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FA
CULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
SISTEMA DE PARTÍCULAS CENTRO DE MASA VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA
AUTORES:
- PÉREZ DELGADO, Erick J. (https://orcid.org/0000- 0002 - 6906 - 3574 )
- PEREZ ESPINOZA, José B. (https://orcid.org/0000- 0002 - 8080 - 154X)
- QUINDE VASQUEZ, José B.S.(https://orcid.org/0000- 0003 - 1973 - 1965 )
- SALDAÑA CHAVEZ, Leticia (https://orcid.org/0000- 0003 - 1413 - 618X)
- SALDAÑA GUEVARA, Pierre H. (https://orcid.org/ 0000 - 0003 - 1600 - 6944 )
- SALDAÑA SANCHEZ, Ledith (https://orcid.org/0000- 0003 - 3527 - 2519 ) ASESORA: ING. CORDOVA FARFÁN, Sergio Alipio MOYOBAMBA- SAN MARTIN 2022-I I. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................ 3 II. DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS........................................................................... 4
CONTENIDO
- III. MASA TOTAL...............................................................................................................................
- IV. DENSIDAD DE MASA..................................................................................................................
- a. VOLUMÉTRICA.............................................................................................................................
- b. SUPERFICIAL...............................................................................................................................
- c. LINEAL
- V. CENTRO DE MASA (CM).............................................................................................................
- 5.1 DIFINICIÓN.................................................................................................................................
- 5.2 VELOCIDAD DE MASAS..........................................................................................................
- 5.3 ACELERACIÓN DE MASAS.....................................................................................................
- 5.4 POCISIÓN RELATIVA DE CENTRO DE MASAS.....................................................................
- VI. CANTIDAD DE MOVIMIENTO...................................................................................................
- VII. MOVIMIENTO CINÉTICO.........................................................................................................
- 7.1 DESCOMPOSICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR....................................................................
- VIII. ENERGÍA CINÉTICA...............................................................................................................
- 8.1 DESCOMPOSICIÓN DE ENERGIA CINETICA.........................................................................
- IX. EJERCICIO:...............................................................................................................................
- X. CONCLUSIONES:.......................................................................................................................
- XI. BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................................................
- I. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................
- II. DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS...........................................................................
- III. MASA TOTAL...............................................................................................................................
- IV. DENSIDAD DE MASA..................................................................................................................
- a. VOLUMÉTRICA.............................................................................................................................
- b. SUPERFICIAL...............................................................................................................................
- c. LINEAL
- V. CENTRO DE MASA (CM).............................................................................................................
- 5.1 DIFINICIÓN.................................................................................................................................
- 5.2 VELOCIDAD DE MASAS..........................................................................................................
- 5.3 ACELERACIÓN DE MASAS.....................................................................................................
- 5.4 POCISIÓN RELATIVA DE CENTRO DE MASAS.....................................................................
- VI. CANTIDAD DE MOVIMIENTO...................................................................................................
- VII. MOVIMIENTO CINÉTICO.........................................................................................................
- 7.1 DESCOMPOSICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR....................................................................
- VIII. ENERGÍA CINÉTICA...............................................................................................................
- 8.1 DESCOMPOSICIÓN DE ENERGIA CINETICA.........................................................................
- IX. EJERCICIO:...............................................................................................................................
- X. CONCLUSIONES:.......................................................................................................................
Esta aproximación es una gran unidad cuando se estudia los choques , por ejemplo el de una pelota con una raqueta, el tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedios que ejerce la raqueta es de varios cientos o miles de newtons, esta fuerza es mucho mayor que la gravedad , por lo que se puede analizar la aproximación del impulso, cuando se analiza esta aproximación , es importante recordar que los momentos lineales inicial final se refieren al instante antes y después de la colisión respectivamente.
II. DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS
En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de N partículas que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas. El número de partículas que forman un sistema puede ser muy variado e ir desde 2 (por ejemplo, al estudiar un átomo de hidrógeno), hasta cantidades gigantescas (por ejemplo, en 1 l de agua hay del orden de 10^24 partículas). Cuando el número de partículas es reducido se puede abordar el problema dinámico analizando cada una por separado. Cuando es elevado, es preciso recurrir a promedios y descripciones colectivas (como la mecánica estadística, la elasticidad o la mecánica de fluidos). Los sistemas se clasifican en abiertos o cerrados. Un sistema cerrado es aquél en el que no entra ni salen partículas del sistema. Por tanto, su masa permanece constante. Un sistema abierto es aquel que permite el paso de partículas (y por tanto masa) a través de los límites del sistema. Aquí consideraremos solo sistemas cerrados. Entre las fuerzas internas en un sistema estarían, por ejemplo, las fuerzas eléctricas de atracción entre las cargas de un sistema de protones y
electrones, o la atracción gravitatoria entre las estrellas de una galaxia. Entre las fuerzas externas figura, por ejemplo, el peso de un sistema de partículas, originado por la atracción de un cuerpo externo como la Tierra. Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, mi , siendo un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula i está caracterizada por una posición y una velocidad. Esta posición y esta velocidad evolucionan de acuerdo con las leyes de la dinámica Siendo la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula i. Esta resultante se compone de las fuerzas internas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre i , más la resultante de las fuerzas externas (causadas por un agente externo al sistema) aplicadas sobre ella. Suponemos que las interacciones entre las partículas obedecen la 3ª ley de Newton o, lo que es lo mismo
contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo , esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes. Se define entonces la densidad de masa, , de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro. Un material homogéneo es aquel en que sus propiedades son iguales en todos sus puntos. Para este tipo de materiales
A menudo, un sistema compuesto está formado por varias partes cada una de las cuales es homogénea. En ese caso En ese caso podemos definir una densidad media como
b.SUPERFICIAL
Aunque en principio todas las masas ocupan un volumen en el espacio hay ocasiones (una chapa metálica, una hoja de papel…) en las que se concentran en una superficie de pequeño espesor. En ese caso, se define la densidad superficial de masas Esta densidad de masa se mide en kg/m² en el SI. La densidad superficial de masa, como la volumétrica, es una función de la posición, por lo que la masa total será la suma de las de todos los trozos en que se divide la superficie
El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen Equivalentemente se cumple En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen El centro de masas siempre ocupará una posición intermedia entre las posiciones de las diferentes partículas del sistema. Así, en un triángulo formado por masas iguales, el centro de masas es el llamado baricentro, que se encuentra siempre en el interior. No obstante, hay que destacar que el centro de masas de un sistema de partículas no tiene por qué coincidir con ninguna de las partículas que lo componen. De hecho, en el caso de un sistema sólido, es perfectamente posible que el centro de masas esté fuera del sólido. Por ejemplo, en un salto de altura estilo
Fosbury, el atleta pasa por encima del listón, pero su centro de masas pasa por debajo de él (consiguiendo el deportista arrancar así unos cuantos centímetros más en el salto).
5.2 VELOCIDAD DE MASAS
El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo
5.3 ACELERACIÓN DE MASAS
Derivando de nuevo respecto al tiempo, hallamos la aceleración con la que se mueve el centro de masas.
5.4 POCISIÓN RELATIVA DE CENTRO DE MASAS.
Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente nula, se cumple De manera análoga se define la velocidad relativa al CM
esto es En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste. De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula. Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas.
VII.MOVIMIENTO CINÉTICO
De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales.
7.1 DESCOMPOSICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR
Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.
Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centro de masas más la posición o velocidad relativas Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice i El segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a donde es el momento cinético relativo al centro de masas. Empleando la notación del tema de dinámica, lo denotaríamos como. Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas
con La energía cinética del sistema relativa al centro de masas. Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, K,^ es parte de la energía interna del sistema. Puede estar asociada a: Un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su eje. Un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica. Una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos. Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del sistema es normalmente desconocida. En su lugar el estudio de los sistemas suele limitarse a la suma del término con la suma de la
energía cinética intrínseca debida a los movimientos macroscópicos (rotación, vibración, etc.).
IX.EJERCICIO:
A 1 =0,0384 m A 2 =0,0396 m xG 1 =0,06 m xG 2 =0,028 m yG 1 =0,165 m yG 2 =0,06 m
- Finalmente, una puntualización. En este apartado hemos estudiado cómo determinar distintas magnitudes físicas del centro de masas de un sistema formado por varias partículas distinguibles, es decir, que constituyen un sólido rígido discreto. El cálculo para los sólidos rígidos continuos queda fuera del alcance de este nivel.
XI.BIBLIOGRAFÍA
https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinamsist/cdm.html
