¡Descarga ejercicios optimización y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Matemàtiques CCSS - 2n Batxillerat
Teoria i exercicis solucionats amb vídeos
Instagram: @matesambogdan
Recull d’exercicis i explicacions teòriques del tema Optimització A cada exercici podeu trobar l’enllaç del vídeo
1. Considera el recinte limitat per la corba = ^2 i la recta = 3. Entre els rectangles situats com el de la figura, determina el Rectangle que té àrea màxima.
Solució:
2. (Juny 2021 - Sèrie 2) Una fàbrica estima que el benefici mensual, en milers d’euros, per cada tona de confeti venuda és donat per la funció:
− 0 2 ^2 + 5 − 20
en què representa el nombre de confeti venudes.
a ) Determineu en quin interval de valors s’ha de trobar la variable x perquè la fàbrica no tingui pèrdues. b ) Calculeu la quantitat de tones de confeti que proporciona el benefici màxim i digueu quin és aquest benefici.
Solució:
3. (Juny 2021 - Sèrie 2) Un granger vol construir un corral rectangular per als seus conills. Sabem que només disposa de 40 m lineals de tanca metàl · lica.
a ) Anomenem l’amplària del corral i la seva llargària. Escriviu la funció que permet calcular l’àrea del corral tenint en compte només l’amplària . b ) Calculeu en quin punt assoleix el seu màxim la funció que heu trobat a l’apartat anterior. Deduïu quina ha de ser l’amplària i quina la llargària perquè el corral tingui l’àrea màxima. Quina serà aquesta àrea màxima?
Solució:
4. (Juny 2021 - Sèrie 5) Suposeu que la temperatura de l’aigua del mar en una zona concreta
és donada per la funció ( ) =
^2 + 5 + 4
^2 + 4
, en què representa la fondària en metres negatius (per exemple, ( − 5) representa el valor de la temperatura de l’aigua en graus Celsius a 5 metres de profunditat).
a ) Quina és la temperatura de l’aigua a la superfície? A quines profunditats la tempera- tura és de zero graus? Cap a quin valor tendeix la temperatura quan baixem a molta profunditat? b ) Calculeu a quina fondària la temperatura és més baixa i quin és el valor d’aquesta temperatura mínima.
Solució:
5. (Juny 2020 - Sèrie 1) L’1 de gener de 2019 va sortir al mercat un nou model d’un producte tècnic d’esquí. La funció de tercer grau ( ) = 10 ^3 ˘210 ^2 +1470 ens dona el nombre total d’unitats venudes, en què denota el nombre de mesos transcorreguts, des del llançament del producte, durant el primer any (és a dir, ∈ [1 12]).
a ) Quantes unitats s’havien venut al cap de 3 mesos? Quantes se’n van vendre al cap d’un any? Determineu la taxa de variació mitjana entre els mesos 3 i 12. b ) Comproveu que la funció és creixent en l’interval [0 12] i trobeu en quin instant el creixement ha estat més lent.
Solució:
6. (Juny 2020 - Sèrie 1) El benefici d’una empresa, expressat en milions d’euros, és donat per la funció següent, en què indica el nombre d’anys que han passat des del moment que va començar a funcionar:
B ( ) =
^2 + 9
a ) Quin és el benefici en el moment en què l’empresa comença a funcionar? En quin moment l’empresa passa de tenir beneficis a tenir pèrdues? b ) En quin moment aconsegueix l’empresa el benefici màxim? Quin és aquest benefici màxim?
Solució:
7. (Juny 2020 - Sèrie 1) El cost d’elaboració d’un menú en un restaurant és de 8 euros. S’ha realitzat un estudi de mercat i s’ha arribat a la conclusió que si el preu del menú és de 18 euros entren a dinar al restaurant 120 clients. També s’ha conclòs que la relació entre el preu del menú i el nombre de clients és lineal, de manera que, per cada euro que augmentem el preu del menú, disminueix en 4 el nombre de clients. I a l’inrevés, per cada euro que disminuïm el preu, augmenta en 4 el nombre de clients.
a ) Obteniu la funció que expressa el benefici del restaurant en funció del nombre d’euros en què augmentem o disminuïm el preu inicial del menú. b ) Trobeu en quants euros cal augmentar o disminuir el preu inicial del menú per tal que el restaurant obtingui el màxim benefici. Quin seria el preu final del menú i quin seria el benefici obtingut amb aquest preu?
Solució:
12. (Setembre 2019 - Sèrie 5) Es preveu un canvi important en la població d’una determinada zona per qüestions mediambientals. El nombre d’habitants de la zona, en milions, vindrà donat per la funció:
P ( ) =
^2 + 28
en què mesura el temps en anys des del moment actual ( = 0).
a ) Digueu quin és el nombre d’habitants de la zona actualment i quin serà aquest nombre a molt llarg termini. b ) En quin moment s’arribarà al nombre mínim d’habitants? Quants habitants hi haurà en aquell moment? Quin és el nombre màxim d’habitants que s’assoleix en aquesta zona?
Solució:
13. (Juny 2018 - Sèrie 1) Una companyia de mòbils va presentar fa un any un telèfon in- tel · ligent al preu de 750 euros. Recentment, un estudi de mercat ha arribat a la conclusió que, amb aquest preu, compren el telèfon 2.000 clients al mes, i que la relació entre aques- tes dues variables és lineal, de manera que per cada 10 euros que s’incrementa el preu del mòbil, el compren 100 clients menys, i a l’inrevés: per cada 10 euros de descompte sobre el preu inicial de 750 euros, el compren 100 clients més.
a ) Deduïu que la funció que determina els ingressos mensuals de la companyia segons el preu del mòbil és: I ( ) − 10 ^2 + 9500 b ) Trobeu quin ha de ser el preu del mòbil per a obtenir ingressos, el preu del mòbil que dona els ingressos mensuals més elevats i el valor d’aquests ingressos màxims.
Solució:
14. (Setembre 2018 - Sèrie 3) La despesa mensual en tabac d’un fumador ve determinada
pel seu salari mitjançant la funció ( ) =
^2 + 4
, en què x representa el salari en milers d’euros i ( ) la despesa mensual en tabac en euros.
a ) Determineu el salari per al qual la despesa en tabac és màxima. A quant ascendeix aquesta despesa? b ) Per a quins salaris la despesa mensual és inferior a 60 euros?
Solució:
15. (Juny 2017 - Sèrie 1) Des d’una barca es dispara una bengala de salvament marítim que s’apaga al cap de 4 minuts. En aquest interval de temps, es comprova que la intensitat lumínica de la bengala en funció del temps, mesurada en percentatges del 0 % al 100 %, queda perfectament descrita per l’expressió L ( ) = 25 · · (4˘ ), en què el temps t varia entre 0 i 4 minuts.
a ) Calculeu per a quin valor de t el percentatge d’intensitat lumínica serà màxim. b ) Si des de la costa la bengala només és visible quan la seva intensitat lumínica és superior al 75 %, quin és l’interval de temps en què serà visible des de la costa i, per tant, serà més factible el salvament?
Solució:
16. (Juny 2017 - Sèrie 5) Les pèrdues o els beneficis d’una empresa vénen donats per la funció
( ) =
, en què ( ) s’expressa en centenars de milers d’euros, un cop transcorreguts anys des de l’inici del 2010.
a ) Feu un esbós de la gràfica de la funció ( ) per a > 0 , calculant els intervals de creixement, els talls amb els eixos i les asímptotes. b ) A l’inici de l’any 2010, quants euros perdia o guanyava l’empresa? Quins anys va tenir pèrdues l’empresa i a partir de quin any en va deixar de tenir? c ) A partir de quin any els guanys de l’empresa van ser més grans o iguals a un centenar de milers d’euros? Es poden superar els tres centenars de milers d’euros de beneficis? Raoneu les respostes.
Solució:
17. (Juny 2017 - Sèrie 5) El preu en euros d’una pedra preciosa és cinc vegades el quadrat del seu pes en grams. Si tenim una pedra preciosa de 8 grams i ens plantegem partir-la en dos trossos:
a ) Quin pes ha de tenir cadascun dels trossos perquè el conjunt valgui el mínim possible? b ) Quin és el preu mínim i el preu màxim que pot valer aquest conjunt?
Solució:
18. (Juny 2016 - Sèrie 3) Una fàbrica de mobles de cuina ven 1.000 unitats mensuals d’un model d’armari a 200 euros per unitat. Per tal de reduir-ne l’estoc, fa una oferta als compradors i estima que, per cada euro de reducció del preu, les vendes mensuals del producte s’incrementaran en 100 unitats
a ) Quantes unitats caldrà vendre per a obtenir el màxim d’ingressos mensuals? b ) A quant pujaran aquests ingressos?
Solució:
19. (Setembre 2016 - Sèrie 1) Una empresa ven un producte a un preu de p euros. El nombre d’unitats venudes depèn del preu que fixem segons la funció:
V ( ) =
a ) Demostreu que, en augmentar els preus, les vendes disminueixen. b ) És possible que l’empresa vengui 20 unitats del producte? Si el preu augmenta indefinidament, què passarà amb les vendes?
Solució:
20. (Juny 2015 - Sèrie 2) Un arbre té un volum de 30 ^3 i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 euros per metre cúbic. Cada any l’arbre augmenta el volum en 5 ^3. Alhora, la qualitat de la fusta de l’arbre disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més barat. D’aquí a quants anys aconseguirem el màxim d’ingressos per la venda de la fusta de l’arbre? Quins seran aquests ingressos?
Solució:
