Derivada de la función inversa y derivadas de orden superior, Ejercicios de Matemáticas

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN

INVERSA Y

DE ORDEN SUPERIOR

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante

reconoce la derivación de la función inversa y generaliza

el concepto de derivada al orden superior.

Derivada de la función inversa

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

TEOREMA :

Si y= f(x) es una función continua y creciente o

decreciente en cierto entorno de un punto x

0

del dominio de f , tal que en dicho punto,

existe la derivada f’(x)  0. Entonces la función

x= f

- 1

(y) tiene derivada en el punto y 0 =f(x 0 ) y

además:

EJEMPLO: DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea 𝑓 𝑥 =

𝑥+ 1 𝑥− 2

, determinar el valor de:

a) 𝑓

− 1

𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 b) 𝑓

− 1 ′

3 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 3𝑥 − 6 = 𝑥 + 1 2𝑥 = 7 𝑥 = 7 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 − 1 3 = 7 2 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 − 2 − (𝑥 + 1 ) 𝑥 − 2 2 = − 3 𝑥 − 2 2 𝑓 − 1 ′ 3 = 𝑓 − 1 ′ 3 = 𝑓 7 2 = 1 𝑓′ 7 2 𝑓 − 1 ′ 3 = 1 − 3 7 2 − 2 2 = − 3 4 Luego, determinamos el valor de la derivada de la función inversa a partir de la derivada de la función 𝑓 mediante: 𝑓 − 1 ′ 𝑓 𝑥 0 = 1 𝑓′ 𝑥 0

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

1. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 , determinar el valor de:

a) 𝑓

− 1

(𝑥) para x=5 b) [𝑓

− 1

]′(𝑥) para x=

− 1

− 1 ′

− 1 ′

= 1 𝑓′ 29 = 1 1 2 29 − 4

′

− 1 ′

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

4. Determine y’’ en: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(cos 4 𝑥

2

Solución : Derivamos 𝑦 ′ = 1 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ( 4 𝑥 2 )

. −𝑠𝑒𝑛( 4 𝑥 2 ). 8𝑥 𝑦 ′ = −8𝑥. 𝑠𝑒𝑛( 4 𝑥 2 ) 𝑠𝑒𝑛( 4 𝑥 2 ) = −8𝑥 𝑦 ′ = −8𝑥 𝑦 ′′ = − 8 Derivamos y’:

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

8. Dada la función 𝑦 = cos(ln 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑥. Simplificar : 𝐹 𝑥 = 𝑦 ′′ + 3 𝑦 ′ − 3𝑠𝑒𝑛 ln 𝑥. Hallar F(1) 𝑦 ′ = −𝑠𝑒𝑛 ln 𝑥. 1 𝑥

• 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑥. 𝜋 2 𝑥

′′

2

cos ln 𝑥

2

𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥)

2 𝐹 1 = 𝜋 16 − 1 − 3 𝜋 2 − 3 0 = − 23 𝜋 16 − 1 𝑦 ′ 1 = − 𝜋 2 𝑦 ′′ 1 = 𝜋 16 − 1

Datos/Observaciones

FINALMENTE

IMPORTANTE

1. La derivada de la función inversa f—^1 se calcula como la inversa de la derivada de f.
2. La n-ésima derivada de f , consite en derivar sucesivamente n veces. Gracias por tu participación Hemos visto la importancia de la derivada de una función inversa y derivadas de orden superior. Ésta sesión quedará grabada PARA TI
3. Revisa los ejercicios indicados y realiza la Tarea de ésta sesión.
4. Consulta en el FORO tus dudas.

EJERCICIO RETO

Verifique que la función 𝑦 = 1 + ln 𝑥 𝑥

2

, satisface la

ecuación diferencial :

2

′′

′

EJERCICIOS DE REPASO

1. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 − 4 𝑥+ 16 , determinar el valor de: a) 𝑓 − 1 (𝑥) para 𝑥 = 5 b) 𝑓 − 1 ′ (𝑥) para 𝑥 = 5
2. Calcule la primera y segunda derivada de: 𝑓 𝑥 = 1 + 4 𝑥 4 𝑥 ( 4 − 𝑥)
3. Verifique que la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 + ln 1 𝑥 satisface la ecuación: 𝑥 4 𝑦 ′′

• 𝑦 + 2 𝑥 3 𝑦 ′ = − 𝑥 2
• ln 1 𝑥

4. Verifique que: 1 − 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ − 𝐴 2 𝑦 = 0 ; donde 𝑦 = 𝑐 1 𝑒 𝐴𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 2 𝑒 −𝐴𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 , dado que A, 𝑐 1 , 𝑐 2 son constantes
5. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥− 4 𝑥+ 1 , determinar el valor de: a) 𝑓 − 1 (𝑥) para 𝑥 = 2 b) 𝑓 − 1 ′ (𝑥) para 𝑥 = 2