Función Gamma, Resúmenes de Matemáticas

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Función Gamma

SEMANA 02 SESIÓN 01

Matemática para

ingenieros 2

ESQUEMA DE LA UNIDAD INTEGRALES IMPROPIAS FUNCIÓN GAMMA ÁREAS EN COORDENADAS POLARES FUNCIÓN BETA (^) COORDENADAS POLARES GRÁFICAS DE CURVAS POLARES

0 +∞ 𝑒 −𝑢^2 𝑑𝑢 =

න 𝒖𝒅𝒗 = 𝐮. 𝐯 − න 𝒗. 𝒅𝒖 Integral difícil (^) Integral fácil

INTEGRACIÓN POR PARTES

INTEGRAL DE POISSON

𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − න 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

FUNCIÓN GAMMA DEFINICIÓN Siendo 𝑥 > 0 se define: Γ (^) 𝑥 = (^) ׬ 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑥− 1 𝑑𝑡

FUNCIÓN GAMMA PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN GAMMA

2 = π

3. Γ x+ 1 = xΓ x ; ∀x > 0

4. Si: n ∈ ℤ
   • , se tendrá: Γ (^) n+ 1 = n! Demostración ❑ Γ 1 = (^) ׬ 0 +∞ 𝑒 −𝑡 . 𝑡 0 𝑑𝑡 = (^) ׬ 0 +∞ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 Γ 1 = lim 𝑎→∞

0 𝑎 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = lim 𝑎→∞

−𝑡 /

Γ 1 = lim 𝑎→∞

−𝑎

• 𝑒 0 = 1

2

0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 − 1 / 2 𝑑𝑡 Sea: 𝑡 = 𝑢 2 Derivando m.a.m 1 =

2 ) 𝑑𝑡 1 = 2𝑢.

2

0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 − 1 / 2 𝑑𝑡 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑢^2 . 𝑢 2 − 1 (^2) (2𝑢. 𝑑𝑢) Γ (^1) 2

0 +∞ 𝑒 −𝑢 2

. 𝑑𝑢 = 2 (

𝒕 0 ∞ 𝑢 0 ∞ Γ (^) 𝑥 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑥− 1 𝑑𝑡

Ejercicio explicativo 1 Determine la siguiente integral: න 0 ∞ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑎− 1 𝑑𝑡 Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑥 . 𝑥 𝑎− 1 𝑑𝑥 Γ (^) x+ 1 = xΓ (^) x ; ∀x > 0 Γ (^1) 2 = π

0 ∞ 𝑥 − 1 (^2). 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 Ejercicio explicativo 2 Determine la siguiente integral: Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑎− 1 𝑑𝑡 Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑥 . 𝑥 𝑎− 1 𝑑𝑥 Γ (^) x+ 1 = xΓ (^) x ; ∀x > 0 Γ (^1) 2 = π

0 ∞ 𝑥 4 𝑒 −𝑥^2 𝑑𝑥 Ejercicio explicativo 4 Determine la siguiente integral: Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑎− 1 𝑑𝑡 Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑥 . 𝑥 𝑎− 1 𝑑𝑥 Γ (^) x+ 1 = xΓ (^) x ; ∀x > 0 Γ (^1) 2 = π

0 1 ln𝑥 4 𝑑𝑥 Ejercicio explicativo 5 Determine la siguiente integral: Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑎− 1 𝑑𝑡 Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑥 . 𝑥 𝑎− 1 𝑑𝑥 Γ (^) x+ 1 = xΓ (^) x ; ∀x > 0 Γ (^1) 2 = π 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥 Γ (^) n+ 1 = n!

Ejercicio reto

Determine la siguiente integral: න

0 ∞

3 Τ 2

−9𝑥

Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑎− 1 𝑑𝑡 Γ (^) 𝑎 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑥 . 𝑥 𝑎− 1 𝑑𝑥 Γ (^) x+ 1 = xΓ (^) x ; ∀x > 0 Γ (^1) 2 = π Γ (^) n+ 1 = n!

CONCLUSIONES Definición Teoremas Siendo x > 0 se define: Γ (^) 𝑥 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑡

. 𝑡 𝑥− 1 𝑑𝑡

2

❑ Siendo x > 0 : Γ (^) 𝑥+ 1 = ❑ Si: n ∈ ℤ

, se tendrá: Γ (^) n+ 1 = n!