Centro'de'Estudios'Luis'Vives'
Sol:'91'559'4770'ï'Moncloa:'91'542'5007'
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FÓRMULAS!GEOMETRÍA!
!
• ÁNGULOS!
o Entre!dos!rectas!(que!se!cortan!o!cruzan):!es!el!ángulo!que!forman!
sus!vectores!directores!
!
1. Hallar!el!ángulo!que!forma!la!recta!𝑟:𝑥=𝑦=𝑧!con!la!recta!
𝑠:𝑥+𝑧=1
𝑦=0!
Sol.:&90°&
2. Calcular!el!ángulo!que!forman!las!rectas:!
𝑟:
𝑥−1
2=𝑦−2
1=
𝑧−7
1!𝑦!!𝑠:
𝑥+3
1=𝑦−5
2=
𝑧+1
−1!
Sol.:&60°&
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o Entre!dos!planos:!es!el!ángulo!que!forman!sus!vectores!normales.!
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!
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3. Hallar!el!ángulo!que!forman!los!planos!
𝜋!:𝑥+2𝑦−𝑧=3!𝑦!𝜋!:2𝑥−𝑦+3𝑧=0!
Sol.:&71°&
4. Dados!los!planos!𝛼:3𝑥−2𝑦+5𝑧−2=0!𝑦!𝛽:𝑘𝑥 +7𝑦+
𝑧=0,!hallar!el!valor!de!𝑘!para!que!sean!perpendiculares.!
Sol.:&𝑘=3&
!
o Entre!plano!y!recta:!es!igual!al!ángulo!que!forma!la!recta!𝑟!con!la!
recta!𝑟!,!que!es!la!proyección!de!la!recta!𝑟!sobre!el!plano!𝜋.!
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!
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5. Hallar!el!ángulo!formado!por!el!plano!𝛼:𝑥+2𝑦−𝑧−3=0!
y!la!recta!𝑟:!!!
!
=!!!
!
=!!!
!!
Sol.:&30°&
6. Hallar!el!ángulo!formado!por!el!plano!𝛼:2𝑥+3𝑧=0!y!la!
recta!𝑟:𝑥−2𝑦+3𝑧=0
2𝑥+9𝑦+8=0!
Sol.:&8°&
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cos(𝜋!,𝜋!)=cos(𝑛!
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,𝑛!
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)=
|𝑛
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∙
𝑛
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𝑛!
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!
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|∙|𝑛!
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|!
𝑠𝑒𝑛(𝑟,𝜋)=|cos!(𝑢!
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,𝑛!
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!
!
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)|=
|𝑢
!
!
!
!
!
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∙𝑛
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𝑢!
!
!
!
!
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|∙|𝑛!
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!
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|!
cos(𝑟,𝑠)=cos(𝑢
!
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!,𝑢!
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!
!
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)=
|𝑢
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!
∙𝑢
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𝑢!
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|∙|𝑢!
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