Guía de aprendizaje: Series, Límites y Derivadas, Ejercicios de Física

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¡Qué buena decisión! Siéntete completamente bienvenido a disfrutar de este nuevo proceso de aprendizaje, en el que la constancia y la disciplina, serán la clave fundamental para que empieces a materializar tus sueños. Queremos acompañarte y apoyarte en el camino en el que solo tú, puedes liderar, brindándote las herramientas necesarias para vencer los obstáculos del progreso y que en un futuro cercano, puedas decir “lo logré”. “La educación no cambia el mundo, cambia a las personas que van a cambiar el mundo”

• Paulo Freire- Esta guía, será tu soporte de aprendizaje, en el que encontrarás los conceptos primordiales para la construcción de tu conocimiento; las actividades que aquí encontrarás, te ayudarán a afianzar cada uno de los temas aprendidos y a la aplicación de los mismos, en la cotidianidad. Recuerda que, si necesitas apoyo, puedes contar incondicionalmente con: Adicionalmente, debes tener presente la escala de valores con la que serás calificado: de 1.0 a 5.0. Siendo 5.0 la nota máxima y de un excelente trabajo y 3.5, el valor mínimo con el que podrás aprobar la asignatura. Por lo tanto, te animo a que sea el 5.0, la calificación que destaque en tu rendimiento. Datos del estudiante

x f(x) 1,9 3, 1,99 3, 1,999 3, ... ... ↓ ↓ 2 4 Cálculo del límite en un punto Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que: Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x. Ejemplos: No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2. Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos. Límites de funciones en el infinito Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞. El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Si P(x) es un polinomio, entonces: . Cálculo de límites cuando x -∞ No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos. EJERCICIOS Calcular el límite de: Calcular el límite de: Calcular el límite de:

a. f^ ( x^ )= x 3 ⇒ f (^ x )^ = 3 x 3 − 1 = 3 x 2 b. f^ (^ x^ )=− x 4 ⇒ f (^ x )^ =− 4 x 4 − 1 =− 4 x 3 c. y = 1 x^2 ⇒ dy dx = d dx [ x −^2 ]=(− 2 ) x −^2 −^1 dy dx =(− 2 ) x − 3 = − 2 x 3

Regla de la multiplicación constate

Si f^ es una función derivable y c^ un número real, entonces d dx [ cf^ (^ x^ )^ ]= cf^ (^ x^ ) Ejemplos: a. f ( x )= 4 x^3 ⇒ f ( x ) = d dx

[ 4 x^3 ]= 4 ⋅

d dx

[ x^3 ]

= 4 ⋅ 3 x 2 = 12 x 2 b.

y =

3 t

2

dy

dt

d

dt [^

3 t

2 2 ]

3 d

2 dt

[ (^) t^2 ] = 3 2 ⋅ 2 t = 3 t Regla de la suma La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas. d dx [ f^ (^ x^ )+^ g^ (^ x^ )^ ]= f^ (^ x^ )+^ g^ (^ x^ ) De igual forma la derivada de la resta de dos funciones es la resta de sus derivadas. d dx [ f^ (^ x^ )− g^ (^ x^ )^ ]= f^ (^ x^ )− g^ (^ x^ ) Esta regla admite extensiones a más de dos términos, por ejemplo: si

f ( x )= f ( x )− h ( x )+ g ( x )− k ( x ) ⇒ f (^ x )^ = f (^ x )− h (^ x )^ + g (^ x )^ − k (^ x ) Ejemplos: a.

f (^ x )= x

3 − 4 x 2

• 8

f ( x )=

d dx [ x 3 ]− d dx [ 4 x 2 ]+ d dx [ 8 ] ¿ 3 x 2 − 4 ⋅ 2 x + 0 ¿ 3 x 2 − 8 x (^) b. g ( x ) =− 4 x^5 + 3 2 x^3 − 5 x + 4 g ( x ) =− 4. 5 x^4 + 3 2 ⋅ 3 x^2 − 5 + 0 ¿− 20 x^4 + 9 x 2 2 − 5

Derivada de la función que tiene radical

a. f ( x )=√ x ⇒ f ( x )=

d

dx

[ (^) x 1 (^2) ]= 1

x

1

2 −^1 =^1

x

− 1 2 = 1 2 x 1 2 = 1 (^2) √ x b. y =

4 √ x^3

dy dx

d dx [^

x − 3 4 ]=−^

x [ − 3 4 − 1 ] = − 3 8 x − 7 (^4) = −^3 8 x 7 4 c. y =√ 3 x ⇒ dy dx

d dx [√ 3 x 1 (^2) ]=√ 3 1 2 x 1 2 −^1 = √ 3 x − 1 2 2

2 √ x

Regla del producto

La derivada del producto de dos funciones derivables f^ (^ x^ )^ y g^ (^ x )^ está

dada por: d dx [ f^ (^ x^ )⋅ g^ (^ x )^ ]= f^ (^ x^ )⋅ g^ (^ x^ )+^ g^ (^ x^ )⋅ f^ (^ x^ ) Ejemplos: a. Hallar la derivada de h^ (^ x^ )=(^2 x −^3 x 2 ) ( 4 + 5 x )

Luego de tener definidas las funciones f(x), f``(x), g(x), g`(x). Las reemplazamos en la fórmula de la derivada del cociente, utilizando paréntesis. Después realizamos las operaciones indicadas.

d

dx

d

dx [^

f ( x )

g ( x ) ]

( 2 − 3 x ) ( 4 x − 4 ) −( 2 x^2 − 4 x + 3 ) (− 3 )

[ ( 2 − 3 x ) 2 ] = 8 x − 8 − 12 x 2

• 12 x + 6 x 2 − 12 x + 9 ( (^2) − 3 x ) 2 = − 6 x 2
• 8 x + 1 ( (^2) − 3 x )^2 b. Deriva la función h ( x )=

3 − 2 x − x

2

x

2

Sea f^ (^ x^ )=^3 −^2 x^ − x 2 ⇒ f (^ x )=− 2 − 2 x g (^ x )^ = x 2 − 1 ⇒ g (^ x )= 2 x

d

dx

=[ h ( x ) (^) ]=

( x^2 − 1 ) (− 2 − 2 x )−( 3 − 2 x − x^2 ) ( 2 x )

[ ( x^2 − 1 ) 2 ] = − 2 x 2 − 2 x 3

• 2 + 2 x − 6 x + 4 x 2
• 2 x 3 ( (^) x^2 − 1 ) 2 = 2 x 2 − 4 x + 2 ( (^) x^2 − 1 ) 2

Regla de la cadena

Si y =f (u) es función derivable de u y u = g(x) es función derivable de x, entonces es función derivable de x, con d dx [ f^ (^ g^ (^ x^ )^ )^ ]= f^ (^ g^ (^ x^ )^ )⋅ g^ (^ x^ ) Ejemplos: a. Hallar d dx (^) con y =(^ x 2

• 1 ) 3 Para aplicar la regla de la cadena, se debe identificar primero la función interior u, en nuestro caso:

u = x

2

• (^1) , entonces y = u 3 d dx = dy du ⋅ du dx dy du = 3 u^2 Y du dx = 2 x Luego dy dx = 3 u 2 ⋅ 2 x Reemplazamos el valor de u, tenemos que dy dx = 3 ⋅( x 2
• 1 ) 2 ⋅ 2 x ¿ 6 x (^ x 2
• 1 ) 2 b. Encontrar la derivada de f^ (^ x^ )=(^3 x −^2 x 2 ) 3 Hacemos u =^3 x −^2 x 2 , (^) entonces f^ (^ u )^ = u 3 Luego f^ (^ x^ )=^3 u 2 ⋅(^3 − 4 x ) = 3 ⋅(^3 x − 2 x 2 ) 2

⋅(^3 − 4 x )

¿ ( 9 − 12 x ) ( 3 x − 2 x 2 ) 2 c. Hallar la derivada de y =(^ 3 √ x 2

• 2 ) 2 Expresemos la función: y =(^ x

2 3

u = x

2

+ 2 ; y = u

2 3 dy dx

u − 1 (^3) = 2 3 3 √ u^ ; dy dx = 2 x Luego dy dx = dy du ⋅ du dx

a. 59725.72 b. 59835.72 c. e^5 d. Ninguna de las opciones

6. El resultado de la siguiente serie es Seleccione una respuesta. a. 0.463 b. 0.2 c. 0.09 d. 1. 7. El resultado de la siguiente serie es Seleccione una respuesta. a. 0.24 b. 1.78 c.1/3 d. 563/ 8. ¿Cuál es el valor del siguiente límite? Seleccione una respuesta. a. - b. 6 c. - d. 2 9. El valor del siguiente límite es: Seleccione una respuesta. a. 2. b. 2 c. 25 d. 5 10. El valor del siguiente límite es

Seleccione una respuesta. a. 18 b. 3 c. 2 d. -

11. El valor del siguiente límite es: 2 12. El valor del siguiente límite es: 1 13. El valor del siguiente límite es: Seleccione una respuesta. a. 2 b. 0 c. Indeterminado d. - 14. El valor del límite es: Seleccione una respuesta. a. 1/ b. 6 c. 20 d. indeterminado 15. El valor del siguiente límite es 0