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EJERCICIOS de RECTAS
Forma paramétrica:
1. Dado el punto A(5,3) y el vector director , se pide:
a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos cualesquiera de dicha recta.
c) Comprobar analíticamente si los puntos P(2, - 1) y Q(3,7) ∈ r
d) Dibujar dicha recta y comprobar gráficamente los apartados anteriores.
2. Dados los puntos A(1,3) y B( - 1,6), se pide:
a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos cualesquiera de dicha recta.
c) Comprobar analíticamente si los puntos P(7, - 6) y Q(2,2) ∈ r
d) Dibujar dicha recta y comprobar gráficamente los apartados anteriores.
Forma continua y general:
3. Con los datos del ejercicio 1, se pide:
a) Hallar las ecuaciones continua y general o implícita de la recta r que determinan. (Soluc: 2x+y - 13=0) b) Comprobar en la ecuación general que c) A partir de la ecuación general, obtener otros tres puntos cualesquiera de dicha recta.
d) Comprobar en ambas ecuaciones si los puntos P(2,1) y Q(3,7) ∈ r
4. Ídem con los datos del ejercicio 2 (Soluc: 3x+2y - 9=0) 5. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.
Forma punto-pendiente:
6. Hallar la forma punto-pendiente de las dos rectas de los ejercicios 1 y 2
a) Directamente, a partir de los datos. b) A partir de su forma continua.
Forma explícita:
7. Hallar la forma explícita de las dos rectas de los ejercicios 1 y 2
a) Directamente, a partir de los datos. b) A partir de las formas anteriores. (Soluc: y= - 2x+13 e y= - 3x/2+9/2)
Todas las formas:
8. a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,5) y tiene la dirección del vector en todas las formas posibles. Dibujarla. (Soluc: 2x+y-11=0) b) Ídem para el punto A(3,1) y (Soluc: x+2y-5=0) c) Ídem para A(3,1) y (Soluc: x=3) d) Ídem para A(3, - 1) y (Soluc: y= - 1)
u =(2,− 4)
→
u =(4,− 2)
→
ur =(1,− 2)
→
u r ( B,A)
→
u (0,2)
→
u (5,0)
→
9. Dada la recta de la figura, hallar su ecuación:
a) Directamente, en forma continua. b) En forma general, operando a partir de la anterior. c) Directamente, en forma punto-pendiente. d) Directamente, en forma explícita.
10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(1,- 4) en todas las formas posibles. Dibujarla. (Soluc: 3x - y - 7=0) 11. Representar las siguientes rectas:
a) 2x+3y- 7=0 b) x=3 c) y=2 d)
y 5 2 λ
x 3 λ e) 1
y 3 2
x 1 −
= −
12. Pasar a forma explícita las siguientes rectas y calcular sus pendientes:
a) 1
y 5 2
x 3 −
= − (^) b) 5x+3y+6=0 c)
y 5 - 3t
x 2 t
13. Determinar si el punto P(2, - 1) pertenece a la recta 3x - 2y+5=0. ¿Y el punto (1,4)? (Soluc: NO; SÍ) 14. Dada la recta ax+5y+4=0, determinar a para que la recta pase por el punto (2,- 2) (Soluc: a=3) 15. a) Determinar, analíticamente, si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados.
b) Ídem para A(1,1), B(3,4) y C(4,6) (Nota: un dibujo puede ser útil) c) Hallar k para que los puntos A(1,7), B( - 3,4) y C(k,5) estén alineados. (Soluc: SÍ; NO; k= - 5/3)
16. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A( - 2,1/3) y tiene igual pendiente que la recta que
pasa por P(2,1) y Q(3,4) ( )
17. Dada la recta que pasa por A(1,0) y B(3,4) se pide:
a) Hallar su forma paramétrica, continua, implícita, punto-pendiente y explícita. (Soluc: 2x - y - 2=0) b) ¿Cuál es su pendiente? (Soluc: m=2) c) ¿El punto (2,2) pertenece a dicha recta? (Soluc: (2,2) ∈ r)
18. Ídem para la recta que pasa por A(-2,1) y B(4,5). ¿El punto (1,3) es de dicha recta? 19. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,1) y forma un ángulo de 120º con la parte
positiva del eje x. ( )
20. ¿Qué ángulo forma la recta x + y + 5 = 0 con OX+? (Soluc: 135º)
− = +
1 Soluc : y 3(x 2) 3
Soluc : y − 1 = − 3 (x − 2)
( = −^ −^ = −^ −^ = −^ + )
x 7 5 Soluc : y ; y x 2; y 3x 11 2 2 3
32. a) Dadas las rectas 3x - 4y+1=0 calcular m para que sean paralelas. ¿Pueden ser coincidentes? mx+8y- 14=0 (Soluc: m= - 6) b) Ídem para las rectas 4x - 3y+1=0 (Soluc: m= - 8) mx+6y+4= 33. La recta 3x+ny- 7=0 pasa por el punto A(2,3) y es paralela a la recta mx+2y=13. Calcular m y n (Soluc: m=18; n=1/3) 34. Dada la recta r determinada por A(2,1) y (^) u =(a,4)
→ , y la recta s determinada por B( - 1,4) y (^) v =(5,3)
→
a) Hallar a para que r y s sean paralelas (Soluc: a=20/3) b) ¿Para qué valores de a son secantes? (Soluc: a ≠ 20/3) c) ¿Pueden ser coincidentes? (soluc: NO)
Recta // a una dada:
35. a) Calcular la ecuación de la recta paralela a 3x+2y- 4=0 que pasa por el punto A(2,3) (Soluc: 3x+2y - 12=0)
b) Ídem para y=2x+3 (Soluc: y=2x - 1)
36. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,3) y es: a) Paralela al eje x (Soluc: y=3) b) Paralela al eje y (Soluc: x=2) c) Paralela a la bisectriz del 1er^ cuadrante. (Soluc: y=x+1) d) Ídem del 2o^ cuadrante. (Soluc: y= - x+5) e) Paralela a 5x+2y=0 (Soluc: 5x+2y - 16=0) 37. Hallar la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta determinada por A(1,1) y B( - 3,6)
(Soluc: )
38. Dadas las rectas r: x - 2y+7= s: 2x+y+4= y el punto P(5,1), hallar las ecuaciones de los otros dos lados del paralelogramo formado por r, s y P. (Soluc: x - 2y - 3=0 y 2x+y - 11=0) 39. TEORÍA : Responder, razonadamente, a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cómo son los vectores directores de dos rectas paralelas? b) Si se sabe que el vector director de una recta es (2,5), ¿podemos conocer su pendiente? c) Y si sabemos que la pendiente es 3, ¿podemos obtener un vector director? d) ¿Cuántos vectores directores puede tener una recta? e) Si una recta tiene por vector director (4,2) y otra tiene el ( - 2,- 1), ¿pueden ser la misma?
f) Razonar que si una recta tiene la forma Ax+By+k=0, entonces cualquier recta ⊥ a ella sería de la forma Bx - Ay+k’= g) ¿Por qué toda recta que pasa por el origen carece de término independiente en su forma general?
y x 4
5 = −
(Hacer un dibujo explicativo previo en los cuatro primeros apartados)
Puntos y rectas notables de un triángulo:
Recta ⊥⊥⊥⊥ a una dada:
40. En cada apartado, hallar la recta ⊥ a la dada, por el punto que se indica (hacer un dibujo aproximado explicativo): a) x - 2y+3=0; P(3,- 1) (Soluc: 2x+y - 5=0) b) 3x+2y+1=0; P(1,- 1) (Soluc: 2x - 3y - 5=0)
c)
y 2 3 λ
x 1 λ ; P(1,3) (Soluc: x - 3y+8=0)
d) y-4=2(x - 1); P(1,1) (Soluc: x+2y - 3=0) e) y=2x - 5; P( - 2,3) (Soluc: x+2y - 4=0)
f) y-3=2(x+1); 0(0,0) (Soluc: x+2y=0) g) x+2y- 17=0; P(3,7)
41. En la figura, s / / r y t ⊥ r. Hallar: a) La ecuación general de las rectas s, t y u (Soluc: s: 4x - 3y+7=0; t: 3x+4y+1=0; u: x+5y - 14=0)
b) La ecuación punto-pendiente de v (Soluc: y - 1= √ 3(x-2))
42. Hallar el pie de la perpendicular trazada desde P(1, - 2) a
la recta r: x - 2y+4=0 (Soluc: P´( - 4/5,8/5))
Mediatriz:
43. a) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por A( - 2,1) y B(6,5). Dibujar la situación.
(Sol: M (2,3))
b) El punto M(5, - 2) es el punto medio del segmento AB, y conocemos A(2,3). Hacer un dibujo explicativo y
hallar B. (Sol: B(8, - 7))
c) Hallar el punto simétrico de P(1, - 2) respecto del punto Q(3,0). Hacer un dibujo explicativo. (Sol:
P´(5,2))
44. Hallar la ecuación de la recta ⊥ al segmento de extremos A(5,6) y B(1,8) en su punto medio. ¿Cómo se llama dicha recta? Hacer un dibujo explicativo. (Soluc: 2x - y+1=0; mediatriz) 45. La recta 3x - 2y- 6=0 corta a los ejes en dos puntos A y B. Calcularlos y hallar la mediatriz de AB (^). (Soluc: 4x+6y+5=0) 46. Dada la recta x+2y+1=0 hallar el punto simétrico de P(2,-3) respecto a dicha recta. [Soluc: P'(16/5, - 3/5)]
* 47. Sabiendo que la recta 2x - y+1=0 es mediatriz de AB y A(2, - 3), calcular B. ¿Cómo podríamos comprobar
que el resultado es correcto? [Soluc: B( - 22/5,1/5)] Ejercicio libro: 74 pág. 210
r: 4x-3y+5=0 (^) s
t
u
v
60º
Ángulo de dos rectas:
56. Calcular el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) 2x - 3y+4=0 5x - 2y- 3=0 (Soluc: ≅ 34º 31') b) 2x+3y- 5=0 x - y+7=0 (Soluc: ≅ 78º 41') c) x - 2y+4=0 3x - y- 1=0 (Soluc: 45º) d) y=2x - 3 y= - 2x+1 (Soluc: ≅ 53º 8') e) y=3x - 5 y=3x+2 (Soluc: 0º) f) - x+2y+1=0 3x+y+5=0 (Soluc: ≅ 81º 52') g) 4
y 2 3
x 1 +
− 5
y 3 12
x − = (Soluc:^ ≅^ 30º 31')
h) - x+2y+5=0 2x - 3y+4=0 (Soluc: ≅ 7º 8') i) 3x - 4y+2=0 3x - 4y+7=0 (Soluc: 0º)
j) 3
y 2
x 1
− (^) - 2x+3y- 5=0 (Soluc: ≅ 22º 37')
k) x^2 y^1 3 4
- (^) = − 3x+4y=0 (Soluc: 90º)
l) 3x+4y- 12=0 5x - 12y+8=0 (Soluc: ≅ 59º 30')
m) x^3 t y 5 2t
y 1 3 λ
x 3 4 λ (Soluc: ≅ 79º 42')
n) y=7x+54 3x - 4y+128=0 (Soluc: 45º)
57. Razonar, sin cálculo previo, cuáles de los siguientes pares de rectas son perpendiculares:
a) 2x+3y- 4=0 4x+6y- 8= b) 2x+3y- 4=0 6x - 4y+5= c) 3x - 2y+7=0 4x+6y- 3= d) x+y- 8=0 2x+3y+6=0 (Soluc: NO; SÍ; SÍ; NO)
58. ¿Es perpendicular la recta 2x+3y+4=0 con otra que tenga de pendiente 3/2? (Soluc: SÍ) 59. Determinar el parámetro m con la condición de que las rectas 2x - 4y+12=0 sean perpendiculares. (Soluc: m=16) mx+8y- 15= 60. Determinar el valor de a para que las rectas ax+(a - 1)y-2(a+2)=0 sean: a) Paralelas. (Soluc: a=0 o a=1/3; a= - 1/2) 3ax - (3a+1)y-(5a+4)=0 b) Perpendiculares. 61. Dadas las rectas r: x+2y- 3=0 se pide: a) Hallar k para que sean // (Soluc: k= - 2)
s: x - ky+4=0 b) Hallar k para que sean ⊥ (Soluc: k=1/2) c) Hallar la ecuación general de la recta ⊥ a r que pasa por el origen. (Soluc: 2x - y=0)
62. Calcular los coeficientes m y n de las rectas mx - 2y+5= nx+6y- 8= sabiendo que son perpendiculares y que la primera pasa por el punto (1,4) (Soluc: m=3; n=4) 63. Dada la recta de ecuación ax+by=1, determinar a y b sabiendo que la recta dada es perpendicular a la recta 2x+4y=11 y que pasa por el punto (1,3/2) (Soluc: a=4; b= - 2) 64. Hallar el valor de a para que las rectas formen 45º
(Aviso: puede haber dos soluciones) (Soluc: a 1 =6, a 2 = - 2/3)
65. Sean las rectas r: 3x+my+12=
s: 2x+y+n= Determinar m y n sabiendo que forman un ángulo de 60º y que la recta s pasa por el punto (3, - 5)
(Advertencia: puede haber dos soluciones) (Sol: m 1 =24+15 3 y n 1 = - 1; m 2 =24 - 15 3 y n 2 = - 1 )
y 2 λ
x 2 λ
y 2 aλ
x 1 2 λ
66. a) Determinar la ecuación de la recta que pasando por A(5, - 2) forme 45º con la que tiene por ecuación
3x+7y- 12=0 (Advertencia: puede haber dos soluciones) (Soluc: )
b) ¿Cómo son las pendientes de las dos soluciones? ¿Por qué?
67. Hallar la ecuación de la recta que, pasando por P(2, - 3), forma un ángulo de 45º con la recta 3x - 4y+7=
(Advertencia: puede haber dos soluciones) (Soluc: )
68. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto ( - 3,0) y forman con la recta de ecuación
3x - 5y+9=0 un ángulo cuya tangente vale 1/3 (Soluc: )
69. Dadas las rectas r: 2x+y- 4=0 hallar a para que: a) Sean // (Soluc: a= - 4)
s: ax - 2y+5=0 b) Sean (Soluc: a=1) c) Formen 60º
d(P,r):
70. a) Calcular la distancia del punto P(1,2) a la recta 3x - 4y+1=0 (Soluc: 4/5)
b) "" "" "" P(2, - 1) a la recta 3x+4y=0 (Soluc: 2/5)
c) "" "" del origen a la recta (Soluc: 3 5 )
d) "" "" "" a la recta y=4 (Soluc: 4)
e) "" "" del punto P(1, - 3) a la recta (Soluc: 4 5 )
f) "" "" "" P(2,4) a la recta y= - 2x+3 (Soluc: 5 ) g) "" "" "" P( - 1,7) a la recta y- 3=2(x+3) (Soluc: 0)
71. Hallar la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por los puntos A( - 2,1) y B(3, - 2) (Soluc: 1 34 ) 72. Hallar la distancia del punto ( - 1,1) a la recta que corta a los ejes OX+^ y OY+^ a las distancias 3 y 4 del origen.
(Soluc: 13/5)
73. Hallar la longitud del segmento que determina la recta x - 2y+5=0 al cortar a los ejes de coordenadas.
(Soluc: 5 5 2 )
74. Hallar la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasando por el punto A(0,2) tiene de pendiente - 1 (Soluc: (^) 2 ) 75. Determinar c para que la distancia de la recta x - 3y+c=0 al punto (6,2) sea de 10 unidades. (Aviso: puede haber dos soluciones). Hacer un dibujo explicativo de la situación. (Soluc: c= 10) 76. Calcular el valor de a para que la distancia del punto P(1,2) a la recta ax+2y - 2=0 sea igual a 2 (Aviso: puede haber dos soluciones). Hacer un dibujo explicativo. (Soluc: a=2)
y 2 (x 5);y 2 (x 5) 2
5 5
2
y 3 (x 2);y 3 7(x 2) 7
1
(x 3) 6
7 (x 3);y 9
2 y
y - 2 λ
x 1 2 λ
11
16 10 3 Soluc:a
x 1 y 5 2
85. Dada la recta r: x+y- 3=0 y el punto P( - 1,2), se pide:
a) Hallar, en todas las formas conocidas, la ecuación de la recta ┴ a r que pasa por P (Soluc: x - y+3=0)
b) Hallar el punto M de corte de la recta anterior y r (Soluc: (0,3))
c) Hallar el punto simétrico de P respecto de r. Hacer un dibujo aproximado explicativo. (Soluc: (1,4))
86. Con los mismos datos del ejercicio anterior, se pide: a) Hallar la ecuación general de la recta // a r que pasa por P (Soluc: x+y - 1=0) b) Hallar la distancia entre la recta anterior y r. Hacer un dibujo aproximado explicativo. (Soluc: √ 2 u) c) Hallar la posición relativa de r y la recta s : 2x - y+5=0 (Soluc: Secantes) d) Hallar el ángulo entre r y s (Soluc: 71º 33' 54'')
Bisectriz:
*** 87. a)** Hallar las dos bisectrices del ángulo formado por r: 4x+3y- 5=0 y s: 3x+4y- 2=0. Comprobar que se trata de dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r y s. (Soluc: x - y - 3=0; x+y - 1=0) b) Ídem con r: 4x - 3y+8=0 y s: 12x+5y- 7=0 (Soluc: 8x+64y - 139=0; 112x - 14y+69=0)
88. Volver a hacer el ejercicio 48, pero aplicando la fórmula de la distancia punto-recta.
Área del triángulo:
89. a) Calcular el área del triángulo de vértices A(1,2), B( - 1,4) y C(2,0) (Sol: 1 u^2 ) b) " " " " " " A(2,- 1), B( - 5,1) y C(0,3) (Sol: 12 u^2 ) c) " " " " " " A(-3,-2), B(9,7) y C(2,8) (Sol: 37,5 u^2 ) 90. a) Hallar el área del triángulo definido por las rectas r: x=3, s: 2x+3y- 6=0, t: x - y- 7=0 (Sol: 24/5 u^2 ) d) Hallar el área del triángulo definido por las rectas r: y=5, s: 2x - y- 3=0, t: x+y- 3=0 (Sol: 12 u^2 ) 91. Hallar el área del cuadrilátero de vértices A( - 4,3), B(0,5), C(4,- 2) y D( - 3,- 2) (Soluc: 71/2 u^2 ) 92. Determinar el área del paralelogramo OABC y las ecuaciones de los lados AB y BC sabiendo que OA es la recta de ecuación x - 2y=0, OC tiene de ecuación 3x+y=0 y las coordenadas de B son (3,5) (Soluc: AB: 3x+y - 14=0; BC: x - 2y+7=0; 98/5 u^2 )
