ejercicios para practicar, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga ejercicios para practicar y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

COLꞏLECCIÓ D’EXERCICIS DE

MATEMÀTIQUES I

GRAU EN ADE

GRAU EN ADE-DRET

GRAU EN ECONOMIA

GRAU EN FINANCES I COMPTABILITAT

GRAU EN TURISME-ADE

CURS ACADÈMIC 2023-

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

EXERCICIS DE MATEMÀTIQUES ELEMENTALS

1. Simplifica les expressions següents:

(a) 𝑎 ଷ^ 𝑏 ଶ^ 𝑎 ହ^ 𝑏 (b) ሺ 64 𝑥 ଷ^ ሻ ଶ ଷ⁄^ (c) 42 ሺ 64 ሻ-4/

(d) రඥ𝑥^ ଵ଴^ 𝑦 ହ (e) (^) √𝑥ඥ𝑥𝑦 ସ^ ඥ √𝑥య^ ଺ (f) (^) ቀ ඥ𝑥ఱ^ ଶ^ 𝑦ቁ

ହ ଷ⁄

(g) ௫^

య (^) ௬ ఱ ௫ మ^ ௬ ఴ^ (h)^

൫௫ షభ^ ൯మ^ ൫௫ మ^ ൯ ఱ ௫ య^ ௫

(i) (^) ቀ ௫^

భ య⁄ (^) ௬ మ య⁄ ௭ మ^ ቁ

ଷ

(j) ௫^

య (^) ⁄௬ ర ௫ మ^ ⁄௬^ య (k)

ଵ ൬ √ఱೣ√మఱೣ^ షయ మ ൰

మ

2. Efectua les operacions següents:

(a) ሺ 3 𝑥 ଶ^ 𝑦 ൅ 𝑦 െ 𝑦 ଷ^ ൅ 3 ሻ ൅ 2 ሺ𝑥 ଷ^ െ 𝑦 െ 𝑥 ଶ^ 𝑦ሻ (b) ሺ𝑥 ଶ^ ൅ 𝑥 െ 2 ሻ ൉ ሺ𝑥 െ 1 ሻ

(c) ሺ𝑥 ଶ^ െ 𝑦 ൅ 3 ሻ ሺ𝑥 ଷ^ ൅ 𝑦 െ 1 ሻ ଶ^ (d) (^) ௫ିସଶ െ ௫^

మ ௫ మି^ ଷ (e)^

ଷ ௫ାଵ െ^

ସ ௫ିଵ

(f) ଶሺ௫ିଷ^

ሻ ௫ మି^ ସ െ^

௫ାଷ ௫ିଶ (g)^

ଷ ௫ାଵ ൅^4 (h)^

௫ ௫ିଶ ∙^

௫ మି^ ସ ௫ య

3. Realitza la descomposició factorial dels polinomis següents, és a dir, transforma'ls en productes

de monomis o polinomis de menor grau.

(a) (^) 𝑥 ଶ^ െ 9 (b) (^) 𝑥 ଶ^ െ 𝑥 െ 6 (c) (^) 𝑥 ଶ^ ൅ 8 𝑥 ൅ 16 (d) (^25) 𝑥 ଶ^ ൅ 20 𝑥 ൅ 4 (e) (^) 𝑥 ଷ^ െ 𝑥 ଶ^ െ 8 𝑥 ൅ 12 (f) (^) 𝑥 ସ^ ൅ 𝑥 ଷ^ െ 7 𝑥 ଶ^ െ 𝑥 ൅ 6

4. Resol les equacions següents:

(a) ሺ 2 𝑥 െ 1 ሻ^ ଶ^ െ 3 𝑥 ଶ^ ൌ 2 ቀ

ଵ ଶ െ^4 𝑥ቁ^ (b)^ 𝑥 ൅^2 ൌ √^4 െ 𝑥^ (c)^ 𝑥 ൅^2 ൌ √^4 𝑥 ൅^13

(d) ሺ௫ାଵሻ

మ ௫ሺ௫ିଵ ሻ ൅^

ሺ௫ିଵ ሻమ ௫ሺ௫ାଵሻ െ^2

ଷ௫ାଵ ௫ మି^ ଵ ൌ^0 (e)^ 𝑥 ൌ^2 ൅ √𝑥^

ଶ (^) െ 2 (f) (^) √ 2 𝑥 ൅ 14 െ √𝑥 െ 7 ൌ √𝑥 ൅ 5

(g) ଷ௫ାଶଶ െ^ ସଷ ሺ𝑥 െ^2 ሻ ൌ 𝑥 െ ൬௫ିଷଶ െ^ ଶ଻ ሺ^5 െ^2 𝑥ሻ൰^ (h) 3 𝑥 ଶ^ െ 27 ൌ 0 (i) 0 ൌ^3 𝑥^ ଶ^ െ^11 𝑥 ൅^6

5. Resol les inequacions següents:

(a)

ହ௫ିଶ ଷ െ^

௫ି଼ ସ ൒^

௫ାଵସ

ଶ െ^2 (b)^5 𝑥 ൅^4 ൐^2 𝑥 െ^8 (c)^

௫ିସ

௫ మି^ ଽ ൑^0

(d)

ଷ௫ିଷ

ହ െ^

ସ௫ା଼

ଶ ൐^

௫

ସ െ^3 𝑥^ (e)^4 𝑥 െ^7 ൐^6 𝑥 ൅^5 (f)^ 𝑥^

6. Raona si són certes aquestes implicacions. Són certes les implicacions recíproques?

(a) 𝑥 ൌ 2 i y ൌ 5 implica 𝑥 ൅ 𝑦 ൌ 7 (b) ሺ𝑥 െ 1 ሻሺ𝑥 െ 2 ሻሺ𝑥 െ 3 ሻ ൌ 0 implica 𝑥 ൌ 1 (c) 𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ^ ൌ 0 implica 𝑥 ൌ 0 o 𝑦 ൌ 0 (d) 𝑥𝑦 ൌ 𝑥𝑧 implica 𝑦 ൌ 𝑧 (e) 𝑥 ൌ 0 i 𝑦 ൌ 0 implica 𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ^ ൌ 0 (f) 𝑥 ൐ 𝑦 ଶ^ implica 𝑥 ൐ 0

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

TEMA 1: NOCIONS BÀSIQUES D'ÀLGEBRA

Matrius, determinants, rang i càlcul de la inversa

1. Calcula:

(a) ൭

2 െ (^1 0 ) 4 3 2 5 (^1 2 1) െ 3

൱ ൅ ൭

(^1 1 0) െ 3 െ 6 5 3 4 0 െ (^1 2 )

൱ (b) 5 ൭

(c) 2 ൭

൱ (d) ቀ^3 െ^1 2 4 5

ቁ െ 4 ቀ^1 2

2. Calcula:

(a) ൭

൱ ቀ^3 െ^1

ቁ (b) ቀ 2 0 െ 3 2

ቁ ቀ^4 െ^1

(c) ቀ^4 െ^1 1 1

ቁ (d) ൭

(e) ൭

൱ (f) ൭

(g) ൭

൱ (h) ൭

(i) ሺ 2 1 0 െ 1 ሻ ቌ

ቍ (j) ቌ

(k) ሺ 1 2 െ 2 ሻ ൭

൱ (l) ሺ𝑥 െ^1 𝑦 െ^2 𝑧 ൅^3 ሻ ൭

3. Donades les matrius següents, calcula 3 𝐴 ൅ 2 𝐵 i 2 𝐴 ൅ 𝐵:

ቁ 𝐵 ൌ ቀ 1 െ^11

4. Explica les condicions que ha de complir una matriu 𝐴 perquè existisca el seu determinant.

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

5. Calcula:

(a)

(b)

(c) อ

(d) อ

อ (e) อ

อ (f) อ

(g) ቮ

ቮ (h) ቮ

ቮ (i) ቮ

(j) (^) ቮ

ቮ (k)^ ተ^ ተ

ተ^ ተ^ (l)^ ተ^ ተ

6. Calcula el rang de les matrius següents:

(a) ൭

2 െ 1 1 0 (^1 0 3 ) (^3 1 4) െ 1

൱ (b) ቌ

2 3 4 4 6 8 6 8

9 12

12 16

ቍ (c) ൭

1 െ 1 0 3 2 1 5 0 5

൱

(d) ൭

1 3 4

2 െ 1 3 1 0 1 3 1 4

൱ (e) ൭

1 2 3 2 4 6 3 6 9

4 8 12

൱ (f) ቌ

1 െ 1 2 1

2 െ 2 0 1 4 െ 1 1 2

4 െ 3 െ 2 3

ቍ

(g) ቌ

1 1 2 1

1 0 0 0 1 3 1 0 0 0

െ 1 1 3 1 2 4

ቍ (h) ቌ

6 െ 9 െ 12 14

8 െ 7 െ 11 െ 13 12 െ 9 െ 12 2 6 െ 13

െ 4 6 0 11 െ 9 9

ቍ

7. Troba, si existeix, la inversa de les matrius següents:

(a) ቀ^1 1 െ 1

ቁ (b) ൭

൱ (c) ൭

(d) ቀ^2 െ^1 1 1

ቁ (e) ൭

8. Explica les condicions que ha de complir una matriu 𝐴 perquè existisca la seua matriu inversa i

defineix la matriu inversa de A.

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

15. Calcula el valor de m perquè el sistema

siga compatible.

16. Resol:

(a) 

x 2y 2

3x 2xy 0 2

2 (b) 

3y 12 0

3x 3 0 2

2 (c) 

3y 3x 0

3x 3y 0 2

2

(d) 

6x 2y 18

3x 2 6y 39 (e) 

4x 2y 0

12x 8xy 0 2

3 (f) 

x y 7

x 2 y^225

(g) 

xy 12

x 2 y^225 (h)  

xy 12

x y z 12

x 2 y^2 z^20 (i) 

logx logy 1

3 x 2 y 35

(j) 

x y

x y (k) 





2 2 5

3 x 2 y 3

2 x 3 y 1 (l) 

logx logy 1

2 x^1128

(m) 

logx logy 2

log x logy 4 (n) 𝑥^

ଵ ଶ (^) 𝑦

ଵ ଶ (^) ൌ 12 𝑥 ൅ 𝑦 ൌ 25

17. Les funcions d'oferta i demanda d'un model de mercat amb 2 mercaderies són les següents:

s2 2

s1 1 Q 1 2P

Q 2 3 P  

 

d2 1 2

d1 1 2 Q 5 P P

Q 10 2 P P   

  

Es demana calcular els preus d'equilibri ( P 1 ~ (^) , P 2 ~ (^) ) i les quantitats d'equilibri ( Q 1 ~ (^) , Q 2 ~ (^) ).

18. Una empresa fabrica tres productes en quantitats 𝑥, 𝑦, 𝑧. Per elaborar-los, utilitza tres matèries

primeres 𝑀1, 𝑀 2 i 𝑀3. La quantitat disponible de cada matèria primera és 280, 460 i 220 unitats respectivament. Per produir una unitat del primer article s'utilitzen 2 unitats de 𝑀1, 6 de 𝑀 2 i 8 de 𝑀3. Per produir una unitat del segon article s'utilitzen 4 unitats de 𝑀1, 11 de 𝑀 2 i 1 de 𝑀3. Per produir una unitat del tercer article s'utilitzen 8 unitats de 𝑀1, 6 de 𝑀 2 i 2 de 𝑀3. Determina la quantitat a produir de cada article si ha d'usar-se exactament tota la matèria primera disponible.

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

19. Calcula els preus d'equilibri

P 1

~ (^) , P 2

~ (^) , P 3

~ (^) i les quantitats d'equilibri Q 1

~ (^) , Q 2

~ (^) , Q 3

~ (^) del model de

mercat amb tres mercaderies les funcions de les quals d'oferta i demanda són les següents:

s3 1 3

s2 1 3

s1 1 3

Q 4 P 2P

Q 5 2P P

Q 4 2P P

  

  

  

d3 1 2 3

d2 1 3

d1 1 2

Q 4 P 2P 3P

Q 2 2P 2P

Q 8 P 3P

   

  

  

20. Escriu, si és possible, de forma matricial els sistemes d'equacions següents:

(a)



6x 2y 18

3x 2 6y 39 (b)

4x y 3z 8

x 2y 1

2x y z 2

x y z 1

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

4. Calcula el domini de les funcions següents i representa’l gràficament quan siga possible.

(a) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ

௫ାଵ ሺ௫ିଶ ሻሺ௫ାଷሻ (b)^ 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ ටି^

௫ାଵ ଶା௫

(c) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ ሺ𝑥 ௬ା௭, lnሺ𝑥 ൅ 𝑦 ൅ 𝑧ሻሻ^ (d) (^) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ඥ𝑥 ଶ^ ൅ 2 𝑥𝑦 ൅ 𝑦 ଶ

(e) (^) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ඥ𝑥య^ ଶ^ ൅ 2 𝑦െ ඥ𝑥 െ 𝑦ర^ (f) (^) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ (^) ଶ௫ି௬√௫

(g) 𝐹ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ ൝

௫ మ^ ௬ ௫ మ^ ା௬ si^ ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ് ሺ^ 0,0ሻ 0 si ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ሺ0,0ሻ

(h) 𝐹ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ ቊ

𝑥 ଶ^ ൅ 3 𝑦 si 𝑥 ൒ 𝑦 ඥ𝑥𝑦^ si^ 𝑥 ൏ 𝑦

(i) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ൝

ଶ௫௬ ௫ିଵ si^ 𝑥 ൐^1 ඥ 3 𝑥𝑦 si 𝑥 ൑ 1

(j) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ൝𝑥 ൅^

√௬ ௫ మି^ ଵ si^ 𝑦 ൒^0 𝑥 ଶ^ െ 1 si 𝑦 ൏ 0

(k) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ൫√𝑥 ൅ 𝑦, lnሺ𝑥 െ 1 ሻ , 𝑒 √௬^ ൯ (l) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ

lnሺ௫ା௭ሻ ௘ ඥೣష೤

(m) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ

ln ௬ ௘ೣି (^) √௭ (n)^ 𝐹ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ ൌ^

௘ೣ ೤ lnሺ௫ା௭ሻ

5. Calcula el domini matemàtic i econòmic de les funcions següents:

(a) 𝐷ሺ𝐼, 𝑝, 𝑝 ᇱ^ ሻ ൌ ඥூ௣ᇱଶ௣ , sent D la funció de demanda d'un producte, 𝐼 la renda del consumidor, p

el preu del producte i 𝑝’ el preu d'un bé substitutiu. (b) 𝐶ሺ𝑞ሻ ൌ 𝑞 ଷ^ െ 9 𝑞 ଶ^ ൅ 36 𝑞 ൅ 20 , sent C la funció de costos i 𝑞 la producció diària.

(c) 𝑄ሺ𝐾, 𝐿ሻ ൌ √𝐿ଶ^ ൅ 𝐾 ଶ^ sent 𝑄 la funció de producció, 𝐾 el capital i 𝐿 el treball.

(d) 𝑂ሺ𝐶, 𝐹ሻ ൌ √𝐶𝐹 ଷ

ర , sent 𝑂 la funció d'utilitat d'un consumidor, 𝐶 el consum de xocolate i 𝐹 el consum de maduixes.

6. Estudia l'homogeneïtat de les funcions següents. En cas afirmatiu, troba’n el grau.

(a) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ^ (b) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ 𝑥 ଶ^ 𝑦𝑧 ൅ 3 𝑥 ଷ^ ൅ 3 𝑦 (c) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^ sin^

௫ ௬

(d) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝐴𝑥 ఈ^ 𝑦 ଵିఈ^ (e) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ඥ௫^

య ర (^) ௬ା௫ ఱ ሺ௫ାଶ௬ሻ మ^ (f)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^

௫ మ^ ା௬ మ ଶ௫ మ^ ௬

(g) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ ௫^

మ (^) ା௬ మ ௭ (h)^ 𝑓

ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ sinሺ𝑥 ൅ 𝑦ሻ (^) (i) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑒ೣ ೤

(j) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ඥ௫^

ర మ (^) ା௬ య ሺଷ௫ା௬ሻ మ^ (k)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^

௫ ௫ మ^ ା௬ మ^ ൅^

ඥ௫ మ^ ା௬ మ ௫௬ (l)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^

యඥ௫௬ା௫ మ √௫ା௬

7. Donades les funcions de producció següents:

(a) 𝑄ሺ𝐿, 𝐾ሻ ൌ 𝐴𝐾 ఈ^ 𝐿ఉ, on 𝐴, 𝛼 i 𝛽 són paràmetres reals i 𝐴, 𝛼, 𝛽 ൐ 0.

(b) 𝑄ሺ𝐿, 𝐾ሻ ൌ 𝐴 ൅ 𝛽 ቀ

௄ ௅ ቁ^

ఈ , on 𝐴, 𝛼 i 𝛽 són paràmetres reals i 𝐴, 𝛼, 𝛽 ൐ 0.

(c) 𝑄ሺ𝐿, 𝐾ሻ ൌ 𝐴ሾ𝛽𝐾 ఈ^ ൅ ሺ 1 െ 𝛽ሻ𝐿ఈ^ ሿ

భഀ , on 𝐴, 𝛼 i 𝛽 són paràmetres reals, 𝐴, 𝛼, 𝛽 ൐ 0 i 0 ൑ 𝛽 ൑ 1.

Estudia si són homogènies o no en funció dels seus paràmetres. En cas afirmatiu, indica el tipus de rendiments a escala (creixents, constants o decreixents) que presenta una empresa amb aquesta funció de producció.

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

8. El cost total d'una empresa en € està donat per la funció

𝐶ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 200 ൅ 3 𝑥 ൅ 2 𝑦 ൅ 0 ′ 02 𝑥 ଶ^ 𝑦 ଶ

on 𝑥 i 𝑦 representen les hores utilitzades de mà d'obra i de màquina, respectivament. Sabem que les hores utilitzades de mà d'obra i màquina depenen de la quantitat produïda del producte final (𝑧) segons les funcions següents:

𝑥 ൌ

Escriu el cost total de l'empresa com a funció de la quantitat produïda del producte final.

9. Calcula (si existeixen) les funcions compostes 𝑔 ∘ 𝑓 i 𝑓 ∘ 𝑔, sent:

(a) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ

௫ ௬ ,^ 𝑔ሺ𝑡ሻ ൌ ቀ^2 𝑡,^

ଶ ௧ ቁ

(b) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ඥ𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ, 𝑔ሺ𝑡ሻ ൌ ሺsin 𝑡 , cos 𝑡ሻ

(c) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ඥ𝑥 ଶ^ െ 𝑦 ଶ, 𝑔ሺ𝑡ሻ ൌ ቀ𝑡 ଶ,

ଵ ௧ , ln^ 𝑡ቁ

10. Calcula la funció composta en els casos següents:

(a) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ 𝑦 ൅ 3 𝑥 െ 𝑧 ଶ, 𝑥 ൌ 2 𝑢, 𝑧 ൌ െ𝑢. (b) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 3 𝑦 െ 𝑥 ଶ, 𝑦 ൌ 𝑥 ൅ 1.

(c) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ ௘ೣ^ ௭୪୬ ௬ , 𝑦ሺ𝑥, 𝑧ሻ ൌ 𝑒 ௫௭^ en el punt ሺ𝑥, 𝑧ሻ ൌ ሺ0,1ሻ.

(d) 𝑡ሺ𝑢, 𝑣ሻ ൌ 𝑢 ൅ 𝑒 ௩, 𝑢ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ 𝑥𝑦 ൅ 𝑧, 𝑣ሺ𝑥, 𝑧ሻ ൌ 𝑧 ൅ 𝑥 ଶ^ en el punt ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ ሺ2,1,0ሻ.

11. La funció de producció d'una empresa és 𝑄ሺ𝐾, 𝐿, 𝑀ሻ ൌ √𝐾𝐿𝑀, on 𝐾 és el capital, 𝐿 el nombre

de treballadors i 𝑀 el nombre de màquines.

(a) Escriu l'equació de la corba de nivell (isoquanta) corresponent a una producció de 200 unitats. Interpreta-la. (b) Calcula la funció 𝑀ሺ𝐾, 𝐿) definida implícitament per aquesta equació. (c) Calcula 𝑀ሺ100,10ሻ i interpreta’n el resultat.

12. Escriu de forma explícita, si és possible, les funcions definides implícitament per les equacions

següents:

(a) 𝑥 ଶ^ 𝑦 ൅ 𝑦𝑥 െ 2 ൅ 𝑧 ൌ 0 Calcula yሺ𝑥, 𝑧ሻ. (b) 𝑦 ଶ^ ൅ lnሺ𝑥𝑦ሻ െ 4 ൌ 0 Calcula 𝑥ሺ𝑦ሻ. (c) 𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ^ െ 9 ൌ 0 Calcula yሺ𝑥ሻ.

(d) ඥ𝑧𝑥ఱ^ ଶ^ 𝑦 ସൌ 3 Calcula 𝑧ሺ𝑥, 𝑦ሻ.

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

17. Representa gràficament les funcions següents:

(a) 𝐶 ൌ 200 ൅ 0 ᇱ 6 𝑌, on 𝐶 és la despesa del consumidor i 𝑌 representa els seus ingressos. (b) 𝐼 ൌ 80 𝑄 െ 0 ᇱ 2 𝑄 ଶ^ on 𝐼 representa els ingressos i 𝑄 la producció.

(c) 𝐶 ൌ 200 𝑒 ଴

ᇲ (^) ଴ହ் , on 𝐶 és el capital obtingut al cap de T unitats de temps amb un interès del 5%.

18. Representa gràficament les corbes de nivell següents:

(a) Corba de nivell 4 de la funció 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ. (b) Corba de nivell 0 de la funció 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ െ𝑥 ଶ^ ൅ 2 𝑥 െ 𝑦. (c) Corba de nivell 1 de la funció 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥𝑦.

Conceptes de límit i continuïtat

19. En els apartats següents, digues si es tracta d'un nombre, un vector, una funció o un conjunt.

(a) ሼሺ3, െ1,

ଵ ଶሻ,^ ሺ0,0,5ሻሽ (b) ℝସ

(c) 𝐷 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ  ℝଶ^ / 𝑥 ൅ 𝑦 ൐ 4 ሽ

(d) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥𝑦; 𝑓ሺ1,5ሻ; lim ሺ௫,௬ሻ→ሺଶ,଴ሻ

20. Calcula, si existeixen, els límits següents:

(a) lim

௫→ାஶ

௫ మ^ ାଵ ௫ (b)^

lim ௫→ାஶ

ln ଵ௫ (c) lim ௫→ାஶ

ln ௫^

మ (^) ାଵ

௫ (d)^ lim ௫→଴

௫ మ^ ାଵ ௫

(e) lim ௫→଴ sin^

ଵ ௫ (f)^ ௫→ାஶlim cos^

ଵ

௫ (g)^ ௫→ାஶlim 𝑒ିೣ

మశభೣ

21. Calcula, si existeixen, els límits següents:

(a) ሺ௫,௬ሻ→ሺଶlim,଴ሻ 4 𝑒^ ଷሺ௫ିଶ^ ሻ

మ (^) ା௬

(b) ሺ௫,௬ሻ→ሺଶlim,଴ሻ ቀ^

௬ ௫ ,^ 𝑦^

22. Donada la funció:

𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ൜

0 si 𝑥 ൒ 𝑦 ଶ 1 si 𝑥 ൏ 𝑦 ଶ

Calcula, si existeixen, els límits següents:

(a) ሺ௫,௬ሻ→ሺ଴lim,଴ሻ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ^ (b) ሺ௫,௬ሻ→ሺଵlim,ଶሻ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ^ (c) ሺ௫,௬ሻ→ሺଶlim,ଵሻ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

23. Donada la funció:

𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ ቄ^2 𝑥 െ^1 si^ 𝑥 ൒^2 1 si 𝑥 ൏ 2

Representa-la gràficament. Estudia si és contínua en els punts 𝑥 ൌ 2 i 𝑥 ൌ 6.

24. Donada la funció:

𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ ቄ (^3) 𝑥 െ^0 1 sisi^ 𝑥 ൌ𝑥് 22

Representa-la gràficament. Estudia si és contínua en el punt 𝑥 ൌ 2.

25. Estudia la continuïtat de les funcions següents:

(a) 𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ^

௫ାଶ ௫ మି^ ଻௫ାଵ଴ (b)^ 𝑓

(c) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥𝑦 ൅ sinሺ𝑥𝑦ሻ ൅ lnሺ𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଶ^ ሻ^ (d) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑒ೣ

೤ ඥೣష೤

(e) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ sinሺ𝑥𝑦ሻ^ ln൫ඥ𝑥 െ 𝑦൯ (f) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ ൌ^

ଵ య√௫ା௬ା௭

(g) (^) 𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ ௫^

మ (^) ାଶ௫ାଵ ௫ య^ ାଷ௫ మ^ ାଷ௫ାଵ en^ 𝑥 ൌ^ െ^1 (h)^

𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ ቀ (^) ௬ା௭ଵ , ln (^) ඥ𝑥 െ 𝑦ቁ

(i) 𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ

⎩

௫ ௫ିଶ 𝑥 ൏^0 ௫ ௫ మି^ ଷ௫ାଶ 0 ൑ 𝑥 ൑^5 ଵ ଵଶ 𝑥^ 𝑥 ൐^5

26. Donada la funció:

𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ቐ

1 𝑥 െ 2 𝑦 si^ ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ് ሺ^ 2,1ሻ 0 si ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ሺ2,1ሻ Es demana:

(a) Espai inicial i espai final. (b) Domini de la funció. (c) Calcula, si és possible, dos punts que siguen del domini i dos que no ho siguen. (d) Estudia la continuïtat de la funció en els punts ሺ2,1ሻ, ሺ0,0ሻ i ሺ1,2ሻ.

27. Donada la funció:

𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ൝

𝑥 ൅ 𝑦 ൅ 7 𝑥 ൅ 1 si^ 𝑥 ൏ 𝑦 ൅^1 4 si 𝑥 ൒ 𝑦 ൅ 1 Es demana:

(a) Espai inicial i espai final. (b) Domini de la funció. (c) Calcula, si és possible, dos punts que siguen del domini i dos que no ho siguen. (d) Estudia la continuïtat de f en els punts ሺ1,0ሻ, ሺ2,1ሻ, ሺെ0.5,1ሻ, ሺെ1, െ 2 ሻ i ሺെ1,3ሻ.

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

TEMA 3: DERIVABILITAT DE FUNCIONS

Definició i interpretació econòmica de derivada d'una funció real. Càlcul de derivades

1. Estudia la derivabilitat en 𝑥 ൌ 0 i 𝑥 ൌ 1 de la funció 𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ ൜ 𝑥^

ଶ (^) െ 1 si 𝑥 ൏ 0 െ𝑥 ଶ^ െ 1 si 𝑥 ൒ 0

2. Estudia la derivabilitat de 𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ ൝

𝑥 ଶ^ െ 4 𝑥 ൐ 4

3. Calcula les derivades de les funcions següents:

(a) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ 1 െ (^) √௫ మଵ (^) ାଶ௫ (b) (^) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ ଵି௫^

షభ ଵି௫

(c) (^) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ ln ௫^

మି (^) ସ ଶ௫ (d) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ

௫ √௫ మ^ ାଶ௫ (e)^ 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ 𝑒ೣ^

శభೣ షభ (f)^ 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ^ senଶ^ ሺ^4 𝑥^ ଶ^ ൅^2 ሻ

(g) (^) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ 3 ௫^ మ^ ାଶ௫ାଵ^ (h) (^) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ 4 𝑥 ଵ ൗଶ^ ൅ 2 𝑥ି ଵ^ ൗଶ^ (i) 𝐹ሺ𝑥ሻ ൌ^

ଶ ସି௫ మ

4. Siga C( x ) ൌ 𝑥 ଶ^ ൅ 3 𝑥 ൅ 100 la funció de costos d'una empresa. Prova que la taxa mitjana de

variació quan 𝑥 varia de 100 a 100 ൅ ℎ és ஼ሺଵ଴଴ା௛ሻି஼ሺଵ଴଴ሻ௛ ൌ 203 ൅ ℎ ሺℎ് 0 ሻ. Quin és el cost

marginal 𝐶 ᇱ^ ሺ 100 ሻ?

5. Si l'estalvi total d'un país (𝑆) és una funció del producte nacional (𝑌), llavors 𝑆’ሺ𝑌ሻ es diu

propensió marginal a l'estalvi (PMA). Troba la PMA per a les funcions següents:

(a) 𝑆ሺ𝑌ሻ ൌ 𝑎 ൅ 𝑏𝑌 (b) 𝑆ሺ𝑌ሻ ൌ 100 ൅ 10 𝑌 ൅ 2 𝑌 ଶ

6. Suposem que la relació entre la renda bruta Y i el total d'impostos 𝑇 sobre la renda dels

contribuents amb renda entre 80.000 i 120.000 € està donada per l'equació

𝑇 ൌ 𝑎ሺ𝑏𝑌 ൅ 𝑐ሻ^ ௣^ ൅ 𝑘𝑌

on 𝑎, 𝑏, 𝑐, p i 𝑘 són constants positives.

(a) Troba l'expressió del tipus marginal de l'impost 𝑑𝑇 𝑑𝑌⁄. (b) Un estudi empíric va deduir les estimacions següents de les constants anteriors: 𝑎 ൌ 0,000338 ; 𝑏 ൌ 0,81 ; 𝑐 ൌ 6,467 ; 𝑝 ൌ 1,61 ; 𝑘 ൌ 0,053. Utilitza aquestes quantitats per trobar els valors de T i 𝑑𝑇 𝑑𝑌⁄^ quan 𝑌 ൌ 100.000.

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

7. La funció de cost total d'un article determinat és C(x) ൌ 30 ൅ 10 𝑥 ൅ 2 𝑥 ଶ,valorada en euros, i el

preu unitari de l'article està donat per l'expressió 𝑝ሺ𝑥ሻ ൌ 60 െ 2 𝑥, on 𝑝 està expressat en euros. Determina: (a) Els dominis de definició de les dues funcions. (b) El cost marginal. (c) La funció d'ingressos. (d) La funció de beneficis 𝐵 ൌ 𝐼 െ 𝐶. (e) L'ingrés marginal. (f) El benefici marginal.

Definició i interpretació econòmica de derivades parcials de funcions escalars i

vectorials

8. Calcula totes les derivades parcials de les funcions següents:

(a) 𝐹ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^1 െ^

ଵ ඥ௬ିଶ௫^ (b)^ 𝐹ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^

ଵି௫ షభ ଵି௬ (c)^ 𝐹ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ ൌ 𝑧 ൅^ ln^

௫ మି^ ସ௬ ଶ௭

(d) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ቀඥ𝑥 ଶ^ ൅ 2 𝑦,

௫ ଵି௬ ቁ^ (e)^ 𝐹ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ 𝑒ೣ

శభ ೤షభ (f)^ 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ cosሺ 4 𝑥 ଶ^ ൅ 2 𝑦ሻ

(g) (^) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ൫𝑥 ଶ^ ൅ 𝑥𝑦, ඥ𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦൯ (h) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 3 ௫ାଶ௬ାଵ^ (i) (^) 𝐹ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ 4 𝑥

భ మ (^) ൅ 𝑦𝑧ି

భ మ

9. Calcula les derivades parcials de primer ordre de les funcions següents:

(a) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ^ ൌ^ 𝑥^ ଷ^ 𝑦 ൅^2 𝑥𝑧^ ଶ^ – 3𝑥𝑦𝑧^ (b) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^ ௫^

యି (^) ଶ௫௬ ସ௫ା௬ మ^ (c)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ^ ൌ 𝑦^

ୡ୭ୱ ௫

(d) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ sin଼ ሺ𝑥 ଶ^ ൅ 𝑦 ଷ^ ሻ (e) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑒 ௫ାଵ^ െ 𝑒 ଶି௬^ (f) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ ൌ^ ௘^

೤ (^) ୡ୭ୱሺ௫ାଶሻ ୪୬ሺ௭ିଵ ሻ (g) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ^ ൌ^ sinሺ𝑥 ൅^2 𝑦^ ଶ^ ሻ଼^ (h) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ^ ൌ^ sinሺ𝑥𝑦^ ଶ^ 𝑧ሻ^ (i) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ^ ൌ^ lnଷ^ ሺ𝑥/𝑦ሻ

10. Calcula les derivades parcials de les funcions següents:

(a) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥 ଷ^ ൅ 𝑦 ଶ^ (b) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑒 ௫^ cos 𝑦 (c) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑦

(d) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ cosସ^ ሺ 2 𝑥𝑦ሻ (e) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^ ୪୬ሺ௫ିଷ௬^

ሻ ௫ మ^ ା√௬ (f)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^

௫ ௫ మ^ ା௬ మ

(g) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 3 ሺହ௫ିଵ^ ሻ^ sinሺ 4 𝑦 ଶ^ െ 2 𝑥ሻ (h) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ ௫ሺଶିୡ୭ୱ௫ మ (^) ା௭^ ሺଶ௬ሻሻ మ (i) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑒 ௫ ୪୬ ௬

(j) (^) 𝑓ሺ𝑢, 𝑣, 𝑤ሻ ൌ ሺ𝑢 ଶ^ ൅ 𝑣 ଶ^ ൅ 𝑤 ଶ^ ሻି

భ మ (k)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ ሺ𝑥 ൅^2 ሻሺ𝑦 െ^3 ሻ^ (l)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ ൌ ሺ𝑥𝑦ሻ^ ௭

(m) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑒 ௫ ୪୬ ௬^ sinሺ𝑥 ൅ 𝑦ሻ^ (n) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ^

୪୬ሺଶ௫ିଶ௬ ሻ ௫

భ మ^ (ñ)^ 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦ሻ ൌ ቀ^

௫ ఱ^ ାଶ௬ ௬ య^ ቁ^

଺

(o) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ሺ𝑥 ଶ^ െ 3 𝑦ሻ ହ^ ൅ 5 ௫^ మି^ ଷ௬^ (p) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ln √𝑥 ൅ 𝑒 ௫ା௬^ (q) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ln ௬௫

(r) (^) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡ሻ ൌ √௬

య ୪୬ ௫ ൅^ sinሺ𝑧𝑡ሻ^ (s)^

𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ ൌ (^) ୱ୧୬ቀ௭೤ೣ (^) ቁ

(t) 𝑓ሺ𝑥,^ 𝑦,^ 𝑧ሻ ൌ^2 𝑧^ ଷ^ െ^3 ሺ𝑥^ ଶ^ ൅ 𝑦^ ଶ^ ሻ𝑧^ (u) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ ඥ 9 െ 𝑥 ଶ^ െ 𝑦 ଶ

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

18. Indica el signe i les unitats de mesura que tenen en condicions normals les derivades següents:

(a) El salari d'un treballador respecte del temps. (b) La demanda d'un article respecte del seu preu. (c) El volum de vendes d'una empresa respecte de la seua inversió en publicitat. (d) L'estalvi mitjà dels habitants d'un país respecte de l'índex de preus.

19. Els ingressos impositius per IVA (en % del PIB) s'estimen amb la funció

on 𝑥 és el tipus impositiu (en %), actualment 𝑥 ൌ 18; 𝑦 és el pes de l'economia submergida (en %), actualment yൌ 20; i 𝑧 és el consum (en % del PIB), actualment 𝑧 ൌ 76.

(a) Calcula la derivada parcial dels ingressos impositius per IVA respecte al pes de l'economia submergida en la situació actual i interpreta’n econòmicament el signe. (b) Calcula aproximadament com canviarien els ingressos impositius per IVA si el tipus impositiu augmenta a 𝑥 ൌ 20 des de la situació actual, suposant que la resta de variables es mantenen constants. (c) Calcula l'elasticitat respecte al tipus impositiu en la situació actual, és a dir, l'expressió 𝐸 ൌ డூ డ௫ ∙^

௫ ூ ቚ^ ሺଵ଼ ,ଶ଴,଻଺ሻ.

(a) Siga 𝐶ሺ𝑥, 𝑦ሻ la funció de costos (en €) d'una empresa que fabrica 𝑥 unitats d'un producte A 𝑖 𝑦

unitats d'un producte B. Sabem que 𝐶ሺ40,23ሻ ൌ 2550, డ஼డ௫ ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 2 𝑥 ൅ 𝑦, డ஼డ௬ ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥. Amb aquesta informació, el cost de fabricació de 40 unitats de A i 28 de B és aproximadament de 3090 €, 540 €, 2750 € o 2752’38 €?

(b) Siga 𝑥 i y les quantitats que utilitza una empresa de les matèries primeres A i B respectivament.

Quan 𝑥 ൌ 3, 𝑦 ൌ 7, les derivades parcials de la funció de costos són

డ஼ డ௫ ሺ3,7ሻ ൌ^ 10,^

డ஼ డ௬ ሺ3,7ሻ ൌ

15. Amb aquesta informació podem deduir que:

i) Si s'utilitzen 5 unitats de la matèria A sense variar la quantitat consumida de B, el cost de l'empresa augmenta aproximadament 10 u.m. ii) Si s'utilitzen 6 unitats de la matèria B sense variar la quantitat consumida de A, el cost de l'empresa augmenta aproximadament 15 u.m. iii) Si s'utilitzen 4 unitats de la matèria A sense variar la quantitat consumida de B, el cost de l'empresa augmenta aproximadament 10 u.m. iv) Si s'utilitzen 8 unitats de la matèria B sense variar la quantitat consumida de A, el cost de l'empresa augmenta aproximadament 10 u.m.

(c) La funció de producció d'una empresa està donada per l'expressió 𝑄ሺ𝐾, 𝐿ሻ ൌ 25 𝐾 ଴´ଶ^ 𝐿଴´଼^ , on 𝐾 és el capital invertit i 𝐿 el nombre d'hores treballades. En l'actualitat, 𝐾 ൌ 3125 u.m. i 𝐿 ൌ 32 hores. Si es decideix augmentar únicament el nombre d'hores treballades a 42 hores, l'increment aproximat que experimentarà la producció serà de 500 u., 128 u., 2100 u. o 50128 u?

DE MATEMÀTIQUES I

CURS ACADÈMIC 2023-

Derivades successives de funcions d'una o més variables

21. Siga 𝑈ሺ𝑥ሻ la funció d'utilitat d'un consumidor, on 𝑥 és la quantitat consumida d'un bé.

(a) Explica la diferència d'interpretació entre

ௗ௎ ௗ௫ ቚଵ଴ i^

ௗ௎ ௗ௫ ቚଵ଴଴଴.

(b) Quin és el signe que es podria esperar en aquestes dues derivades?

(c) Quina de les dues hem d'esperar que siga major?

(d) Quin és el signe que es podria esperar per a

ௗ మ^ ௎ ௗ௫ మ^ ቚଵ଴?

(e) Si 𝑈ሺ 10 ሻ ൌ 3’65 i

ௗ௎ ௗ௫ ቚଵ଴ ൌ^0 ′^22 , calcula aproximadament^ 𝑈ሺ10’5ሻ.

22. Considerem les funcions

1 െ 𝑥 ଶ^ െ 𝑦 ଶ

𝑥 ଶ^ ൅ ሺ 1 ൅ 𝑦ሻ ଶ^

𝑥 ଶ^ ൅ ሺ 1 ൅ 𝑦ሻ ଶ

definides en 𝐷 ൌ ሼሺ𝑥, 𝑦ሻ ∈ ℝଶ|ሺ𝑥, 𝑦ሻ് ሺ 0, െ 1 ሻሽ.

(a) Comprova que

డ௙ డ௫ ൌ^

డ௚ డ௬ i que^

డ௙ డ௬ ൌ െ^

డ௚ డ௫.

(b) Calcula డ^

మ (^) ௙ డ௫ మ^ ൅^

డ మ^ ௚ డ௬ మ^ i^

డ మ^ ௚ డ௫ మ^ ൅^

డ మ^ ௚ డ௬ మ^.

23. Raona si les funcions següents són de classe 𝒞 ஶ.

(a) 𝑓ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡ሻ ൌ

௘ೣ ష೟ ௬ మ^ ାଶ௭.

(b) 𝑓ሺ𝑥. 𝑦. 𝑧ሻ ൌ 𝑥 ଷ^ – 𝑦𝑧 െ 5 𝑥𝑧 ସ.

(c) 𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ √𝑥^ య ଻.

24. Donada la funció 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ

௫௬൫௫ మି^ ௬ మ^ ൯ ௫ మ^ ା௬ మ^ ,^ calcula^

డ௙ డ௫ ሺ1,1ሻ^ i^

డ మ^ ௙ డ௫డ௬ ሺ1,1ሻ.

25. Donada la funció 𝑓ሺ𝑥, 𝑦ሻ ൌ 𝑥 ଶ^ sin 𝑦.

(a) Comprova que verifica el teorema de Schwarz per a tot punt de ℝଶ.

(b) Calcula డ^

య (^) ௙ డ௫ మ^ డ௬.

(c) Calcula డ^

ఱ (^) ௙ డ௫ మ^ డ௬ య^ ሺ1,0ሻ^.