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EJERCICIOS SELECTIVIDAD. 2º BACH.
BLOQUE: ÁLGEBRA LINEAL.
1 .- Encuentra todas las soluciones del sistema:
2. Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos? 3.- El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones: o El mayor recibirá la media aritmética de todo lo que reciban los otros dos más 30.000 euros. o Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos. o El pequeño recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos menos 30.000 euros. Explica razonadamente, si con esta información es posible averiguar cuánto ha heredado cada uno de los tres hijos. (J00,opción B) 4.- Entre los partidos A y B obtuvieron el 90% de los votos en unas elecciones. Averiguar el porcentaje de votos que obtuvo cada partido, sabiendo que en las elecciones siguientes: el partido A sufrió un descenso de un 10% en el número de votantes respecto a las anteriores elecciones, el partido político B tuvo un 10 % de aumento en el número de votantes respecto a las anteriores elecciones, y que entre los dos partidos volvieron a obtener el 90% del total de votos. (S00,opción B) 5.- Hemos invertido 4.000.000 de pts. en acciones en las empresas A, B y C. Después de un año la empresa A repartió un beneficio del 6%, la B del 8% y la C del 10%. En total recibimos 324.826 pesetas. a) Deducir razonadamente si se puede averiguar o no lo que invertimos en cada empresa. b) Deducir razonadamente lo que invertimos en cada empresa sabiendo que en la empresa C invertimos el doble que en la empresa A. (J01,opción B)
6.- En una reunión hay 40 personas. La suma del número de hombres y mujeres triplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 a la suma del número de hombres más el número de niños. Averiguar razonadamente cuántos hombres, mujeres y niños hay. (S01,opción A) 7.- Un estudiante obtuvo un 6 en un examen de matemáticas que constaba de tres preguntas. En la primera pregunta obtuvo una calificación igual a la calificación que obtuvo en la segunda pregunta y en la tercera pregunta obtuvo una calificación igual a la suma de las calificaciones de las otras dos preguntas. Averigua razonadamente la calificación obtenida en cada pregunta. (S01,opción B) 8.- Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3 €. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y 3 cafés con leche, por lo que pagaron 3'25 €. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, 2 cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2' €. Calcula de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche. (J03,opción B) 9.- El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20 € y por un billete entre las poblaciones A y C se ha pagado 32 €. Si la distancia de A a C es el doble de la distancia de A a B, calcular de forma razonada cuánto se tendrá que pagar por un billete a una población que dista de A la mitad que B. (S03,opción A) 10.- Juan decide invertir una cantidad de 12.000 € en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A,B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432'5 €. Determina cuánto invirtió Juan en cada empresa. (J04,opción B) 11.- Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 € a su madre. Como no tienen suficiente dinero, cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2 € que paga el hermano menor, el mayor paga 3 €. ¿Cuánto dinero ha de poner cada uno? (S04,opción B) 12.- Dos hermanos deciden invertir 10.000 € cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió una cantidad A en un producto que le ha proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en oto producto que le ha dado una rentabilidad del 5% y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió esas mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3, y 7%. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del hermano mayor han sido 415 € y las del pequeño 460 €.
y. (S04,opción A) 21.- Sea la matriz de los coeficientes de un sistemas de ecuaciones lineales y la matriz de sus términos independientes. Se pide: a) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema. b) Obtener todas las soluciones del sistema. (J05,opción B) 22.- Calcular la matriz que verifica la ecuación matricial , siendo: , y. (S05,opción B) 23.- Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: Representa la región factible que representa el sistema de inecuaciones anterior y halla de forma razonada el punto o puntos de la región factible donde las siguientes funciones alcanzan su máximo o su mínimo: a) , b). (J02,opción A) 24.- Me ofrecen la posibilidad de comprar hasta 6 millones de acciones de la compañía A, que producen un beneficio de un 30%, y hasta 10 millones de acciones de la compañía B, que producen un 20% de beneficio. Tengo 20 millones para invertir. Razonar como he de distribuir la inversión para maximizar el beneficio. (S99,opción A) 25.- Una factoría produce coches de los modelos A y B. El beneficio por la venta de un coche del modelo A es 450 euros y la venta de uno del modelo B reporta un beneficio de 600 euros. La capacidad de la factoría impide producir más de 400 coches por día del modelo a y más de 300 coches del modelo B. Además no es posible producir diariamente más de 500 coches entre ambos modelos. Se vende toda la producción que se hace y se desea saber, razonadamente, cuántos coches interesa fabricar de cada modelo para obtener un beneficio máximo. (J00,opción A)
26.- Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y 160 de la editorial B con los que decide hacer dos tipos de lotes, el lote económico con tres libros de la editorial A y uno de la editorial B que venderá a 800 pts. Y el lote selecto con un libro de la editorial A y dos de la editorial B, que venderá a 1000 pts. Deducir razonadamente cuántos lotes debe hacer de cada tipo para maximizar sus ingresos al vender todos los lotes. (J00,opción B) 27.- Una fábrica produce bombillas normales a 900 pta cada una y focos halógenos a 1200 pta cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000, entre bombillas normales y focos halógenos, si bien no se pueden fabricar más de 800 bombillas normales ni más de 600 focos halógenos. Se sabe que la fábrica vende todo lo que produce. Averiguar razonadamente cuántas bombillas y cuántos focos debe producir para obtener la máxima facturación posible y cuál sería ésta. (J01,opción A) 28.- Una industria fabrica bolígrafos que vende a 400 pts. Cada uno y plumas estilográficas que vende a 1200 pts. cada una. Las máquinas limitan la producción de manera que cada día no se pueden producir más de 200 bolígrafos ni más de 150 plumas estilográficas, y el total de la producción (bolígrafos más plumas) no se puede sobrepasar las 250 unidades. La industria vende siempre toda la producción. Deducir razonadamente cuántos bolígrafos y plumas estilográficas debe producir al día para maximizar el beneficio y cuál sería éste. (J01,opción B) 29.- El INSERSO debe organizar un viaje para 800 personas con cierta empresa que dispone de 16 autobuses de 40 plazas cada uno y 20 autobuses de 50 plazas cada uno. El alquiler de un autobús pequeño cuesta 3000 pta y el alquiler de un autobús grande cuesta 4000 pta. Averiguar razonadamente cuántos autobuses de cada clase hay que contratar para minimizar el coste y cuál sería el mínimo coste, sabiendo que la empresa sólo dispone de 18 conductores. (S01,opción A) 30.- Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete que vende de tipo A y 5 € por cada uno de los que venda de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. (J02,opción B) 31.- Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan pasar por los talleres X e Y. En cada uno de los talleres se trabaja 100 horas a la semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y una hora del Y y cada aparato B, 1 y 2 horas, respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 € y cada aparato B, a 150 €. a) Obtener razonadamente cuántos aparatos de cada tipo han de producirse para que el ingreso por ventas sea máximo.
37.- Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio. (J04,opción B) 38.- Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 € al día el funcionamiento del primer taller y 960 € el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientas que el segundo produce 2, 2 y 12 archivadores, respectivamente. ¿Cuántos días debe trabajar cada taller para, cumpliendo el contrato, conseguir reducir al máximo los costes de funcionamiento? ¿Cuál es el valor de dicho coste? ¿Quedaría algún excedente de algún producto en los talleres? En caso afirmativo, determinar cuánto. (S04,opción A) 39.- Calcular los puntos de la región definida por: donde la función alcanza los valores máximo y mínimo. Calcular dichos valores. (S04,opción B) 40.- Un vendedor dispone de 350.000 € para invertir en dos tipos de microondas. El que dispone de más accesorios tiene un coste de 150 € y reporta un beneficio de 15 € por unidad vendida, mientras que el otro modelo sólo proporciona un beneficio de 11 € por unidad vendida y tiene un coste de 100 €. Sabiendo que sólo se pueden almacenar 3000 microondas y que no se venderán más de 2000 del modelo más caro, determinar cuántos microondas de cada clase se deben comprar para maximizar el beneficio y calcular éste. (J05,opción B) 41.- Representa la región factible dada por el sistema de inecuaciones: Y hallar los puntos de la región en los que la función alcanza los valores máximo y mínimo y obtener dichos valores.
(S05,opción A) 42.- Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un mínimo de 36 mgr. de vitamina A, 28 mgr. de vitamina C y 34 mgr. de vitamina D. Estas necesidades se cubren tomando pastillas de la marca Energic y de la marca Vigor. Cada pastilla de la marca Energic cuesta 0’03 € y proporciona 2 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 8 mgr. de vitamina D. Cada pastilla de la marca Vigor cuesta 0’04 € y proporciona 3 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 2 mgr. de vitamina D. ¿Cuántas pastillas de cada marca se han de tomar diariamente si se desean cubrir las necesidades básicas con el menor coste posible?. Determinar dicho coste. (J05,opción A) 43.- Una empresa farmacéutica tiene en la actualidad dos líneas de investigación, la de medicamentos antiinflamatorios no esteroides y la de los fármacos ansiolíticos. Desea invertir en la investigación a lo sumo tres millones de euros, con la condición de dedicar por lo menos 1’5 millones de euros a los ansiolíticos, con lo que espera obtener un beneficio del 10%. En cambio en la investigación sobre medicamentos antiinflamatorios, aunque se calcula un beneficio del 25%, no se debe invertir más de un millón de euros. ¿Qué cantidad debe dedicar a cada línea de investigación para maximizar beneficios, si además debe dedicar a los ansiolíticos al menos el doble de dinero que a los antiinflamatorios? ¿Qué beneficio obtendrá de esta forma la empresa?. (S05,opción B) 44.- Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000, 250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora es del 13,75 %, la de la segunda del 11,25 % y, finalmente, la de la tercera es del 10 %. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado. (J06,opción A) 45.- Determina la matriz A que verifica la ecuación , donde y representa la matriz transpuesta de B. (S06,opción A) 46.- Una destilería produce dos tipos de whisky blend mezclando solo dos maltas destiladas distintas, A y B. El primero tiene un 70 % de malta A y se vende a 12 €/litro, mientras que el segundo tiene un 50 % de dicha malta y se vende a 16 €/litro. La disponibilidad de las maltas A y B son 132 y 90 litros, respectivamente ¿Cuántos litros de cada whisky debe producir la destilería para maximizar sus ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en más del 80 %? ¿Cuáles serían en este caso los ingresos de la destilería? (S06,opción A)
53. Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje entre urbanizaciones diferentes. Las ganancias por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y 6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B. 54. Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo íntegramente comprando un ordenador portátil, una cámara y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la suma de los precios de la cámara y el viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en caso de que no le comprara la cámara digital y todavía le quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje. 55. Resuelve el sistema: Si ( x , y , 0 ) es una solución del sistema anterior, ¿cuáles son los valores de x y de y? 56. En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada normativa. Determina cuántos de los entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no opinaron. 57. En un cine se han vendido en una semana un total de 1405 entradas y la recaudación ha sido de 7920 euros. El precio de la entrada normal es de 6 euros y la del día del espectador 4 euros. El precio de la entrada para los jubilados es siempre de 3 euros. Se sabe, además, que la recaudación de las entradas de precio reducido es igual al 10% de la recaudación de las entradas normales. ¿Cuántas entradas de cada tipo se han vendido? 58. Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros, los del tipo B a 500 euros y los del tipo C a 250 euros. En un mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la cantidad de los que vendió ese mes del tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y de tipo C conjuntamente, calcula cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese mes fue de 73500 euros. 59. Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades de memoria externa, de lectores de libros electrónicos y de tabletas gráficas a un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total de la compra fue de 1160
euros y el número total de unidades adquiridas 9. Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que de lectores de libros electrónicos. ¿Cuántas unidades adquirió de cada producto?
60. Después de aplicar un descuento del 10% a cada uno de los precios originales, se ha pagado por un rotulador, un cuaderno y una carpeta 3,96 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula el precio original de cada objeto. 61. Cierta persona invierte un total de 7000 € en acciones de las empresas A y B y en un depósito a 12 meses al 1 %. Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una rentabilidad del 5 % en las acciones de la empresa A y del 3 % en las de B. El beneficio total de sus tres inversiones es 202 €. Determina qué cantidad destinó a cada inversión si sabemos que el dinero total destinado a comprar acciones superó en 2600 € al dinero del depósito. 62. En una sucursal de una agencia de viajes se vende un total de 60 billetes de avión con destino a Londres, París y Roma. Sabiendo que el número de billetes para París es el doble de los vendidos para los otros dos destinos conjuntamente y que para Roma se emiten dos billetes más que la mitad de los vendidos para Londres, ¿cuántos billetes se han vendido para cada uno de los destinos? 63. Determina la matriz X que verifica A X + I = A Bt^ , siendo I la matriz identidad, A y y Bt^ la traspuesta de la matriz B. 64. Dada la matriz a) Halla su inversa. b) Resuelve la ecuación 65. Obtén todas las matrices columna que sean soluciones de la ecuación matricial A X = B , siendo y ¿Cuáles de esas matrices X tienen la primera fila nula? 66. Obtén la matriz X que verifica:
b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior. c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f(x,y) = 3 x – y en dicha región. Determina dicho valor mínimo.
75. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A se obtiene un beneficio de 2,50 euros y 3 euros por cada una del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo? 76. Una empresa va a construir dos tipos de apartamentos, uno de lujo y otro de superlujo. El coste del modelo de lujo es de 1 millón de euros y del de superlujo 1, millones, disponiendo para la operación 60 millones de euros. Para evitar riesgos, se cree conveniente construir al menos tantos apartamento de lujo como de superlujo y, en todo caso, no construir más de 45 apartamentos de lujo. ¿Cuántos apartamentos de cada tipo le interesa construir a la empresa si quiere maximizar el número total de apartamentos construidos? ¿Agotará el presupuesto disponible? 77. Dado el siguiente sistema de inecuaciones: a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del mismo y determina sus vértices. b) Obtén los puntos donde la función f(x, y) = 2 x – 3 y alcanza los valores mínimo y máximo en dicha región. 78. En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas, grandes y pequeñas. Cada ensaimada grande requiere para su elaboración 500 g. de masa y 250 g. de relleno, mientras que una pequeña requiere 250 g. de masa y 250 g. de relleno. Se dispone de 20 kg. de masa y 15 kg. de relleno. El beneficio obtenido por la venta de una ensaimada grande es de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros. a) ¿Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio obtenido sea máximo? b) ¿Cuál es el beneficio máximo? 79. Un ganadero dispone de alimento concentrado y forraje para alimentar sus vacas. Cada kg. de alimento concentrado contiene 300 gr. de Proteína Cruda (PC), 100 gr. De Fibra Cruda (FC) y 2 Mcal. de Energía Neta de Lactancia (ENL) y su coste es 11 euros. Por su parte, cada kg. de forraje contiene 400gr. de PC, 300 gr. de FC y 1 Mcal. de ENL, siendo su coste de 6,50 euros. Determina la ración alimenticia de mínimo
coste si sabemos que cada vaca debe ingerir al menos 3500 gr. de PC, 1500 gr. de FC y 15 Mcal. de ENL. ¿Cuál es su coste?
80. El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas mejor va a confeccionar dos tipos de paquetes. El tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos bombones y se venderá a 1,50 euros. El tipo B estará formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 euros. ¿Cuántos paquetes de cada tipo conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determina los ingresos máximos. 81. Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en la compra de dos tipos de aparatos, A y B, pudiendo almacenar en total hasta 80 aparatos. Cada aparato de tipo A le cuesta 15 euros y lo vende a 22, cada uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17 euros. ¿Cuántos aparatos debe comprar de cada tipo para maximizar su beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo? 82. Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales: a) Resuélvelo gráficamente. b) Halla el máximo y el mínimo de la función z = 2 x + y en el conjunto solución de dicho sistema. 83. Un estudiante reparte propaganda publicitaria para conseguir ingresos. Le pagan 8 cts. de euro por cada impreso colocado en el parabrisas de un coche y 12 cts. por cada uno depositado en un buzón. Ha calculado que cada día puede repartir como máximo 150 impresos y la empresa le exige diariamente que la diferencia entre los colocados en coche y el doble de los colocados en buzones no sea inferior a 30 unidades. Además, tiene que introducir en buzones al menos 15 impresos diariamente. ¿Cuántos impresos debe colocar en coches y buzones para maximizar sus ingresos diarios? ¿Cuál es este ingreso máximo?
