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MasMates.com Colecciones de ejercicios Selectividad CCNN 2007
1. [ANDA] [JUN-A] Considera A = 1 - 1
a) Determina la matriz B = A^2 -2A. b) Determina los valores de para los que la matriz B tiene inversa. c) Calcula B-1^ para = 1.
2. [ANDA] [JUN-B] a) Calcula la matriz inversa de A =
b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A-1^ hallada en el apartado anterior:
x+y = 1 y+z = - x+z = 3
3. [ANDA] [SEP-A] Sean I la matriz identidad de orden 2 y A = 1 m 1 1
a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A-I)^2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2. b) Para m = 2, halla la matriz X tal que AX - 2At^ = O, donde A t^ denota la matriz traspuesta de A.
4. [ANDA] [SEP-B] Se considera el sistema de ecuaciones
ax+y+z = 4 x-ay+z = 1 x+y+z = a+
a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = -2.
5. [ARAG] [JUN-A] Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y y z:
x+3y+z = 5 mx+2z = 0 my-z = m a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para m = 1. b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones. c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución.
6. [ARAG] [JUN-B] Un cajero automático tiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y total almacenado de 2000 euros. Si el número total de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20, averiguar cuantos billetes de cada tipo hay. 7. [ARAG] [SEP-A] Dadas las matrices A = 3 1 -8 -
, I = 1 0
a) Comprobar que det A 2 = det(A) 2. b) Estudiar si para cualquier matriz M = a b c d
de orden 2 se cumple que det M^2 = det(M) 2.
c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen det(M+I) = det(M)+det(I).
8. [ARAG] [SEP-B] Sean A =
y B =
1 k t 0 1 k 0 0 1
a) Estudiar para qué valores de y la matriz A tiene inversa. b) Calcular A^5. c) Hallar la matriz inversa de B.
9. [ASTU] [JUN] Sean las matrices A =
1 a 1
y B =
1 a 1 1+a
a) Estudia, en función de a, el rango de las matrices A y B. b) Calcula, para a = -1, la matriz X que verifica A·X = B.
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10. [ASTU] [JUN] Cierto país importa 21.000 vehículos de tres marcas A, B y C al precio de 10.000, 15.000 y 20.000 euros respectivamente. El total de la importación asciende a 322 millones de euros. Se ha observado que también hay 21.000 vehículos contando solamente los de la marca B y veces los de la A. a) Plantea un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema en función del número de vehículos de cada marca. b) Establece el número de vehículos de cada marca suponiendo = 3. c) Estudia si existe algún valor de para el cual la situación no pueda darse en el campo de los números reales. 11. [ASTU] [SEP] Sea la matriz A =
a) Comprueba que verifica A^3 -I = O, con I la matriz identidad y O la matriz nula. b) Calcula A^12. c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas halla la matriz X que verifica la igualdad A 2 X + I = A.
12. [ASTU] [SEP] Dado el sistema
2x+y = a (1-a)x-y = 1 ax+y = a
a) Estudia su compatibilidad, según los valores de a. b) Resuélvelo cuando sea posible.
13. [C-LE] [JUN-A] Hallar para qué valores de a es inversible la matriz A = a 4+3a 1 a
y calcular la inversa para a = 0.
14. [C-LE] [JUN-B] Sean las matrices A =
, B =
, C =
, D =
y E =
a) Hallar la matriz AB t, donde B t^ indica la matriz traspuesta de B. ¿Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz A tD.
c) Calcular M =
x y z
que verifique la ecuación ABt+C M = E.
15. [C-LE] [SEP-A] Se considera el sistema
x+y+az = 4 ax+y-z = 0 2x+2y-z = 2
, donde a es un parámetro real.
a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a = 1.
16. [C-LE] [SEP-A] Sean X una matriz 2x2, I la matriz identidad 2x2 y B = 2 1 0 1 . Hallar X sabiendo que BX+B = B^2 +I. 17. [C-LE] [SEP-B] Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz A =
2 1 m 1+m 2 3 -2 -1 2
18. [C-MA] [JUN] Calcula el rango de la matriz A =
en función del parámetro . ¿Para qué valores del parámetro
tiene inversa la matriz A? (No se pide hallarla).
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30. [EXTR] [SEP-B] Calcula la matriz X tal que A^2 X = A, siendo A = 1 2 1 1
31. [MADR] [JUN-A] Estudiar el rango de la matriz A =
m m-1 m(m-1) m 1 m m 1 m-
según los valores del parámetro m.
32. [MADR] [JUN-A] Sean las matrices A = 2 0 0 -
y B = 8 - 6 -
. Hallar una matriz X tal que XAX -1^ = B. 33. [MADR] [JUN-B] Dadas las matrices A =
y B =
a b 0 c c 0 0 0 1
se pide:
a) Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b y c para que se verifique AB = BA. b) Para a = b = c = 1, calcular B^10.
34. [MADR] [SEP-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales
x+(k+1)y+2z = - kx+y+z = k (k-1)x-2y-z = k+
, se pide:
a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.
35. [MADR] [SEP-B] Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA^2 +BA = A 2 , siendo: A=
y B=
36. [MADR] [SEP-B] Dado el sistema de ecuaciones x+2y-3z = 3 2x+3y+z = 5
, se pide:
a) Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax+y+bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4.
37. [MURC] [JUN] i) Definiciñon de rango de una matriz.
ii) Calcular el rango de A según los valores del parámetro k: A =
k k 3 - -1 3 3 0
iii) Estudiar si podemos formar una base de ^3 con las columnas de A según los valores del parámetro k. Indique con qué columnas.
38. [MURC] [JUN] i) Clasificar el siguiente sistema según los valores del parámetro k:
kx+y-2z = 0 -x-y+kz = 1 x+y+z = k
ii) Resolver el sistema por Cramer para k = 2.
39. [MURC] [SEP] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Estudiar y resolver, cuando sea posible, el sistema siguiente: ax+by = 0 x+y = a
40. [MURC] [SEP] Calcule, si es posible, la inversa de la matriz A =
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41. [RIOJ] [JUN] Sea P(x) =
x 1 1 1 1 x 1 1 3 3 x 3 3 3 3 x
. Halla las raíces de este polinomio de grado cuatro. 42. [RIOJ] [JUN] Discute, en función de los valores de a, y resuelve, en los casos en los que sea posible, el siguiente sistema de
ecuaciones lineales:
x-y-az = 1 -3x+2y+4z = a -x+ay+z = 0
43. [RIOJ] [SEP] Obtener, en función de a, b y c, el determinante de a =
1+a 1 1 1 1 1+b 1 1 1 1 1+c 1
44. [VALE] [JUN] Dadas las matrices B(x) =
x+2 4 6 2x+3 3 6 4x+4 2 6
y C(y) =
3y+5 7 12 2y+3 3 6 3y+4 2 6
a) Calcular el determinante de la matriz 3B(x) y obtener el valor de x para el que dicho determinante vale 162. b) Demostrar que la matriz C(y) no tiene inversa para ningún valor real de y.
45. [VALE] [JUN] Dado el sistema de ecuaciones lineales
x+y+z = 9 3x+5y+z = 9 x+y+z = 9
se pide:
a) Probar que es siempre compatible, obteniendo los valores de para los que es indeterminado. b) Resolver el sistema anterior para = 7.
46. [VALE] [SEP] Dado el sistema de ecuaciones lineales
6x+3y+2z = 5 3x+4y+6z = 3 x+3y+2z =
se pide:
a) Justificar que para cualquier valor del parámetro real , el sistema tiene solución única. b) Hallar la solución del sistema en función del parámetro . c) Determinar el valor de para el que la solución x,y,z del sistema satisface x+y+z = 1.
47. [VALE] [SEP] Dadas las matrices A = 6 4 -1 1
y X = x y
, se pide:
a) Obtener razonadamente todos los valores de para los que 0 0
es la única solución de la ecuación AX = X.
b) Resolver la ecuación matricial AX = 2X.
Soluciones
1. a) B = (^) -2-1^ 2 1--2-1 b) {-1,3} c) -1 2 01 01 2. a) 21
1 -1 1 1 1 - -1 1 1
b) (3,-2,0) 3. a) 0 b) (^) -2^6 20 4. a) a = -1: -^32 ,5-2k 2 ,k k b) -^43 ,1,^13 5. a) m{-1,0}, (-2,2,1)
b) m = 0: (5-3k,k,0) c) m = -1. 6. 50, 25, 20 7. b) si c) ac^ -ab 8. a) Nunca b)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
c)
1 -k (^) k^2 -t 0 1 -k 0 0 1
9. a) a = -1 2 , rg(A)=rg(B)=2 ; a -1 2 , rg(A)=rg(B)=3. b)
1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
10. a)
x+y+z = 21000 2x+3y+4z = 64400 x+y = 21000
b) 1400, 16800, 2800 c) = 2 11. b) I c)
0 2 4 0 -1 - -1 0 1
12. a) a{-1,2} inc. ; a{-1,2} c.d. b) a = -1: (0,-1) ; a = 2: (3,-4) 13.
a{-1,4} ;^1 4
0 4 1 0
14. a)
7 2 - 14 4 - 21 6 -
, no b) (10) , 1 c)
-7/ 1
: inc. ; a = 1: c.i. ; a -^1 2
,1 : c.d. b) (k,2-k,2) k 16.^1 2
3 1 0 2
17. m{-2,3}: 2 ;
m{-2,3}: 3 18. 0,^1 2
rg = 2, no existe inversa. 0,^1 2
rg = 3, existe inversa. 19. a = 0: c.i. (0,0,c) c ; a 0: c.d. (0,0,0) 21. a) 10 -7 3 b) (^) -1^1 -4-5 , -1 5 2 7.^ 22.^ -1^ 23.^ inc.^ k^ 24.^
0 2 -2 -2 25.^ a = -4: c.i.^ k,-
24k 5 ,-
4k 5 ; a = 2: c.i. (k,0,-2k) ; a^ {-4,2} c.d.^ (0,0,0)^ 26.^ p=0, q=1 ; A^
(^10) =A 27. a = 4: 1 ; a 4: 2.
