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TEMA 1: DISTRIBUCIÓN NORMAL Y DE LA MEDIA MUESTRAL
1. DISTRIBUCIÓN NORMAL
• UTILIZACIÓN DE LA TABLA NORMAL N (0, 1)
N (0, 1)
Nos fijamos en la tabla de la normal. El valor k se busca así:
- Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
- Centésimas en la fila de arriba. El número que nos da la tabla es el valor de: ( k ) = P ( zk )
Ejemplos:
- P( z 0,83) = (0,83) = 0,
- P( z 2,3) = (2,3) = 0,
- P( z 1) = (1,00) = 0, Recíprocamente, si conocemos el valor de la probabilidad ( k ), se puede saber el valor de k. Ejemplos:
- P( zk ) = ( k ) = 0,7190 k = 0,
- P( zk ) = ( k ) = 0,8643 k = 1,
- P( zk ) = ( k ) = 0,5560 k 0,
- PROPIEDADES DE LA N(0,1)
- P(x = k) = 0
- P(xk) = P(x< k)
- P(z-k) = P(z > k)
- P(zk) = 1 - P(z < k)
- P(a z b) = P(zb) - P(za)
Ejemplos: 1) P (z1,86) = 1 - P (z < 1,86) = 1 -( 1,86 ) = 1 – 0,9686 = 0, 2) P (0,18 < z 1,29) = (1,29) - (0,18) = 0,9015 – 0,5714 = 0, 3) P (-0,56 < z 1,9) = P (z 1,9) – P (z-0,56) = * P (z-0,56) = P (z 0,56) = 1 - P (z0,56) = 1- ( 0,56 ) = 1 – 0,7123 = 0,
- = (1,9) - 0,2877 = 0,9713 - 0,2877 = 0,
- P(-1,83 < z < -1) = P( z < -1)- P(z < -1,83) = 1- P( z < -1)- (1- P (z < -1,83)) =1- P( z < -1)-1+ P( z < -1,83) = P( z < -1,83) - P( z < -1) =( 1,83) – ( 1) = 0,9664 –0,8413 = 0,
2.-CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA N (, )
- TIPIFICACIÓN DE LA VARIABLE La distribución normal N (0, 1), que se representa por Z, se encuentra tabulada lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma. No se pueden construir tablas para todos los tipos posibles de distribuciones N (, ), pues o toman infinitos valores.
Lo más aconsejable sería poder transformar la variable X que sigue una distribución N (, ) en otra variable Z que siga una distribución N (0, 1). Esta transformación se conoce con el nombre de tipificación de la variable y consiste en: 1º. Centrar , es decir, trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas. Esto equivale a hacer = 0. 2º. Reducir la desviación estándar a 1 ( = 1 ). Esto equivale a dilatar o contraer la gráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar.
b) p (> 115) = p (z > ) = p (z > 1,67) = 1- p (z < 1,67) = 1- 0,9525 = 0,
Ejercicios :
- Halla las siguientes probabilidades en una distribución N(0,1) a) P (z > 2,8) b) P (z -1,8) c) P (z > -1,8) d) P (1,62 z < 2,3) e) P (1 z 2) f) P (-0,61 z 1,4) g) P (-1 z 2) h) P (-2,3 < z < -1,7) i) P (-2 z -1)
2) En una distribución N (14, 4), halla las siguientes probabilidades: a) P(x 20) b) P(x 16,5) c) P(x 11) d) P (19 x 23) e) P (11 x < 25)
3) El peso de los adultos de una población sigue una N (65, 12). Se elige al azar una muestra de 100 personas. Calcular la probabilidad de que la media muestral: a) sea mayor de 60 Kg. b) sea mayor de 68 Kg. c) Esté en el intervalo (60, 68)
4) El perímetro torácico de los individuos adultos en una población es N (90, 6) cm.
a) ¿Cómo se distribuyen las medias de las muestras de tamaño 81 extraidas de esa población? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esas medias sean menor que 87 cm? c) ¿Y mayor de 91 cm?
La altura de los mozos llamados al servicio militar sigue una N (174, 10). Elegida una muestra de tamaño 144, calcular: P (173 < <175)
A lo largo de las diferentes pruebas de PAU, se ha observado que la distribución de las notas sigue una N (5,3; 0,8) a) ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un estudiante al azar su nota sea superior a 5,7? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 49 alumnos tenga una media superior a 5,7?
