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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Matemática III
Ciclo: I / 2021
GUIA DE DISCUSION 1: MATRICES Y DETERMINANTES
I. SUMA Y RESTA DE MATRICES
- Sean:
2 3
0 4
A
5 2
2 1
B
0 1 2
3 0 4
C
1 2 4
1 5 3
D
^
Calcular:
a) A+B
R/
b) B+A
R/
2 5
3 1
c) C+D
R/
d) D+C
R/
e) C-D R/
F) D-C
R/
- Una empresa constructora tiene cuatro trabajadores (A, B, C y D) laborando por
obra, los cuales construyen polines de un mismo tamaño, pegan ladrillos y pintan
paredes. Se tiene la siguiente información:
LUNES MARTES MIERCOLES
P M N P M N P M N
A 3 4 7 A 2 5 9 A 4 2 5
B 2 5 9 B 3 4 7 B 2 7 7
C 2 6 8 C 3 5 6 C 3 5 9
D 3 5 9 D 2 6 8 D 3 6 9
Donde:
P: Es el número de polines hechos en el día por el trabajador.
M: Es el número de metros cuadrados de pared construida con dichos ladrillos.
N: Es el número de metros cuadrados de pared pintada.
Determinar para cada trabajador (en la jornada de lunes a miércoles) el total de:
polines hechos, metros cuadrados de pared construida y metros cuadrados de pared
pintada.
R/
9 11 21
7 16 23
8 16 23
8 17 26
2
16
2
A: 9 polines, 11m 2 de pared construida y 21m 2 pintada.
B: 7 polines, 16m 2 de pared construida y 23m 2 pintada.
C: 8 polines, 16m 2 de pared construida y 23m 2 pintada.
D: 8 polines, 17m 2 de pared construida y 26m 2 pintada.
II. PRODUCTO DE MATRICES
- Calcular AB y BA si es posible.
a) A =
3 7
2 1 , B =
R/
1 3
24 13
b) A =
B =
R/ AB no es posible;
c) A =
3 2 1
2 4 2
3 1 1 B =
3
2
1 (^) R/ ; BA no es posible.
- Una compañía vende madera para dos tipos de cabaña, uno austero y otro de lujo. El
modelo austero requiere 30,000 pies de tablas y 100 horas para cortarla y el de lujo
40,000 pies de tablas y 110 horas para cortarla. Este año, la compañía compra su
madera a $0.20/pie y paga por cortarla $9/hora; pero el próximo año la comprará a
$0.25/pie y pagará $10/hora por cortarla. Esta información puede exponerse en la
siguiente tabla:
REQUERIMIENTOS COSTO UNITARIO
Madera Trabajo Este Año Próximo Año
Austero 30,000 100 Madera 0.20 0.
De Lujo 40,000 110 Trabajo 9 10
a) Represente en forma matricial los requerimientos y el costo unitario
b) Calcular el costo total de las cabañas austeras y de lujo para este año y el siguiente.
R/ Este año: $ 6,900 las austeras; $ 8,990 las de lujo.
Año próximo: $ 8,500 las austeras; $ 11, 100 las de lujo.
- Calcular la matriz K de manera que:
1 0 0 1 0 0 1 2 3
0 2 0 0 0 1 4 5 5
0 0 3 0 1 0 3 2 1
K
(^)
R/
1 3 2
2 5 / 2 5 / 2 1 1/ 3 2 / 3
IV. PROBLEMAS DIVERSOS
- Si:
A =
B =
C^ =
Calcular A ( B + C ) y AB + AC
R/ A ( B+C ) = AB + AC =
^
- Determinar A 2 , sabiendo que A =
6 2 1
2 5 3
4 1 3 R/
34 6 25
36 29 24
32 3 12
- Efectuar las operaciones indicadas a continuación:
a)
4 R/
b)
R/
- Si A( t ) = ( a ij ( t )) es una matriz de orden m x n cuyos elementos son funciones
diferenciables en un intervalo común, entonces su derivada se define así:
dA d
dt dt
ij
a
Es decir, para derivar una matriz, solo se derivan sus elementos.
Usando la definición anterior calcular
dA
dt
a) A =
2
2
t
t
lnt
e
e
e
R /
2
2
t
t
e
e
t
b)A =
t t e e
^ ^ ^
R/
2 3
2 3
4 24
4 12
t t
t t
e e
e e
(^)
- Sean A y B dos matrices tal que el producto AB y BA existe, ¿es correcto afirmar que en
general se cumple que (^2 2 ) (^) A+B A 2AB+B, (^2 2 ) (^) A-B A 2AB+B y 2 2 (^) A+B A-B A -B?. Justifique su
respuesta.
- Si
2 2 A= 1 1
y
1 2 B= 1 2
calcular AB y BA.
V. MATRIZ INVERSA
Comprobar que cada pareja de matrices son inversas entre sí.
1 ) A =
3 4
1 2 B =
2) C =
, D =
1 0 0 1
2 1 0 1
0 2 1 1
0 1 0 0
E
^ (^)
1 1 0 1
0 0 0 1
2 1 1 1
2 1 0 1
F
^ (^)
VI. DETERMINANTES
En los ejercicios del 1 al 15 evaluar los determinantes dados:
R/ 23
R/ 4
3 4
2 3 3
R/ 4 2 9 3
1 2 1 5
1 5 1 2
R/ 3
5 1 8
15 3 6
10 4 2
R/ 180
4 96 85
0 1 7
0 0 6
R/ 24
16 22 4
4 3 2
12 25 2
R/ 0
CosX SenX
SenX CosX
R/ 1
1 10 12
0 1 4
2 4 1
R/ 39
5 1 0
0 5 9
5 1 0
A
(^)
R/ k = 0, k = 4, k = - 4
0 4 0 1 4 0
0 0 2
A
(^)
R/ k = - 2
Si y 1 (x), y 2 (x), ..., yn (x) tienen al menos (n-1) derivadas, el Wroskiano de y 1 , y 2 , ..., yn,
denotado por W ( y 1 , y 2 , ..., yn), se define así:
(n-1) n
(n-1) 2
(n-1) 1
' n
' 2
' 1
1 2 n
1 2 n
y y ....y
y y ....y
y y ....y
W (y ,y ,...,y )
En los ejercicios del 2 7 al 30 calcular el Wronskiano de:
- y 1 = e
y 1 = e x , y 2 = e 2x , y 3 =e 3x R/ 2e 6x
y 1 = Sen 2 x, y 2 = 1-Cos (2x) R/ 0
y 1 = e x Cos (3x), y 2 = e x Sen(3x) R/ 3e 2x
Dibuje el triángulo de acuerdo con los vértices
a b 1 ,^1^ 1,3 ;^ a 2^ ,^ b 2^ ^ 2,9^ ^ a 3^ ,^ b 3 ^ 5,^ ^6 ^ y^ luego^ calcule^ su^ área^ usando el
determinante:
1 1
2 2
3 3
a b
A a b
a b
, donde el signo se escoge de tal manera que el
área sea positiva.
VII. REGLA DE CRAMER
Utilizando la regla de Cramer resolver los sistemas siguientes:
- x + y – 2z = 14
2x - y + z = 0
6x + 3y +4z = 1
R/ x = 3, y = 1, z = - 5
- 2x + y + z = 4
10x - 2y + 2z = - 1
6x - 2y + 4z = 8
R/ x = - 1/2, y = 3/2, z = 7/
R/ (x, y, z) = (-25/3, - 34/3, 7/3)
R/ (x, y, z) = (-27/2, - 23, 39/2)
VIII. METODO DE GAUSS
2x - 7 - y = - 2z
- 2x + 2y + 3z = - x - y = - y + 4z = - - 4. x + 2y + 3z = - - - 2x + y = - 3x - y + z =
- 4x – y + 2z = Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el método de Gauss. - - 3x + y – 4z = - - x + 4z = - R/ x = 1 , y = 2 , z = - 2. 2x + 3y + 4z = - - 4y - x - 6z = - 3x - 2y + 2z = - R/ x = 4/3, y = - 2/3, z = - 5/
- x + 2 y – z =
- 3x - 5 y + 2z = - - 2x + 6y + 3z = - - R/ x = 5, y = - 2 , z = - 4. x + y + z = - R/ x = 2/3, y = - 7/3, z = 5/ 2y + 7z - 5 = 3x
- w – x – 2y =
- 2w – x + y =
- 2w – 3x – y = - R/ w = x = y = - 6. w + x + y – z = - 2w – 3x - y + 2z = - - w + x + 2y = - w + 3z – 9 = - R/ w = 0, x = 1, y = 2, z =
- 3x + 2y + z – 10w = - 2x – 3y – z – 2w = - 5 x - y – 2z +4w = - 8. x + 2y + 2z – 10w = R/ (x, y, z, w)=(2c, - 2c, 8c, c) c Є R - 6x + 5y – 2z – 4w = - 2x - y + 16z – 2w =
- 2x-3y+4z = R/ x = - 4c, y = 6c, z = c, w = c, c Є R - x - y - z = - 10. 3x + 2y - z = R/ (x, y,z ) = (14 + 7t , 9+6t , t ) t Є R - x - 4y+ 2z =
- 2x + 3y = 5
x - 3y = 4
x + y = - 2
- 2x – y + 4z = 0
Problemas de aplicación (Resolver mediante Gauss o Crammer).
Nota: en cada problema definir las variable a utilizar
- Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
P 1 (^) (2,1), P 2 (^) ( 1, 4) y P 3 (3, 0).
(sugerencia: una ecuación de la circunferencia tiene la forma 2 2 x y Ax By C 0 )
- Si
3
f ( ) x ax bx c , determine a , b y c tales que la gráfica de f pase por los
puntos P 1 (^) ( 3, 12), P 2 ( 1, 22) y P 3 (2,13)
3) Determine a^ , b y c tales que la gráfica de la ecuación
2 ^ y^ ^ ax^ ^ bx^ c pase
por los puntos P 1 (^) (3, 1), P 2 (1, 7)y P 3 (^) ( 2,14)
- Si
4 2 x ax bx c 0 , tiene raíces x 1, 2 y 3. Calcular a b c , , y la cuarta raíz de la
ecuación.
5 ) Un número de tres dígitos, la cifra de las decenas es menor en uno que la de las
centenas y la suma de las tres cifras es 19. Si al intercambiar la cifra de las centenas
con la de las unidades, el número se incrementa en 198, ¿Cuál es el número?
R/
- Un tanque se puede llenar mediante tres tubos A, B, C. El tubo A solo la llena en 8
horas. Si los tubos A y C se usan juntos, bastan 6 horas; en cambio, los tubos B y C
requerirían 10 horas. ¿Cuánto tarda en llenarse el tanque si se usan los tres tubos?
7 ) R.S.C.L.S y asociados fabrica tres tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope y
Cicloide. Para armar un Ciclón se necesita 10 horas, otras 2 para probar sus
componentes y 2 horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para
Cíclope es de 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para
instalarla. La Cicloide, la mas sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.
horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de
1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 para
instalar, ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? R/ 60 Ciclones,
40 Cíclopes y 80 Cicloides
8 ) Un padre desea distribuir sus bienes raíces, cuyo valor es de $234,000, entre sus
cuatro hijas de la manera siguiente:
de las propiedades deben de dividirse por
igual entre las hijas. Para el resto, cada hija debe de recibir $3000 cada año hasta
su vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan tres años, ¿cuántos
recibiría cada una de los bienes de su padre? ¿Qué edad tienen ahora esas
hijas? R/ La hija menor recibirá $72,000, la siguiente $ 63,000, la siguiente
$54,000 y la mayor $45,000. Actualmente la hija mayor tiene 19 años, la
segunda 16, la tercera 13 y los últimos 10 años.
- Un Ing. químico tiene 3 soluciones que contienen un 10%, 30% y 50%,
respectivamente, de cierto acido; desea mezclar las tres soluciones, usando el doble
de la solución al 50% respecto a la del 30%, para obtener 50 litros de una solución que
contenga un 32% del acido. ¿Cuántos litros de cada solución deberá usar?
R/ 17 litros de 10%, 11 litros de 30%, 22 litros de 50%
- Una compañía tiene tres maquinas A , B y C que producen cierto articulo. Sin
embargo, debido a la falta de operarios capacitados, solamente se pueden operar dos
de las maquinas simultáneamente. La siguiente tabla muestra la producción en periodos
de 3 días, usando las diversas combinaciones de dos máquinas.
MÁQUINAS
UTILIZADAS
HORAS DE
USO
ARTÍCULOS
PRODUCIDOS
A y B 6 4500
A y C 8 3600
B y C 7 4900
¿Cuánto tiempo le tomaría a cada máquina, si se usara sola, producir 1000
artículos?
R/ 4 horas para A , 2 horas para B , 5 horas para C
- Un comerciante desea mezclar dos calidades de cacahuates que cuestan $3 y $
por libra, respectivamente, con nueces de la India que cuestan $8 por libra, con el
objeto de tener 140 libras de una mezcla que cuesta $6 por libra. Si el comerciante
también desea que la cantidad de cacahuates de menor precio sea el doble de la de
cacahuates de mejor calidad, ¿Cuántas libras de cada variedad ha de mezclar?
- Una población estable de 35000 aves vive en tres islas; cada año 10% de la
población de la isla A emigra a la isla B; 20% de la población B emigra a la isla C y 5%
de la población C emigran a la A. ¿Calcule el numero de pájaros que viven en cada isla
si la población de cada una no varía de un año a otro?
R/ 10000 A ; 5000 B ; 20000 C
