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R E S O L U C I Ó N
a) La matriz A tiene inversa si su determinante es distinto de cero, luego:
2
A m m m m m m
Por lo tanto, la matriz A tendrá inversa para todos los valores de m 1 y m 3.
b) Calculamos la matriz inversa de A.
1
t
Ad^ t A A
^
Resolvemos la ecuación matricial y calculamos la matriz X.
1
XA B t^ C X C B t A
^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
Sean las matrices
A m m
^
B
^
y^5 3 3 2 2
C ^
^
a) Indica los valores de m para los que A es invertible.
b) Resuelve la ecuación XA B t C para m 0. ( Bt es la matriz traspuesta de B)
MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a)
2
A A
^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^
b) De la igualdad del apartado a se deduce que:
2 A A^2 I A (^) 2 I A I A ^1 2 I A
Luego:^1
A
^ ^
^ ^ ^ ^ ^
Sea la matriz
A
^
^
a) Comprueba que se verifica 2 A A^2 I b) Calcula A ^1. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Para que el rango ( A ) = rango ( B ) = 2, sus determinantes deben valer cero, luego:
1 1 1 0 0 1 1
a b b a c b a c c
a b c a b c
Resolviendo el sistema, tenemos que:
a c (^) c a c b c c a b c
^ ^ ^
Luego, el vector que nos piden es , , 2 v ^ ^ c c c (^) , siendo c cualquier número distinto de cero.
Obtén un vector no nulo v ( , a b c , ), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. 1 1 1 0 1 1
a A b c
^
a B b c
^
MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) det ( 3 A t^ ) ( 3) 2 det( A t ) 9 det( A ) 9 4 36
2 2 det 2 ( 3) det 6 ( 1) det 6 4 24 3 3
b a b a a b d c d c c d
Si en un determinante cambiamos dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Si en un determinante hay un número que multiplica a una fila o columna, dicho numero sale fuera multiplicando al determinante.
b)det ( 1 ) det( 1 ) det( ) 1 det( ) 1 det( ) A A t^ A A t A A
c)det ( B^3 ) det( B B B ) det( B ) det( B ) det( B ) (^) det( B ) (^) 3 1 det( B ) 31 1
De la matriz A a^ b c d
^ ^
se sabe que det ( A ) 4. Se pide:
a) Halla det ( 3 At )y
det 3 3
b a d c
. Indica las propiedades que utilizas.
b) Calcula det ( A ^^1 At ) c) Si B es una matriz cuadrada tal que B^3 I , siendo I la matriz identidad, halla det ( B ). MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
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a) Calculamos la matriz A^2 3 A :
2 1 0 1 0 1 0 2 5 4 0 3 3 (^1 1 1 1 1 1 3 )
A A
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
Calculamos el determinante de dicha matriz
2 2 5 4 0 2 3 2 10 8 0 1 ; 4 3 2
A A ^ ^
Luego, la matriz A^2 3 A no tiene inversa para 1 y 4 , ya que su determinante vale cero.
b) Resolvemos la ecuación matricial.
1 1 0 1 0 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 1 3 1 3
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
a a b a b b c d a c b d a c b d Resolviendo el sistema, tenemos que la matriz que nos piden es:
^ ^
X
Dada la matriz
A
a) Calcula los valores de para los que la matriz A^2 3 A no tiene inversa. b) Para (^) 0 , halla la matriz X que verifica la ecuación A X A 2 I , siendo I la matriz identidad de orden 2. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
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a)^3 1 1 1 2 2 2 8
A A A A A A A
b) Sabemos que: A A^1 I A A^1 A A^1 I 1 A^1 A ^ ^ ^ ; luego en nuestro caso
será:^1 1 11 2
A
A
c) Si An es una matriz cuadrada de orden n , sabemos que se cumple que k A k n A ; en nuestro caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 2 ( 2)^3 ( 8) 1 4 2
A A
d)^1 ( 2) 1 2 A B t^ A B t A B
e) Como B^ ^2 ^0 , el rango de B es 3.
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son^1 2
(^) A y B 2.
Halla: a) A^3
b) A ^1
c) 2 A
d) ABt , siendo Bt la matriz traspuesta de B****. e) El rango de B****. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A.
A 2 1 0 No hay ningún valor real de para el cual el determinante valga cero,
luego, siempre tiene inversa
b) Calculamos la matriz X :
A ^1 X A B A A ^1 X A A ^1 A B A ^1 X A B A ^1
Calculamos la inversa de A:
1
( )^0 1 1 0 1
t
Ad^ t A A
1
X A B A
^
^ ^ ^ ^
^ ^
Considera las matrices
A
^
^
y
B
^
a) ¿Hay algún valor de para el que A no tiene inversa?. b) Para 1 , resuelve la ecuación matricial A ^1^ X A B MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Resolvemos el sistema: 4 2 (^3 2 6 6 3 ) 2 ; 2 4 2 4 1 2 1 2
A B
A A
A B
^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
Sustituyendo, tenemos:
B
Calculamos:
A B A B ^ ^ ^ ^
A ^ ^ ^
B ^ ^ ^ ^ ^ ^
A B ^ ^ ^ ^ ^ ^
b) Resolvemos la ecuación matricial: XA XB ( A B ) t^ 2 I X A ( B ) ( A B ) t 2 I
2 4 4 3 2 0 2 4 2 6 3 1 2 2 2 0 2 2 4 2 2 4 2 6 (^4 2 3 15 ) ; ; 1 ; 0 (^2 2 8 ) 4 2 4
a b a b a b c d c d c d a b a b a b c d c d c d
^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^
Luego, la matriz que nos piden es:
X
^
Sean A y B dos matrices que verifican: 4 2 3 2
A B ^
y^2 1 2
A B ^
a) Halla las matrices ( A B )( A B ) y A^2 B^2 b) Resuelve la ecuación matricial XA XB ( A B ) t 2 I , siendo I la matriz unidad de orden 2 y ( A B ) t la matriz traspuesta de A B MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
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a)^2
A
^ ^
^ ^
A A I
^
^
Es cierto.
Multiplicamos la igualdad anterior por (^) A ^1 a la izquierda:
A^2 2 A I A ^1 A A 2 A ^1 A A ^1 I A 2 I A ^1 Es cierto
b) Vamos a resolver la ecuación matricial A^2 XA 5 A 4 I :
Multiplicamos por (^) A ^1 a la derecha.
A^2 XA 5 A 4 I A A A ^1 X A A ^1 5 A A ^1 4 I A ^1 A X 5 I 4 A ^1 X 4 A ^1 A 5 I
Sustituimos A ^1 A 2 I
X A ^ A I A I A I A I
^ ^ ^ ^
Dada la matriz^1 2 1
A
a) Demuestra que A^2 2 A I y que A ^^1 A 2 I , siendo I la matriz identidad de orden 2. b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: A^2 XA 5 A 4 I MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A y los igualamos a cero:
3
A
Calculamos el rango de A para los distintos valores:
R( A ) 1 1 (^22) 1 y (^23)
b) Calculamos la matriz inversa de A para 2.
1
( )^1 1 3 1 1
t
Ad^ t A A
^
^ ^ ^
Resolvemos la ecuación matricial.
1
A X B X A B
^ ^ ^
Dadas las matrices
^
^
A y
^
B
a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores . b) Para (^) 2 , resuelve la ecuación matricial A X B****. MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
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a) Calculamos el determinante de A.
2 1 0 1 2
A k k
Luego, la matriz A no tiene inversa para^1 2 k , ya que su determinante vale cero.
b) Calculamos la matriz inversa de A para k 0.
1
t
Ad^ t A A
^
^ ^ ^
Resolvemos la ecuación matricial:
( X I ) A A t^ X A I A A t^ X A A t I A
Si multiplicamos por A ^1 a la derecha, tenemos:
X A A t^ I A X A A ^1 A t^ A ^1 I A A ^1 X A t A ^1 I
Calculamos la matriz que nos piden:
1
X A t A I
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Sea la matriz
A
k
^
a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A ?. Justifica la respuesta. b) Para k 0 , resuelve la ecuación matricial ( X I ) A At , donde I denota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A****. MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
A X B C t^ A ^1 A X B B ^1 A ^1 C t^ B ^1 X A ^1 C t B ^1 Calculamos la matriz inversa de A
1
t
Ad^ t A A
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
Calculamos la matriz inversa de B
1
t Bd^ t B B
^
^ ^ ^
^
Calculamos la matriz X
1 1
X A ^ C t B
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
Considera las matrices: 1 2 0 0 1 2 1 2 1
^
A^0
^ ^
B^1 2
^
C
Determina, si existe, la matriz X que verifica: A X B Ct , siendo Ct la matriz traspuesta de C****. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la matriz
A Tiene inversa
Sabemos que:^13 1 13
A B
A B A B B
A
Tiene inversa
b) Si multiplicamos por A a la izquierda, tenemos:
1 1 2 1 3 2 2 1 3 6 7 3 5 1 7 3 43 8
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A X B BA A A X A B ABA X ABA AB
Dada la matriz^3 5 1
A
, sea B la matriz que verifica^2 7 3
AB
a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) Resuelve la ecuación matricial A ^^1 X B BA****. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de la matriz M :
2
M m m m m m m
Para todos los valores de m 0 y 1 , el determinante es distinto de cero y los vectores son linealmente independientes. b) Calculamos el rango de M según los valores de m. Rango(M) m (^02) m (^12) m 0 y (^13)
c) Calculamos la inversa de M para m^ ^1 :
1
t
Md^ t M M
^
^ ^ ^ ^ ^ ^
Sea
M m m
^
a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) Estudia el rango de M según los valores de m****. c) Para m 1 , calcula la inversa de M****. MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
