derivable
f g g f
g f x g f x f x
Regla de la cadena:
g f ( x ) g f x
2. DERIVABILIDAD: Regla de la cadena
5555
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ln ( ) '( ) ( )
( ) '( ) ln '( )
n n
f x f x
f x f x
g x f x g x nf x f x
f x g x f x g x f x
g x a g x a a f x
g x e g x e f x
2 2 1 1
3 2 2 2
3 4 4
- 2 ' 3( 2 ) (2x+2).
- ln( 1) '. 1
x x y e y x e
y x x y x x
x y x y x
Ejemplos:
2. DERIVABILIDAD: Derivada de las funciones compuestas
56
2
4 3 2 2
2
5 2 2
3
5 2
2 1
Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
a) ( ) 5 7 5 3;
b) ( ) ; 1
c) ( ) ( 3 ) ;
d) ( ) ; 2 5
e) ( ) ln(3 2 );
f) ( ) ;
x x
f x x x x x x
x f x x
f x x x
x f x x
f x x x
f x e
(^3 )
2
g) ( ) ln( 3 );
h) ( ) ln. 1
x f x e x x
x f x x
2. DERIVABILIDAD: Ejercicios propuestos
5757
Otra notación: Si y g u ( ), u f x ( ).
y u x
dy dy du
dx du dx
2 2
0 0
Dadas 5 y 3 2 , hallar en 0.
(2 5) (6 2), por tanto, 10. x u
dy y u u u x x x dx
dy dy du dy u x dx du dx dx
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2 2 5 Dadas y 6 , hallar en 0.
u u dy y e u x x x dx
2. DERIVABILIDAD: Regla de la cadena. Ejemplos
58
2. DERIVABILIDAD: Regla de la cadena. Ejercicios propuestos
1 2 2
3
t=
- Dada la función de ingresos ( ) , siendo 1.
Calcular la variación de los ingresos con respecto al tiempo cuando 2.
Solución: =3e.
p I p e p t t
t
dI
dt
22
t=
- Dada la función de oferta 3 1, siendo.
Calcular la variación de la oferta con respecto al tiempo cuando 0.
Solución: =. 4
t t q p p e
t
dq
dt
2 2 3 2
0
- Dada la función de demanda 1 ln( 1), siendo.
Calcular la variación de la demanda con respecto al tiempo cuando 0.
Solución: -.
t t
t
q p p e
t
dq
dt
5959
Si ( ) es derivable '( ).
dy y f x f x dx
1
1
Si existe su inversa ( ) , derivable, entonces la derivada de
( ) es:
f y x
f y
dx f y dy dy
dx
Ejemplos:
Hallar la derivada de la función inversa de:
1
x y e
2. DERIVABILIDAD: Derivada de la función inversa
2
1/x 1/x
2
1 1 x
-. dy/dx e e
x
dx
dy
2x-2. dy/dx 1
2x-
dx
dy
- y ln( 2 x - 2)
60
2
3
- Dada la función de oferta 3 1, calcular la tasa de variación de
respecto a en 3.
Solución:. 5 p
p q q q
p p
dq
dp
2
3
- Dada la función de oferta 1, calcular la tasa de variación de
respecto a en 3.
Solución:. 2 p
p q q
p p
dq
dp
2. DERIVABILIDAD: Derivada de la función inversa. Ejercicios.
- Dada la función de demanda , calcular la tasa de variación de
respecto a en 1.
Solución:. 18 p
q p q q
p p
dq
dp 6161
3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES
Monotonía (crecimiento y decrecimiento)
Extremos locales ( máximos y mínimos)
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Clasificación de puntos críticos
Se abordará a continuación el estudio de las siguientes características
de las funciones haciendo uso del cálculo de derivadas.
6262
Sea f:(a,b) , derivable x (a,b).
Dada f derivable en x*, si tiene un máximo o
mínimo local en x*, entonces
El recíproco no es cierto. Ej. f(x)=x 3.
Si f’(x)0 entonces f no tiene extremos en x.
Los puntos que anulan la 1ª derivada se llaman puntos críticos.
i) Si '( ) 0 es creciente en ( , ).
ii) Si '( ) 0 es decreciente en ( , ).
f x f a b
f x f a b
f (^ x *) 0.
Consecuencias:
3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Monotonía y extremos locales
6363
Puntos críticos: x=0; x=
4 3 2 f x ( ) 3 x 8 x 6 x 3
Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los
extremos locales
3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Ejemplos
6464
Puntos críticos: x= -1; x= 2
x f x x
3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Ejemplos
Ejemplo 2: Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los
extremos locales
6565
Los puntos donde la función no sea derivable, puede que sean
puntos de cambios de la monotonía.
Si la función está definida en un intervalo cerrado [a,b] hay que
evaluarla en los extremos a y b del intervalo ya que podrían ser
máximos o mínimos.
Aspectos a tener en cuenta:
3. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES: Monotonía y extremos locales
Esta función que presenta un pico en x=0, no
es derivable, pero tiene un mínimo global en
dicho punto.
Esta función continua, definida en el intervalo
cerrado, [a,b] presenta un máximo global en
x=a y un mínimo global en x=b.
a b
7272
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Integral indefinida
F(x) es una primitiva de f(x) si se verifica que F’(x)=f(x).
Ejemplo:
Ejemplo: Hallar la primitiva de f(x)=6x+2 que pasa por el punto (1,1).
Luego la función primitiva buscada es:
2 F x ( ) 3 x 2 x k es función primitiva de f x ( ) 6 x 2, ya que F ( x ) f x ( ).
2 F (1) 3 1 2 1 k 1 k 4.
2 F x ( ) 3 x 2 x 4.
7373
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Integral indefinida
Se llama integral indefinida al conjunto de todas las primitivas de f(x),
y se escribe:
f x dx ( ) F x ( ) k , k siendo F '( x ) f x ( ).
Propiedades:
f x dx f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
Sean f g , : I , .
7474
1
ln | |
ln
n n
x x
x x
dx x k
x x dx k n n
dx x k x
a a dx k a
e dx e k
2 1/ 2 2
2
- x( 5).
x
dx
dx
x
x x dx x x
x dx
e dx
x x dx
Ejemplos:
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Integrales inmediatas
75
2
x 4
3
3 2
2 / 3
a) ( 5 3).
b) x 2. 2
c) e 5.
d) (2 5 ) dx.
e) ( x ) dx.
f) dx.
x
x x dx
dx
x x dx
x x e
x x
x x x (^) x
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Ejercicios propuestos
- La función de coste marginal para un empresario es:
Si los costes fijos son 100u.m., hallar la función de coste total.
- Hallar una función que represente el número N(t) de ensayos
literarios vendidos durante el mes t cuando y se venden 100
ejemplares inicialmente.
2 0.1 0.3 10.
dC q q dq
N '( ) t t
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Aplicación del cálculo integral
Ejemplos:
a) Cambio de variable o sustitución: Basada en la regla de la cadena,
se suele utilizar cuando en el integrando encontramos una función
y su derivada. La forma de proceder es hacer el siguiente cambio:
2 2
2
2 3 / 2 2 1/ 2 2
x x^ t t t x xe dx e dt e k e k xdx dt
x t x x dx t dt x k xdx dt
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Técnicas de integración
f x t g f x f x dx g t dt f x dx dt
7878
1
( ) ( )
( ) ( )
ln ( ) ( )
ln
n
n
f x f x
f x f x
f x f x f x dx k n n
f x dx f x k f x
a a f x dx k a
e f x dx e k
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Técnicas de integración
Integrales compuestas:
Basta hacer el cambio:. '( )
f x t
f x dx dt
79
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Ejercicios propuestos
2
2
2
3 3
2 5 2 3 2 2 3
x
x dx x
x x dx
x x dx
x e dx
x dx x
x dx
x dx x
x dx x
x dx x
2
5
2 3
2
2
2
3
2 -
ln
x
x
x
x
x dx
x x dx
x x dx
x dx x
e dx e
x dx x
dx x x
e dx
xe dx
8080
La integral definida es el área comprendida entre f(x) y el eje OX en el
intervalo [a,b].
Si ( ) 0 en [ , ], entonces, Área ( ).
b
a
f x a b f x dx
Si ( ) 0 en [ , ], entonces, Área ( ).
b
a
f x a b f x dx
a (^) b
a b
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: La integral definida
8181
(^2 )
1 1
2x 1 2 1 2 2 0 2 0
- ln ln 2 ln1 ln2. x
e 1 1 5
- 5 ln( 5) ln. 5 2 2 6
x x x
dx x
e dx t e e e
^
Regla de Barrow
Sea F es una primitiva de f , es decir, F’(x)=f(x) , siendo F(x) y f(x)
continuas en un intervalo [a,b], entonces se verifica:
Ejemplos:
b (^) b
a a
f x dx F x F b F a
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Regla de Barrow
2 e
1 1
ln ln x 1 3). 2 2
e x dx x
8282
A 1 A 2
A 3 A 4
Caso general:
- Hallamos los puntos de
corte con OX.
- Representamos la función
a) Área bajo una curva, el eje OX, las rectas x=a y x=b
x 1 x^2 x (^3)
Se trata de calcular el área comprendida entre f(x) y el eje X en el
intervalo [a,b]. Para ello se estudia el signo de f(x) (puntos de corte
con el eje X ).
1 2 3
1 2 3
Área ( ) ( ) ( ) ( ).
x x x b
a x x x
f x dx f x dx f x dx f x dx
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Cálculo de áreas
8383
- Se hallan los puntos de corte entre las dos curvas.
- Se representan las funciones.
b) Área entre dos curvas
Si a y b son los puntos de corte y f(x) queda por encima de la curva
de g(x), el área está dada por:
Caso más sencillo, dos curvas con dos puntos de corte
Si hubiera más puntos de corte, habría que añadir una integral por
cada intervalo definido por dichos puntos de corte y analizar la curva
que queda por encima o por debajo, para decidir si hallamos f(x)-g(x)
o g(x)-f(x) en cada intervalo.
Caso general:
Si g(x) queda por encima de f(x), se halla la integral de g(x)-f(x).
b
a
Área f x g x dx
4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES: Cálculo de áreas
