Ejercicios sobre la funcion gamma, Ejercicios de Cálculo Avanzado

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- + LA FUNCION GAMMA Y- SUS APLICACIONES lp, : a y Pedro Pablo Cabezas 0. .proroco T Bd. 35 érmino general de funci Án, en matemáticas, es de ancia extraordinaria y de mucha utilidad. Así lo ntendido los investigadores de esta rama de la cien quienes le han dedicado el tiempo suficiente y el s por ella exigido, para desarrollar una teería nte exhaustiva sobre el tema. o es de tener en cuenta, que tal concepto no es cosa que una particularización de otro más general; "LAS RELACIONES". objeto del trabajo es, ofrecer el conocimiento más ido de una función muy importante tanto en matemáti- omo en muchas ramas del saber humano. Esta se cono- el nombre de "FUNCION GAMMA". la última afirmación, me limitaré a dar las defi es, propiedades, uso en la estadística matemática jrtas aplicaciones en la investigación de opexpcio- dicha función. general está descontado, por la aplicación de tadística a la casi totalidad de las ciencias, en- 14 tre otras: Educación, Agronomía, MSLgete Física, Quími — ca, Sociología, etc. : E j La historia nos dice, que el Primero en iniciar el estu- dio analítico de esta función £ué el alemán EULER, quien secundado por otros insignes colegas, entre ellos IEC: lo dejó muy avanzado. A partir de esta función, se define otra no menos impor tante que la primera llamada la "FUNCION BETA”. Las dos comunmente se denominan "FUNCIONES EULERIANAS" , La convergencia absoluta está asegurada por el sigui te teorema; 1-2 El producto infinito yn (1+a,) es absolutamente n=1 A “o convergente sii la serie Ln es absolutamente co: vergente. Como último criterio de convergencia se tiene que el producto infinito es absolutamente convergente o no, si “9 ¡2 In(1 + a,) Weierstrass consideró el siguiente producto infinito; Ld z zo? TU la + 5) e 3] (1 n=1 3 donde z 9 € (conjunto de los números complejos), ne Mm (conjunto de los números naturales) y Y ER (conjunto los números reales). . lo es o no la serie Esta Y se conoce como constante de Euler o Maschero: su definición es; Y = lím [2 rd, as +i- 108 a] n—o La convergencia de Y se demuestra de la siguiente nera; ero. 42 -1log nm m sea Y = +1+ » 2 au jr 1 1 y e. AL m n mm 2 O A dd +1). A E -$, - dea 2) ndo en po que 1 1 E a y. entonogs p Í dotb ol o ts ei E6 0 10D i | 22 + 3% pe se ii PER BA y .(2), lio Sis z eb es un polo ASES 1 ón “en estuáio. Teniendo en heta la simbología de A > EN qua) e a a 63) efecto basta desarrollar los productos indica- n la (2) y tonar límito.. Esta. expresión es usada: relativa frecuencia, como la definición fundamental E función Gamma; su originalidad se la disputan gu= Gauss. finición más corriente: Dado 6l grado de dificul «se presenta, en“la parte operativa, para calcu- os particulares con"las définiciones anteriores, atemáticosdedícados'al estudio de la función en trataron de facilitar, o por lo menos reducir, 20 ese grado de dificultad. Él éxito fue to medio del cálculo integral lograron una velente a las dadas, convirtiéndose en la mún de presentarla los libros que hacen al: . La integral impropia [-* e as general, una función analítica de z el c mayor que cero (kz) significa la parte A esta integral Logendre la denominó =1n ríana de segunda clase". La de primera « 8 “rrespondiente a la función Beta, que luego | Wiittaker y vatson en su libro "Un curso de derno" dicen que si K(2) > 0, entonces +0 2 > Pis =/ (e artos... (1) + o 2 donde k es el entero más cercano a - Mz), € función no está definida para z = 0, -1, que como se dijo antes son los polos simples ción. . |. Conol: +. Analigando otonidanente Ep se po establecer la equivalencia De la definición dada por Yeierstrass se lle ciertos cálculos, a 4% dada por guler, en el Po A a a UA a 22 CUEPFL TU LO “II La función Ganna- es una de les más ricas en propi 5 des. Esta cualidad hace: que tenga relaciones muy Ínt. con casi todos-1os Aópicos que abarca la matemática. lo pe funció dl La sinidón] Gamme sirve como. sop te para definir o estudiar, según el caso, casi. todas lag «funciones trpadóndental og a: ellas a la £unci Beta, — Logenáre To aió el nombre de Integral Euleriana de primera clesu cla: Sigiténte integral; / a 5: ¿ml ES A a Para 19)>0 Sr Xa) 70. Como se pe notar, es una PA que depende de los parámetros pl y q, 0 sea es una £unoión y se Ta den mina Beta, entonces" * y das toy" ob ya 93 : 1 e Mas E (1-07 a, 13)>0, 9) La Primera relación que se puede establecer entre 1; función camma'y la Beta es la siguiente; y » 23 1 es un entero positivo Fiz) = lín 2” P(a,m) no ; p : Laden -1 y que Pts) 00; Mn SIA O) EA OR EA ciente demostrar la igualdad; E 1.2.3. ... «(n-1 Plan] - z(2+1) -.. (2-1) icando el método de integración por partes a la in _que define la función Beta se puede establecer el sultado y por lo tanto comprobar la relación es ida entre las dos funciones. Pero la relación más mte la estableció guler por medio. de la. expresií 'stración la presenta sokolnikoff en su libro sed calculus”. : Relación entre las funciones gamma y Factorial. nción no menos importante que la Gamma, en el Cál Probabilidades y por tanto en la Estadística, es - ón factorial. cialmento se definió osta función teniendo como do el conjunto de los números naturales y por nota- (la cual persiste), de la siguiente forma; 3 n né mw entonces nt =J[ ; i=1 oría de la función Gamma fue desarrollada para- ite- con el problema de generalización de la funci” 25 nx) = qa) 2 (1) ÍA) F( xn) leon funcional K xl) = 2 xx) o: se cumple; sin embargo son las más caracteriza- e la familia y quienes hacen mejor uso de dicha la práctica, el trabajo de las des funciones es entario, ya que si se trata de calcular la fun- anna para n € WN, se utiliza la función factorial. | contrario, si es de calcular el factorial de un o real, excepto los enteros negativos dd que Ot=1) ca la función Gamma. E. ación entre las funciones gamma y goniométricas akor y Watson en su 1ábro citado anteriormente y tin en "the Gamma Function", traen la siguiente n funcional; pet sen Az F(=) Mi=x) = A ' son nz = EA E] es ponen de manifiesto la relación entre la fun- anne y la función sen., pero cualquier función go= rica fundamental se puede expresar en función de jstantes; esto hace que se extienda la aplicabili- > la función Gamma a las goniométricas y a todos Sería interminable tratar casos donde la funci tudio interviene, esto hace necesario presentar su bilidad en un caso muy ecial, pero no menos como es en la Estedística, Quo Eee 28 el espacio muestral y los sucesos de un experi m ento | es importante sabor con qué grado de confianza se pue de afirmar que va a ocurrir un suceso cualquiera, es to es, conocer su probabilidad. Esta se puede presen= tar por medio de tablas o a partir de una función de dominio el intervalo unitario (1). Además, la función debe ser no negativa y su sumatoria o integral, en to do el recorrido, igual a la unidad; cualquier función que cumpla con estas propiedades se la denomina fun- ción de distribución de probabilidad. Esto es, f es una función de distribución de probabilidad si fi KX)—>I (R = recorrido) tal que > £(x)>0 para todo xenx, y Ni) -=1v $ dr = 1 Yxex a Si f es discreta, f(x) es la probabilidad de que su variable aleatoria tome el + valor x; en el caso de ser continua, indica la probabilidad de que la varia- ble aleatoria tome los valores comprendidos entre x y X+dx (dx = diferencial de x). d) Función Acumulativa de Probabilidad. Para respondór a preguntas como "cuál es la Probabilidad de que una ¿ variable aleatoria sea menor o igual que un número de terminado", P(X< x); o a "hallar la probabilidad de que una variable aleatoria-sea mayor que x", P(X>x), etc., se define una función P, así; ' Pi AX) —=>I Y ora) si x es discreta Xex bs PAX) probabilidad. Esto ocurre para los siguientes valo res particulares de los parénotrgsa y B. al = 1, entonces 1: 25 ES 7 dx, 1,p) 2 — x>0 Der x<0 la cual es la función de distribución de probabilidad exponencial de parámetro Á = 4 , distribución que es y útil en los procésos estocásticos y la ¡¿eoríc de colas. sid=% Fm y p=2 llo: oz 2/2). :(3/2) ex H, 2)3 2/2): fn/2) Sr le) x US o 32 función de distribución que recibe el nombre de ji cuadrado con n grados de libertad (o valores indepen- dientes que puede tomar la variable), en forma simbó- lica Xi" Tna pa te e importante de esta distribución es ] que; si X es una variable aleatoria cuya distribución es normal de media (Esperanza) cero y de varianza 1, entonces la variable aleatoria x” tendrá como distri- bución una O (já cuadrado con 1 grado de libertad a función acumulativa de probabilidad es, según la definición general, a) ELA P) = G[X> 8) = » OT dz que, como se verá más adelante, es la distribución del tiempo de ocurrencia del evento r-ésimo, después del tiempo inicial, de un proceso de Poisson con pa- rámetro A= 7 (parámetro de la exponencial). c) La distribución Feta. Otra distribución continua de frecuente ocurrencia en la teoría estadística y que - utiliza como soporte a la función Gamma, es la ción de distribución Beta. Una variable aleatoria X sigue una distribución Beta si; Xx,P9)= O a E 0 en otro caso donde p y q son parámetros reales positivos.