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Tema 3. Sucesos y probabilidad
Cuestiones de Verdadero/Falso
- Un suceso es un subconjunto del espacio muestral.
- La probabilidad de un suceso es una medida de la verosimilitud de que el suceso no ocurra.
- La probabilidad de un suceso est´a siempre comprendida entre 0 y 1.
- Si A es un suceso, P (A) + P (Ac) = 1
- Si A y B son sucesos, se cumple siempre que P(A ∪ B) = P (A) + P (B)
- Si A y B son sucesos, se cumple siempre que P(A ∩ B) = P (A) · P (B)
- P((A ∪ B)c) = P(Ac^ ∪ Bc)
- P (A|B) = P(A)/P(B)
- Si P(A ∩ B) = 0, entonces los dos sucesos son independientes
- El coeficiente de contingencia describe la asociaci´on entre dos variables dispuestas en una tabla de contingencia
- P (Ac) es igual a P(1 - A)
- P(A ∪ B) = P (A) ∪ P (B)
- P(A ∩ B) = P (A) ∩ P (B)
Cuestiones a completar
- El conjunto de todos los posibles valores que puede adoptar un variable aleatoria es (la muestra, el espacio muestral, los puntos muestrales)
- Si dos sucesos A y B son excluyentes o disjuntos, entonces P(A ∩ B) vale (0, 0.5, 1)
- La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales es siempre
- La propiedad: P ((A ∩ B)c) = P (Ac^ ∪ Bc), es consecuencia de (las leyes de DeMorgan, teorema de Bayes, teorema de la probabilidad total)
- La intersecci´on entre el suceso A y su suceso contrario o complementario es (∅, S, A, Ac) , adem´as la uni´on es (∅, S, A, Ac)
- Dos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) es igual a (0, P (A) · P (B), P (A) + P (B))
- Cuanto m´as cercano a (0, 1, -1) est´e el coeficiente de contingencia, mayor ser´a la relaci´on entre las variables.
- Cuanto m´as cercano a (0, 1, -1) est´e el coeficiente de contingencia, menor ser´a la relaci´on entre las variables.
- Si A es un suceso que se presenta siempre asociado a uno de los sucesos B 1 , B 2 ,.. ., Bn mutuamente excluyentes en que se particiona el espacio muestral S. La siguiente ecuaci´on
P (Bk|A) =
P (Bk) · P (A|Bk) P (A)
corresponde al teorema de (la probabilidad total, Bayes)
- Si P (A|B) = P(A), entonces A y B son sucesos (independientes, dependientes, excluyentes)
- Sean A y B dos sucesos. P (A|B) denota la probabilidad de que ocurra (A dado B, B dado A, A y B, A o B)
Cuestiones de Elecci´on M´ultiple
Hace muchos, muchos a˜nos, en un lugar muy, muy lejano, nuestro amigo Phileas Fogg se encontraba en pleno viaje alrededor del mundo. El inspector Fix iba tras ´el pis´andole los talones. Para darle esquinazo, decide tomar un atajo y atravesar el apasionante pa´ıs de Estadistilandia. En este pa´ıs habitaba una tribu muy particular, que s´olo permit´ıa el paso de los viajeros que demostraran contar con unos m´ınimos conocimientos estad´ısticos, por ello en sus fronteras se realizaban minuciosos controles estad´ısticos. Mr. Fogg, que sab´ıa de la ignorancia de Mr. Fix, se aventur´o hacia la frontera de este cautivador pa´ıs. En la frontera, el jefe de aduanas, llamado Deaqu´ı Nopasas, plante´o a nuestro amigo Phileas las cuestiones siguientes. Nosotros, expertos en esta materia, ech´emosle una mano, para que le permitan cruzar la frontera y ganar su apuesta.
- Dado P(A) = 0.5, P(B) = 0.6, y P(A ∪ B) = 0.8, entonces P(A|B) vale: a) 0.5 b) 0.75 c) 0.625 d) 0.
- Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.3, y P(A | B) = 0.4, entonces P(A∪B) vale: a) 0.12 b) 0.9 c) 0.78 d) 0.
- Si P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, y P(A | B) = 0.9, entonces P(B|A) vale: a) 0.45 b) 0.36 c) 0.556 d) 0.
- Si A y B son sucesos excluyentes, con P(A) = 0.15, P(B) = 0.7, entonces P(A ∪ B) vale: a) 0.2143 b) 0.85 c) 0.098 d) 0.
- Si A y B son sucesos independientes, con P(A) = 0.15, P(B) = 0.7, entonces P(A ∩ B) vale: a) 0.55 b) 0.2143 c) 0.105 d) 0.
- Si A y B son sucesos independientes, con P(A) = 0.35, P(B) = 0.6, entonces P(A | B) vale: a) 0.6 b) 0.35 c) 0.21 d) 0.
- Si A y B son sucesos independientes, con P(A) = 0.15, P(B) = 0.4, entonces P(A ∪ B) vale: a) 0.55 b) 0.375 c) 0.06 d) 0.
- Desea determinarse si la cantidad de ingresos est´a relacionada con la ´ultima marca comprada de cierto producto. Por ello, se analiz´o una muestra de 800 clientes, cuya informaci´on aparece en la tabla siguiente:
Marca
Ingresos M1 = ”Marca 1” M2 = ”Marca 2” M3 = ”Marca 3” B = ”Bajos” 50 125 75 M = ”Medios” 125 65 190 A = ”Altos” 75 45 50
En base a esta tabla, si uno de dichos clientes fuera seleccionado al azar, calcula las siguientes probabilidades: P(B), P(M2), P (B|M 2), P(B ∪ M2), ¿cu´al es la probabilidad de que no tenga ingresos bajos o que no comprara la marca M2?. ¿Los sucesos B y M2 son independientes? Calcula tambi´en el coeficiente de contingencia e interpr´etalo.
SOLUCIONES de las cuestiones de autoevaluaci´on del tema 3
Cuestiones V/F
1. V 2. F 3. V 4. V 5. F
6. F 7. F 8. F 9. F 10. V
11. F ∗^ 12. F ∗^ 13. F ∗
- : P(A) indica la probabilidad de que se d´e el suceso A. P significa probabilidad y dentro del par´entesis UNICAMENTE pueden haber sucesos (subconjuntos). P(A) es un n´´ umero (entre 0 y 1), A es un suceso (un subconjunto del espacio muestral).
Cuestiones a completar
- espacio muestral 2. 0 3. 1
- leyes de DeMorgan 5. ∅ ; S 6. P(A) · P(B)
- 1 8. 0 9. Bayes
- independientes 11. A dado B
Cuestiones de elecci´on m´ultiple
- a) 2. c) 3. d) 4. b) 5. c) 6. b)
- d) 8. b) 9. b) 10. a) 11. a) 12. a)
- d)
Cuestiones abiertas
Tras leer cuidadosamente el enunciado, primeramente daremos nombre a los sucesos de inter´es y extraeremos la informaci´on contenida en el enunciado:
M L = ser usuario de ”M´as libre”, P (M L) = 0.
M A = ser usuario de ”M´as amigos”, P (M A) = 0.
R = ser usuario del resto de operadores, P (R) = 1 - P (Rc) = 1 - P (M L) - P (M A) = 1 - 0.3 - 0.2 = 0.
W = utiliza tecnolog´ıa wap, P (W |M L) = 0.1, P (W |M A) = 0.15, P (W |R) = 0.
(a) Usaremos el teorema de la probabilidad total
P(W) = P (W |M L) · P (M L) + P (W |M A) · P (M A) + P (W |R) · P (R) = 0.1 · 0.3 + 0.15 · 0.2 + 0.05 · 0.5 = 0. (b) Usaremos el teorema de Bayes
P (R|W c) =
P (R) · P (W c|R) P (W c)
Denotaremos A 1 = ”funciona la componente 1”, A 2 = ”funciona la componente 2”, A 3 = ”funciona la componente 3”, A 4 = ”funciona la componente 4”, A 5 = ”funciona la componente 5”. Estos sucesos tienen probabilidades: P (A 1 ) = 0.9, P (A 2 ) = 0.92, P (A 3 ) = 0.93, P (A 4 ) = 0.95, P (A 5 ) = 0.99. Por la disposici´on del sistema, la probabilidad de que el circuito funcione ser´a: P(A 1 ∪ (A 2 ∩ A 3 ) ∪ A 4 ∪ A 5 ) Para calcular esta probabilidad, transformaremos las uniones en intersecciones, pues de esta manera se facilitar´a el c´alculo (limit´andonos a realizar productos). P(A 1 ∪ (A 2 ∩ A 3 ) ∪ A 4 ∪ A 5 ) = suceso contrario = 1 - P((A 1 ∪ (A 2 ∩ A 3 ) ∪ A 4 ∪ A 5 )c) = leyes de DeMorgan = 1 - P(Ac 1 ∩ (A 2 ∩ A 3 )c^ ∩ Ac 4 ∩ Ac 5 ) = independencia = 1 - P(Ac 1 ) · P((A 2 ∩ A 3 )c) · P(Ac 4 ) · P(Ac 5 ) = 1 - P(Ac 1 ) · (1 - P(A 2 ∩ A 3 )) · P(Ac 4 ) · P(Ac 5 ) = 1 - (1 - 0.9) · (1 - 0.92·0.93) · (1 - 0.95) · (1 - 0.99) = 1 - 0.1 · 0.1444 · 0.05 · 0.01 = 0.
P(B) = 250/800 = 0. P(M2) = 235/800 = 0.
__________________ Nº aciertos de cuestiones Verdadero/Falso
__________________ Nº aciertos de cuestiones a completar
__________________ Nº aciertos de cuestiones elección múltiple
__________________ 13 puntos, si la cuestión abierta 1 es correcta
__________________ 12 puntos, si la cuestión abierta 2 es correcta
__________________ 13 puntos, si la cuestión abierta 3 es correcta
Suma = __________________ Puntuación final
Si tu puntuación final está entre:
0 y 30: estás en peligro, acude urgentemente a tutorías
31 y 45: estás en el filo, te puedes cortar si no vas con cuidado
46 y 63: estás por el buen camino, sigue así
64 y 75: muy bien, eres un hacha
- Estadística. ETDI. Curs 2002/
