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228 Unidad 11 | Elementos geométricos
11 Elementos geométricos
- Representa cada una de las siguientes situaciones: a) El punto P está contenido en dos rectas. b) Los puntos A , B y C están alineados. c) El punto M no pertenece a la recta r. d) La recta s contiene al punto C y D pero no contiene al P ni al Q.
- Actividad resuelta
- Copia y dibuja en tu cuaderno una recta paralela a s que pase por P.
- Indica qué rectas del siguiente dibujo son secantes, perpendiculares o paralelas. ¿Cuántos ángulos se forman? Secantes: r y p ; r y s ; r y t ; p y s; p y t Perpendiculares: p y s ; p y t Paralelas: s y t Se forman 20 ángulos.
Elementos geométricos | Unidad 11 229
- Copia y dibuja todas las rectas que pasen al menos por dos de los puntos. ¿Cuántos segmentos se forman? a) b) a) Tres segmentos b) Tres segmentos
- Responde verdadero o falso en tu cuaderno. a) Por dos puntos cualesquiera solo puede pasar una recta. b) Por tres puntos cualesquiera solo puede pasar una recta. c) Por tres puntos cualesquiera pasan como mínimo dos rectas. a) V b) F c) F
- Dibuja un segmento de longitud 5 cm en tu cuaderno y traza su mediatriz.
- Traza las mediatrices de dos segmentos paralelos de la misma longitud.
Elementos geométricos | Unidad 11 231
- Dibuja un ángulo en tu cuaderno de 120° usando el transportador. Traza la bisectriz con regla y compás. Después elige un punto cualquiera que esté en la bisectriz y comprueba que está a la misma distancia de cada uno de los lados del ángulo. La distancia del punto de la bisectriz a los lados del ángulo se debe medir con segmentos perpendiculares a los lados.
- Copia la figura en tu cuaderno y traza las bisectrices de los ángulos A y B. ¿Qué observas? Se observa que son las diagonales del polígono, son perpendiculares y se cortan en el punto medio.
- Utilizando los instrumentos de dibujo, representa en tu cuaderno los siguientes ángulos: recto, llano, nulo, cóncavo y obtuso. Respuesta modelo:
- Dibuja un ángulo de 45° y sus ángulos complementario y suplementario. ¿Cuánto miden? El complementario mide 45º, y el suplementario, 135º.
232 Unidad 11 | Elementos geométricos
- Copia la siguiente figura y nombra todos los ángulos. Indica los pares de ángulos que son opuestos por el vértice y los que son adyacentes. Opuestos por el vértice: A y B C ; y D E ; y F G ; y H I ; y L J ; y K Adyacentes: A y C B ; y D C ; y B A ; y D E ; y G H ; y F E ; y H G ; y F I ; y J K ; y L J ; y L I ; y K
- Copia en tu cuaderno la siguiente trama y colorea dos ángulos alternos internos. ¿Son iguales? Sí son iguales. Cualquiera de ellos es igual a su opuesto por el vértice, que, a su vez, es el mismo ángulo que el otro alterno, puesto que se construye con la misma secante sobre una paralela.
- Copia en tu cuaderno y completa la tabla. Grados Minutos Segundos 25º ●●● ●●● ●●● 3600 ' ●●● ●●● 288 000" Grados Minutos Segundos 25º 1500 ' 90 000'' 60º 3600 ' 216 000'' 80º 4800 ' 288 000"
- Expresa en segundos los ángulos: a) 35° 25' 42" b) 110° 5' 30" a) 127 542 " b) 396 330 "
- Expresa en forma compleja los siguientes ángulos. a) 3330" b) 253 512" a) 55 ' 30 " b) 70º 25' 12 "
- Dibuja dos ángulos que sean al mismo tiempo consecutivos y complementarios. 6 7º y 23º son dos ángulos consecutivos y complementarios.
234 Unidad 11 | Elementos geométricos
- Dos circunferencias tienen radios de 3 y 4 cm, respectivamente. Si sus centros se encuentran a 7 cm, ¿cuál es su posición relativa? Son tangentes.
- Observa la siguiente figura y completa la tabla en tu cuaderno, indicando las posiciones relativas de cada par de rectas: Roja Azul Verde Negra Amarilla Roja ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● Azul ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● Verde ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● Negra (^) ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● Amarilla (^) ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● Roja Azul Verde Negra Amarilla Roja - Secantes Secantes Perpendiculares Perpendiculares Azul Secantes - Secantes Secantes Secantes Verde Secantes Secantes - Secantes Secantes Negra (^) Perpendiculares Secantes Secantes - Paralelas Amarilla (^) Perpendiculares Secantes Secantes Paralelas -
- Dibuja una recta y señala sobre ella tres puntos A , B y C con la condición de que B esté situado entre A y C. a) ¿El punto A pertenece al segmento AC? b) ¿El segmento BC contiene al punto A? c) ¿Pertenece el punto B al segmento AC? d) ¿El punto B está contenido en la semirrecta de origen A y que contiene a C? e) ¿Pertenece el punto A a la semirrecta de origen B y que contiene a C? a) Sí b) No c) Sí d) Sí e) No
Elementos geométricos | Unidad 11 235
- Copia en tu cuaderno estos puntos y dibuja los elementos que se indican. a) El segmento AB y su mediatriz. b) Una semirrecta con origen en C y que pase por D. c) Una recta que pase por D y por B y una paralela a esta última que pase por A.
- Copia el triángulo de la figura y sobre él, dibuja las siguientes rectas con regla y escuadra: a) Una perpendicular a AB que pase por C. b) Una paralela a AC que pasa por B. c) Una paralela a CB que pase por A. d) ¿Dónde se cortan las tres rectas? ¿Qué figura se obtiene? Se cortan en los puntos P , Q y R que forman un triángulo.
- Actividad resuelta
- Dibuja en tu cuaderno, con ayuda del transportador, los siguientes ángulos. a) 48° b) 145° c) 230° d) 300°
Elementos geométricos | Unidad 11 237
- Expresa las siguientes medidas angulares en segundos. a) 24° 42' c) 54° 15' 11" b) 16° 35' 23" d) 120° 30" a) 88 920 " c) 195 311" b) 59 723" d) 432 030"
- Expresa las siguientes amplitudes en forma compleja. a) 936' c) 74 875" b) 145 510" d) 269 550" a) 15º 36' c) 20º 47' 55'' b) 40º 25' 10'' d) 74º 52' 30''
- ¿Cuáles de los siguientes ángulos son iguales? a) 36° 27' c) 35° 87' b) 36° 1620" d) 35° 3623" Son iguales el a, b y c.
- Ordena los siguientes ángulos. 105' 1° 10" 1° 1' 9" Orden de mayor a menor: 105' > 1° 1' 9" > 1° 10"
- ¿Son paralelas las rectas u y v en cada caso? a) A partir de lo que has observado, ¿cuándo dos rectas son paralelas? b) Utiliza el criterio que has establecido para decir si las rectas u y v son paralelas. En el primer caso sí, pero en el segundo no son paralelas, porque la recta secante no forma los mismos ángulos sobre las supuestas rectas paralelas. a) Respuesta modelo: dos rectas son paralelas si al cortarlas con una recta secante los ángulos en la misma posición son iguales. b) El primer caso son paralelas, en el segundo no, ya que 60º y 118º no son suplementarios.
238 Unidad 11 | Elementos geométricos
- Realiza gráficamente en tu cuaderno las siguientes operaciones con los ángulos (^) A B , y C. a) A B b) C B c) 3 C a) b) c)
- Mide cada uno de los ángulos de la actividad anterior con el transportador de ángulos, realiza las ope- raciones numéricamente y comprueba la solución obtenida. a) 45º + 30º = 75º b) 80º – 30º = 50º c) 3 · 80º = 240º
- El ángulo A mide 37° 23' 52". Calcula: a) El ángulo suplementario de A. c) El triple de A. b) La mitad de A. d) El complementario de A. a) 142º 36' 8'' c) 112º 11' 36'' b) 18º 41' 56'' d) 52º 36' 8''
- Realiza las siguientes operaciones. a) 58° 23' 15" + 12° 47' 33" c) (24° 38' 15") ⋅ 2 b) 62° 14' 25" − 55° 45' 18" d) (28° 12' 36") : 3 a) 71º 10' 48" c) 49º 16' 30" b) 6º 29' 7" d) 9º 24' 12"
- Completa las siguientes igualdades. a) 23° 32' 34" + 34° 53' 42" = ● ● ● c) ● ● ● ⋅ 2 = 31° 40' b) 45° 54' 37" − ● ● ● = 31° 35' 10" d) ● ● ● : 3 = 15° 12' 13" a) 58º 26' 16" c) 15º 50' b) 14º 19 ' 27 " d) 45º 36' 39 "
- En el siguiente triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 43° 22'. Si la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, ¿cuánto mide el tercero? Mide 93º 16'.
A B
C
240 Unidad 11 | Elementos geométricos
- Dibuja las mismas circunferencias anteriores, pero esta vez en posición de tangentes exteriores. ¿A qué distancia se encuentran ahora sus centros? Se encuentran a 8 cm.
- Dibuja dos puntos A y B que disten 5 cm. a) Dibuja todos los puntos que estén situados a 3 cm de A. b) Dibuja todos los puntos que estén situados a 3 cm de B. c) Sitúa todos los puntos que están a 3 cm de A y de B simultáneamente. a) Circunferencia de radio 3 cm con centro en A. b) Circunferencia de radio 3 cm con centro en B. c) Los dos puntos de corte entre las dos circunferencias.
- Dibuja tres puntos A , B y C que no estén alineados. a) Traza la mediatriz del segmento AB. ¿Qué se puede decir de todos sus puntos con relación a A y B? b) Traza la mediatriz de BC. ¿Qué se puede decir de todos sus puntos con relación a B y C? c) ¿Qué puedes afirmar del punto de corte de las mediatrices O respecto de A , B y C? d) Dibuja una circunferencia de radio OA y centro O. ¿Tres puntos no alineados siempre están contenidos en una circunferencia? Dibujo libre. a) Están a la misma distancia de A y de B. b) Están a la misma distancia de B y C. c) Está a la misma distancia de A , B y C. d) Sí. Basta calcular el punto de corte de las mediatrices de los segmentos que unen los puntos para tener el centro de la circunferencia.
- Dibuja circunferencias iguales que pasen todas por un mismo punto. ¿Qué figura determinan los centros de esas circunferencias? Determinarán una circunferencia, porque los centros de las circunferencias pintadas estarán a la misma distancia del punto fijado.
Elementos geométricos | Unidad 11 241
- ¿Las rectas secantes son todas perpendiculares? ¿Las rectas perpendiculares son todas secantes? No todas las rectas secantes son perpendiculares, solo las que se cortan formando 4 ángulos rectos. Todas las rectas perpendiculares son secantes.
- Clasifica las siguientes palabras en distintos grupos. Justifica tu respuesta. Recta, perpendicular, agudo, complementario, oblicuo, ángulo, cuerda, obtuso, segmento, recto, suplementario, secante, vertical, paralelo, punto, adyacente, circunferencia, radio, diámetro. Se pueden clasificar en tres categorías, por ejemplo: x Elementos geométricos: recta, punto segmento, etc. x Ángulos: agudo, complementario, recto, etc. x Circunferencia: cuerda, radio, diámetro, etc.
- Copia la siguiente figura en tu cuaderno. a) Señala los ángulos agudos. b) Señala los ángulos rectos. c) Señala ángulos consecutivos. d) Señala ángulos adyacentes. e) Señala ángulos suplementarios. f) ¿Hay ángulos opuestos por el vértice? g) Nombra dos segmentos más pequeños que el lado del cuadrado exterior. h) Nombra un segmento mayor que el lado del cuadrado exterior. i) Indica dos segmentos situados sobre rectas perpendiculares. j) Indica dos segmentos situados sobre rectas paralelas. Sobre la figura, numeramos los ángulos para poder clasificarlos. a) 1, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 19, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 32 y 33 b). 2, 5, 16,18, 26 y 28 c). Respuesta modelo: 1 y 4 d) Respuesta modelo: 30 y 31 e). Respuesta modelo: 23 y 25 f) No hay ángulos opuestos por el vértice. g) AB y CD h) EF i) EA y AF j). AB y CD
Elementos geométricos | Unidad 11 243
- Víctor ha estado enfermo y no ha podido asistir a clase, de manera que ha llamado a su compañero Alejandro para que le explique lo que habían hecho. Esto ha sido lo que le ha contado: “Dibujamos un ángulo AOB. En el lado OA señalamos un punto C y en el lado OB un punto D. Trazamos la recta r perpendicular al lado OA por el punto C , y la recta s perpendicular al lado OB por el punto D. Las rectas r y s se cortan en el punto P .” ¿Qué dibujo reprodujo Víctor? El dibujo que reprodujo Víctor es un cuadrilátero: ODPC.
- Ana y Juan viven separados 4 km. Ambos afirman que viven a 3 km del instituto. Dibuja la situación. El instituto estará situado en un punto de la mediatriz que une la casa de Juan y Ana. Ese punto estará a 3 km de ambas casas y, por tanto, admite dos posiciones.
- ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 5 de la tarde? ¿Formarán el mismo ángulo a otra hora? Forman un ángulo de 150º. Si consideramos el ángulo convexo entre las manecillas, volverán a formar 150º a las 7 en punto. También volverán a formar ese mismo ángulo cada hora, pero no en horas exactas. Por ejemplo, entre las 6.05 y las 6. volverán a formar 150º, pero el momento exacto no es inmediato de calcular, debido a que la manecilla de las horas se mueve cada minuto 1 60 del arco entre el número 6 y el 7.
- Las calles Tales, Eratóstenes y Euler confluyen en la plaza Pitágoras. Las calles Tales y Eratóstenes forman un ángulo de 55° 50' 30", y las calles Tales y Euler forman un ángulo de 270°. ¿Qué ángulo forman las calles Eratóstenes y Euler? 270º – 55º 50’ 30’ = 145º 50’ 30’’
244 Unidad 11 | Elementos geométricos
- Queremos construir una fuente con 4 dragones que sustenten el plato de la fuente. Los 4 dragones deben estar dispuestos a igual distancia. Dibuja la disposición sobre la circunferencia utilizando únicamente regla y compás. ¿Y si fuesen 8 dragones? En el caso de 4 dragones el ángulo central será 90º y en el caso de 8 dragones será 45º. También se puede trazar utilizando la mediatriz de un diámetro, para el caso de 8 dragones, y la bisectriz de los ángulos rectos, para el caso de 8 dragones.
- Un topógrafo pretende medir un terreno con forma de triángulo rectángulo. Para ganar tiempo no quiere medir todos los ángulos y afirma que los ángulos A y B son iguales. ¿Está en lo cierto? ¿Por qué? No está en lo cierto, porque la línea roja no es la bisectriz del ángulo.
- En la figura se puede ver el plano del Palacio de Carlos V en Granada. a) Desde el centro del patio, ¿qué ángulo forman dos columnas consecutivas? b) Desde una de las columnas, ¿qué ángulo forman otras dos columnas consecutivas? a) Hay 32 columnas, por tanto, el ángulo central es 11º 15’. b) La mitad del ángulo central, es decir, 5º 37’ 30’’.
- Problema resuelto
- El patio de una casa tiene planta cuadrada de lado 10 m. Queremos colocar en su interior seis columnas en una disposición circular. ¿Podrías dibujar el plano?
246 Unidad 11 | Elementos geométricos a) ¿Dónde construirán el merendero si sus casas forman un rectángulo? Dibújalo en tu cuaderno. b) ¿Podrán encontrar un lugar equidistante de las cuatro casas independientemente de la situación de estas? c) Copia este dibujo en tu cuaderno e intenta encontrar el lugar que equidista de las cuatro casas. a) Si fuese un rectángulo, tendrían que construir la barbacoa y el merendero en el punto de corte de las diagonales o punto de corte de las mediatrices de los lados. b) y c) Si trazamos una circunferencia que pase por 3 de las casas y la cuarta está en la circunferencia, el centro equidistará de las cuatro. Si no es así, no existe un único punto que equidiste de las 4 casas.
- La figura muestra dos círculos iguales dentro de un rectángulo de 4,5 cm de largo por 2,5 cm de alto. ¿Cuál es la distancia entre los dos centros? A. 2,5 cm B. 3 cm C. 1,5 cm D. 2 cm D. 2 cm. El radio de cada círculo es de 1,25 cm, por lo que entre los dos centros la distancia es: d = 4,5 – (1,25 + 1,25) = 2 cm
- ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos que se indican en la figura? A. 110º B. 116º C. 120º D. 125º D. 125º x + 9º + x + 6º + x + 15º = 360º 3 x + 30º = 360º x = 110º El mayor ángulo mide 110º + 15º = 125º.
- En el dibujo, O es el centro del círculo. ¿Cuánto mide x? A. 30º B. 35º C. 40º D. 125º B. 35º. Si el ángulo inscrito mide 45º, el ángulo central correspondiente mide 90º, por lo que x = 90º – 55º = 35º.
Elementos geométricos | Unidad 11 247
- En la siguiente figura, es la bisectriz del ángulo A y es la bisectriz del ángulo B. ¿Cuánto mide X? A. 45º B. 50º C. 60º D. 65º A. 45º. A mide 180º – 60º = 120º, por lo que la mitad es 60º. B mide 180º – 3 0º = 1 5 0º, por lo que la mitad es 75º. X se calcula a partir del triángulo que forman la bisectriz de A , la bisectriz de B y la horizontal: 1 80º – 60º – 75º = 45º
- Dos amigos mantienen la siguiente discusión. Para Álex el ángulo A de la figura vale 42° por ser corres- pondientes. Para Pablo su valor es 45° por ser el suplementario de 135°. ¿Quién tiene razón y cómo se justifica el error del otro? Pablo tiene la razón. Álex se equivoca porque da por hecho que sean paralelas pero eso es solo un efecto óptico.
PONTE A PRUEBA
Problema resuelto. El helicóptero El agente secreto El agente secreto 008 debe indicar en clave el lugar en el que se encuentra. Para ello cuando llama a la Central de Inteligencia indica el ángulo que forman las agujas de su reloj en ese momento. ¿Dónde se encuentra cuando al llamar dice que forman un ángulo de 120°?
