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17 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S
Se arroja un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y se apunta el resultado de la cara su- perior.
a) ¿Es aleatorio este experimento? b) Determina el espacio muestral. c) Forma los sucesos contrarios de A {2, 4}, B {1, 3, 5} y C {3}.
a) Sí es aleatorio, ya que por muchas veces que se repita, jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener en una pró- xima experiencia.
b) E {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) A {2, 4} ⇒ A ^ {1, 3, 5, 6} B {1, 3, 5} ⇒ B ^ {2, 4, 6} C {3} ⇒ C ^ {1, 2, 4, 5, 6}
En una urna hay 7 bolas numeradas del 1 al 7. Se extrae una bola al azar y se anota su número.
a) Explica si el experimento es aleatorio.
b) Determina el espacio muestral.
c) Forma dos sucesos compuestos y sus contrarios.
a) En efecto, es aleatorio ya que por muchas veces que se repita, jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener en una próxima experiencia.
b) E {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
c) A {1, 3} ⇒ A ^ {2, 4, 5, 6, 7} B {4, 5, 7} ⇒ B ^ {1, 2, 3, 6}
Una urna contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se extrae una bola al azar y se anota su número. Con- sidera A {2, 3, 5}, B {3, 8} y C {1, 2, 5, 7}.
Halla los siguientes sucesos.
A B B C A C
A C A B B C
A B {2, 3, 5, 8} A C {1, 2, 3, 5, 7} B C {1, 2, 3, 5, 7, 8}
A B {3} A C {2, 5} B C
En el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6:
a) Expón un ejemplo de dos sucesos que sean contrarios. ¿Son incompatibles?
b) Muestra dos sucesos que sean incompatibles. ¿Son contrarios?
a) Sucesos contrarios: A “salir par” {2, 4, 6} y A ^ “salir impar” {1, 3, 5}. Efectivamente, A y A ^ son incompatibles.
b) Sucesos incompatibles: A {1, 2} y B {3, 4}. Los sucesos A y B son incompatibles, pues A B , pero no son contrarios ( A ^ {3, 4, 5, 6} B ).
Se saca una carta al azar de una baraja española. Halla la probabilidad de los sucesos:
a) Salir un caballo.
b) Salir un oro.
c) Salir un número menor que seis.
a) Sea A “salir un caballo” ⇒ P ( A ) 4
b) Sea B “salir un oro” ⇒ P ( B )
c) Sea C “salir un número menor que 6” ⇒ P ( C )
En un intercambio cultural participan 17 alumnos españoles, 8 italianos, 4 franceses y 2 holandeses. Elegido un alumno al azar, halla:
a) P ( ser francés )
b) P ( ser italiano )
c) P ( ser holandés )
a) P ( ser francés ) 3
b) P ( ser italiano ) 3
c) P ( ser holandés ) 3
En una urna hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se extrae una bola al azar y se apunta su número. Considera los sucesos A {2, 3, 5}, B {3, 8} y C {1, 2, 5, 7}.
Halla la probabilidad de A B, B C , A C , A , B ^ y C .
P (A B ): Como A y B son compatibles: P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
P (B C ): Como B y C son incompatibles: P ( B C ) P ( B ) P ( C )
P (A C ): Como A y C son compatibles: P ( A C ) P ( A ) P ( C ) P ( A C )
P (A ) 1 P ( A ) 1
P (B ) 1 P ( B ) 1
P (C ) 1 P ( C ) 1
Imagina que en una familia la probabilidad de nacer niña es 0,53, y la de nacer niño, 0,47. Si tienen tres descendientes, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos niñas y un niño?
Consideramos el siguiente diagrama en árbol:
P ( 2 niñas y 1 niño ) 3 0,53 2 0,47 0,
R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S
Alicia elige dos números entre {5, 11, 15, 27} y los suma, y Juan escoge dos del conjunto {5, 7, 9} y los multiplica. ¿Qué probabilidad hay de que Alicia obtenga un resultado mayor?
Resultados posibles de Alicia:
5 11 16 11 15 26 5 15 20 11 27 38 5 27 32 15 27 42
Resultados posibles de Juan:
5 7 35 5 9 45 7 9 63 Número de casos posibles 6 3 18
Hacemos el recuento de los casos favorables:
- Si Alicia suma 16 → Pierde → 0
- Si Alicia suma 20 → Pierde → 0
- Si Alicia suma 32 → Pierde → 0
- Si Alicia suma 26 → Pierde → 0
- Si Alicia suma 38 → Que Juan obtenga 35 → 1
- Si Alicia suma 42 → Que Juan obtenga 35 → 1 Total: 2
La probabilidad de que gane Alicia es 1
0,53 niña
0,47 niño
0,53 niña
0,47 niño
0,53 niña
niño
niña
0,47 niño (^) ➞ 0,53^2. 0,
0,53 niña (^) ➞ 0,53^2. 0,
niño
0,53 niña (^) ➞ 0,53^2. 0,
niño
niña
niño
Con los mismos conjuntos de números del ejercicio anterior, el juego cambia: ahora Alicia sumará tres números, y Juan seguirá multiplicando dos. ¿Qué probabilidad de ganar tiene Alicia?
Resultados posibles de Alicia:
5 11 15 31 5 15 27 47 5 11 27 43 11 15 27 53
Resultados posibles de Juan:
5 7 35 5 9 45 7 9 63 Número de casos posibles 4 3 12
Hacemos el recuento de los casos favorables:
- Si Alicia suma 31 → Pierde → 0
- Si Alicia suma 43 → Que Juan obtenga 35 → 1
- Si Alicia suma 47 → Que Juan obtenga 35 ó 45 → 2
- Si Alicia suma 53 → Que Juan obtenga 35 ó 45 → 2 Total: 5
La probabilidad de que gane Alicia es 1
A C T I V I D A D E S
E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E
Experimentos aleatorios. Sucesos
Indica si los siguientes experimentos son aleatorios y, en caso afirmativo, describe el espacio muestral correspondiente.
a) Hacer girar la flecha de una ruleta dividida en 6 sectores numerados del 1 al 6.
b) Extraer una bola de la urna del dibujo.
a) Sí es un experimento aleatorio. Su espacio muestral es E {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b) No es un experimento aleatorio.
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con 10 caras numeradas del 1 al 10 consi- deramos los sucesos A salir un número par y B salir un número múltiplo de 4.
Halla A , A B y A ^ B****. ¿Son incompatibles los sucesos A y B****? Razona la respuesta.
El espacio muestral es E {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A ^ {1, 3, 5, 7, 9} A B {2, 4, 6, 8, 10} A ^ B {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9} Los sucesos A y B no son incompatibles (es decir, son compatibles), ya que A B {4, 8} .
Se procede a girar la flecha de la ruleta.
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Salir un número par****.
b) Salir un número impar y el color rojo****.
c) Salir un número impar o el color amarillo****.
d) Salir un número par o el color verde****.
e) No salir el color rojo****.
a) P ( P )
b) P ( I R )
c) P ( I A ) P ( I ) P ( A ) P ( I A )
d) P ( P V ) P ( P ) P ( V ) P ( P V )
e) P ( R ) 1 P ( R ) 1
Cogemos al azar una carta de una baraja francesa formada por 54 cartas (con dos comodines).
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Sacar una pica o una figura****.
b) Sacar una carta de palo rojo****.
c) Sacar una carta de palo negro o figura****.
d) Sacar una carta de palo rojo y menor que 5****.
e) No sacar un comodín.
a) P ( P F ) P ( P ) P ( F ) P ( P F )
b) P ( R )
c) P ( N F ) P ( N ) P ( F ) P ( N F )
d) P ( R 5 ) 5
e) P ( C ) 1 P ( C ) 1 5
2 V 1 R
3 A 8 V
4 R 7 R
5 V 6 A
R Sector de color rojo V Sector de color verde A Sector de color amarillo
Probabilidad en experimentos compuestos
En el armario de Luis hay 6 camisetas blancas, 4 azules, 3 negras y 2 rojas. Si saca consecutivamente 2 camisetas, ¿qué tipo de experimento realiza? Dibuja un diagrama en árbol con los resultados posi- bles y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Sacar dos camisetas negras****.
b) Sacar una camiseta blanca y otra azul****.
c) No sacar ninguna camiseta roja****.
El experimento que realiza es aleatorio.
a) P ( N 1 N 2 ) 1
b) P ( B A ) 1
c) P ( R 1 R 2 ) P ( R 1 ) P ( R 2 R 1 )
Una urna contiene 4 bolas numeradas del 1 al 4. Si se forman todos los números de 3 cifras posibles al extraer 3 bolas de dicha urna sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que el número for- mado sea par? ¿Y si las extracciones se efectuasen con reemplazamiento?
Sin reemplazamiento: P ( n.o^ par )
V
V
4,
3,
Con reemplazamiento: P ( n.o^ par )
V
R
V
4
R
,
4,2 ^3
Si se tiran 3 dados, ¿cuál es la probabilidad de que en todas las caras aparezca igual número de puntos?
P ( igual n. o^ de puntos ) P [( 1 1 1 ) ( 2 2 2 ) ... ( 6 6 6 )] VR
6, 3
0,027v
6 15
4 15
3 15
2 15
B
5 (^14 ) 14 3 14 2 14
B A N
6 R (^14 ) 14 3 14 2 14
B A N
6 R (^14 ) 14 2 14 2 14
B A N
6 R (^14 ) 14 3 14 1 14
B A N R
A
N
R
C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E
En el lanzamiento de 3 dados de 6 caras, ¿cuál es el suceso contrario al de sacar al menos un 5****? ¿Cuál es su probabilidad?
A sacar al menos un 5 ⇒ A ^ Ningún 5
P(A )
3 0,
En un experimento aleatorio se ha obtenido que la probabilidad de un suceso A es de 0,31, y la de un suceso B , de 0,69. ¿Podemos asegurar que A y B son sucesos contrarios?
Sí, ya que P ( B ) 1 P ( A )
Si lanzo una moneda 9 veces y aparece cara en todos los lanzamientos, ¿es más probable que a la dé- cima vez salga cruz en lugar de cara?
No, la probabilidad sigue siendo la misma, la moneda no tiene memoria.
¿En cuál de las siguientes urnas es más probable extraer una bola roja?
1.ª urna: P ( R )
0,5 2.ª urna: P ( R )
0,6 3.ª urna: P ( R ) 1
Luego es más probable extraer una bola roja en la 2.ª urna.
Si P ( A ) —
— , ¿quiere decir que hay 4 casos posibles en el experimento y solo 1 favorable al suceso A****? Justifica la respuesta.
No, ya que la fracción puede estar simplificada.
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) El suceso contrario al suceso seguro es el suceso imposible. b) La probabilidad de un suceso A puede ser igual a 1,3. c) A y B son incompatibles si A B . d) Si P ( A B ) P ( A ) P ( B ), entonces A y B son compatibles. e) Si P ( A B ) P ( A ) P ( B ), entonces A y B son independientes.
a) Verdadero d) Falso b) Falso e) Verdadero c) Falso
Si al sacar 3 cartas de una baraja española obtengo 3 oros, ¿la probabilidad de conseguir en una cuar- ta extracción una espada es la misma si devuelvo las cartas a la baraja que si no lo hago? ¿Por qué?
A Obtener 3 oros en tres extracciones B Obtener espadas
Con devolución: P ( B )
Sin devolución: P ( B )
Luego la probabilidad no es la misma. Es mayor en el caso de que las extracciones se hagan sin devolución, porque el núme- ro de casos posibles es menor que cuando las extracciones se producen con devolución.
Si lanzo 2 dados de 6 caras, ¿qué es más probable lograr como suma, 7 ó 10?
Los casos favorables a 7 son: 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4. Los casos favorables a 10 son: 4 y 6, 5 y 5. Luego P ( sacar 7 ) P ( sacar 10 ).
¿Qué es más probable?
a) Salir 3 al tirar un dado de 6 caras****.
b) Sacar espadas al extraer una carta****.
c) Obtener dos caras al lanzar dos monedas****.
a) P ( sacar 3 )
0,16v^ b) P ( sacar espadas )
0,25 c) P ( CC )
Luego son más probables los sucesos b y c.
Si P ( A B ) —
— , P ( A ) —
— y P ( B ) —
— , ¿son A y B independientes? Calcula P ( B / A ).
P ( A B )
P ( A ) P ( B )
, luego A y B no son independientes.
P ( A B ) P ( A ) P ( B / A ) ⇒
P ( B / A ) ⇒ P ( B / A )
P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R
En una población, la probabilidad de medir más de 170 centímetros es del 30 %, y la de ser aficiona- do al cine, del 65 %.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar mida menos de dicha altura y le guste el cine?
P ( más bajo de 170 aficionado al cine ) 1
Los alumnos de 4.º de ESO de un centro escolar sortean un ordenador portátil para conseguir ingresos destinados a su viaje de fin de curso. Venden papeletas numeradas del 1 al 100.
Calcula la probabilidad de ganar el ordenador si se adquieren todas las papeletas que sean múltiplos de 3 o de 5.
P ( 3
- 5 - ) P (3) P (5) P ( 3 - 5 - ) 1
La probabilidad de nacimientos de niños en un país está en torno al 52 %. Halla la probabilidad de que una familia de 4 hijos tenga:
a) Por lo menos un niño.
b) Exactamente una niña y tres niños.
a) P ( por lo menos un niño ) 1 P ( ningún niño ) 1
4 0,
b) P ( 1 niña y 3 niños )
3
El departamento de selección de personal de una multinacional entrevista a 65 candidatos para un puesto de la empresa: 35 de ellos poseen experiencia laboral previa y 40 disponen de un título uni- versitario.
¿Cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que tenga experiencia laboral y un título uni- versitario?
A experiencia laboral
B título universitario
A B 10 (ya que 40 35 75 que sobrepasan en 10 a los 65 entrevistados)
P ( A B )
Las estadísticas de los derbis entre dos equipos de la misma ciudad e históricamente rivales son las si- guientes: el 25 % de las veces ha ganado el equipo A ; el 45 %, el conjunto B , y el 30 % han empata- do. En el próximo torneo van a enfrentarse en 3 ocasiones.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane A los 3 partidos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que A venza al menos en un partido?
a) P ( gane A los 3 partidos ) P ( 1. o^ gane A 2. o^ gane A 3. o^ gane A )
3 0,
b) P ( gane A al menos 1 partido ) 1 P ( no gane ninguno ) 1
3 0,
Un árbol de Navidad está alumbrado por una tira de 25 bombillas de colores recién compradas.
Si la probabilidad de que una bombilla se funda antes de 15 días es de 0,1, ¿cuál es la probabilidad de que el alumbrado del árbol funcione sin problemas durante los 15 días de las fiestas navideñas?
B (^) i fundirse la bombilla “i”
P ( funcione ) P ( B^ 1 B^ 2 ... B^ 25 ) (0,9)^25 0,
Un profesor tiene 2 estuches. Uno contiene 5 bolígrafos azules y 3 negros, y el otro, 2 azules y 6 negros.
Si abre un estuche al azar y extrae un bolígrafo, ¿cuál es la probabilidad de que sea negro?
N ser negro A escoger estuche A B escoger estuche B
P ( N ) P ( A ) P ( N / A ) P ( B ) P ( N / B )
En una empresa de control de calidad, los productos pasan por 3 pruebas independientes. En la pri- mera se detecta un 8 % de productos con defectos; en la segunda, un 12 %, y en la tercera, un 15 %. Halla la probabilidad de que un producto tenga:
a) 0 defectos.
b) 1 defecto.
c) 2 defectos.
Sea D defecto y B bien
a) P ( 0 defectos ) P ( pase 1.ª criba pase 2.ª criba pase 3.ª criba ) 1
b) P ( 1 defecto ) P ( DBB BDB BBD ) 1
c) P ( 2 defectos ) P ( DDB DBD BDD ) 1
R E F U E R Z O
Experimentos aleatorios. Sucesos
Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.
a) Sacar de una caja una ficha de dominó teniendo en cuenta que solo contiene aquellas cuya suma de puntos es inferior a 5.
b) Extraer de una caja una de las piezas del ajedrez.
a)
b) E {Peón blanco, peón negro, torre blanca, torre negra, caballo blanco, caballo negro, alfil blanco, alfil negro, reina blanca, reina negra, rey blanco, rey negro}
Al tomar una carta de una baraja española, se consideran los sucesos: A sacar un basto , B sacar una figura y C sacar un as****.
Halla los sucesos A B , A C y B C****. ¿Son compatibles B y C****? ¿Por qué?
Sea O oros , Co copas , E espadas y B bastos
A B {1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, SB, CB, RB, SO, CO, RO, SCo, CCo, RCo, SE, CE, RE}
A C {1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, SB, CB, RB, 1O, 1Co, 1E}
B C {SO, CO, RO, SCo, CCo, RCo, SE, CE, RE, SB, CB, RB, 1O, 1Co, 1E, 1B}
B y C no son compatibles (es decir, son incompatibles), ya que B C .
Probabilidad en experimentos compuestos
Un juego consiste en sacar 2 bolas consecutivamente y sin reemplazamiento de una urna. Gana quien saque de su urna dos bolas del mismo color.
¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar?
P ( ganar 1) 2
0,2381; P ( ganar 2)
0,3v
Por tanto, tiene más probabilidad de ganar el jugador que extrae las bolas de la urna 2.
Dos amigos juegan a sacar la carta más alta de una baraja española. El orden es: as, dos, tres… y así sucesivamente hasta el rey.
Si el primero que realiza la extracción saca una sota, devolviéndola a la baraja, calcula:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el segundo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que venza el primero?
c) ¿Cuál es la probabilidad de repetición por empate?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que gane cada uno de ellos si no se devuelve la sota extraída a la baraja? ¿Importa quién saque la primera carta en este caso?
a) P ( Gane 2.o ) 4
b) P ( Gane 1.o )
c) P ( Empate ) 4
d) En caso de que la extracción se haga sin devolución:
P ( Gane 1.o )
; P ( Gane 2.o ) 3
En este caso sí importa quién saque la primera carta.
Probabilidad total
Se tira un dado octaédrico (8 caras) y, si sale número par, se extrae una bola de una urna que contie- ne 4 bolas amarillas y 6 moradas; y si aparece impar, se toma una bola de otra urna que guarda 8 bo- las amarillas y 2 moradas.
Halla la probabilidad de sacar una bola morada.
P ( morada )
A M P L I A C I Ó N
Se extraen 4 cartas sin devolución de una baraja española. Calcula la probabilidad de:
a) Obtener las 4 sotas****.
b) Obtener las 4 del mismo palo****.
c) Obtener al menos un 5****.
d) Obtener las 4 con el mismo número****.
e) Sumar 11****.
a) P ( obtener 4 sotas ) 4
b) P ( obtener 4 del mismo palo ) P ( 4 oros 4 espadas 4 copas 4 bastos ) P ( 4 oros ) P ( 4 copas ) …
c) P ( obtener al menos un 5 ) 1 P ( no obtener 5 ) 1
d) P ( obtener los 4 del mismo número ) P ( 4 unos 4 doses … 4 reyes ) P ( 4 unos ) … P ( 4 reyes )
e) P ( sumen 11 ) P [ sacar ( 7,2,1,1 ) sacar ( 6,3,1,1 ) sacar ( 6,2,2,1 ) sacar ( 5,4,1,1 ) sacar ( 5,3,2,1 ) sacar ( 5,2,2,2 )]
P 4
P 4
... P 4
En una zona de reforestación en la Selva Negra, devastada por la lluvia ácida, se han plantado 3 tipos de coníferas: un 20 %, de tipo A ; un 30 %, de B , y un 50 %, de clase C****.
La posibilidad de supervivencia es del 60% en las de tipo A , del 45 % en las de B y del 75 % en las de C****.
Si selecciono un árbol superviviente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de clase C****?
P ( superviviente de tipo C ) P ( sea de tipo C sobreviva ) P ( C ) P ( sobreviva/C ) 1
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
¿Más vocales o más consonantes?
Ricardo desea estudiar la proporción de vocales y consonantes que se utilizan en su lengua. Para ello ha elegido al azar el siguiente párrafo extraído de su libro de Matemáticas.
“El estudio del cálculo de probabilidades se inició al observar cómo se comportaban los juegos de azar.”
a) Cuenta el número de vocales y de consonantes que contiene el texto, y con los resultados asigna probabilidades a los sucesos que se forman al elegir una letra al azar de un escrito cualquiera, si re- sulta ser una vocal, y si resulta ser una consonante.
b) Ricardo intuye que las probabilidades anteriores cambian de manera apreciable si se sabe que la le- tra anterior a la elegida es vocal o consonante. Con la ayuda de la primera línea del texto, asigna la probabilidad del suceso que se forma si la letra seleccionada resulta ser vocal, sabiendo que la anterior es consonante.
a) Hay 39 vocales y 46 consonantes. Por tanto: P ( V ) 39
0,4588 y P ( C ) 39
b) De las 11 letras precedidas de consonante, 8 son vocales. Por tanto, la probabilidad de que una letra sea vocal sabiendo que la anterior a ella es consonante es 1
La rotonda
En una glorieta confluyen tres carreteras de doble sentido. En la figura se indica la distribución de vehículos que entran por una vía y salen por otra.
Se elige un conductor al azar de entre todos los que han circulado por la rotonda en un día.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya entrado y salido por A****?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido por C****?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya entrado por B****?
a) P ( EA SA ) 0,
b) P ( SC ) 0,05 0,1 0,
c) P ( E^ B ) 1 P ( EB ) 1 (0,4 0,2 0,1) 0,
A U T O E V A L U A C I Ó N
Sea extrae una bola de una urna que contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20. Se consideran los si- guientes sucesos.
A salir un número múltiplo de 3
B salir un número múltiplo de 5
C salir un número par
Halla A B , A C y B C****.
¿Son compatibles B y C****? ¿Por qué?
Sea A salir múltiplo de 3 {3, 6, 9, 12, 15, 18}. Sea B salir múltiplo de 5 {5, 10, 15, 20} Sea C salir número par {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} A B {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20}; A C {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} B C {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} B y C son compatibles, ya que B C {10, 20} .
Copia la siguiente tabla de contingencia sobre la procedencia y el sexo de los candidatos para secre- tario de las Naciones Unidas.
Completa la tabla y calcula la probabilidad de:
a) Que el secretario sea mujer.
b) Que el secretario sea hombre y europeo.
c) Que el secretario sea mujer o americano.
d) Que el secretario no sea africano.
a) P ( mujer ) 1
b) P ( hombre europeo ) 1
c) P ( mujer americano ) P ( mujer ) P ( americano ) P ( mujer americano ) 1
d) P ( no africano ) 1 P ( africano ) 1 1
0,86v
17.A
17.A
Mujer Hombre
Mujer Hombre Europa América África Asia Oceanía
Europa América África Asia Oceanía
