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Ejemplos resueltos y propiedades sobre el cálculo de límites y derivadas de funciones, incluyendo indeterminaciones y evitar indeterminaciones. Se abordan límites laterales, límites de cocientes y productos, así como la regla de L'Hopital. También se calculan derivadas de funciones polinómicas y trigonométricas utilizando la definición de derivada.
Tipo: Ejercicios
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x
Y
x → ← x
EJEMPLO:
Encuentre el límite (si existe)
de f (x) cuando x tiende a 2.
Los valores de f(x) cuando “x”
tiende a 2 por la izquierda se
aproxima a 2 ; mientras que
cuando tiende a 2 por la derecha
se aproxima a 3.
Por lo tanto no existe el limite de
f(x) cuando “x” tiende a 2
ResoluciónResolución
x
Y
x → ← x
2
x
2
( ) 2 x
Lím f x
f (2) 2
2
( ) 3
x
Lím f x
2 2
( ) ( ) x x
Lím f x Lím f x
ResoluciónResolución
x 0
lim
x
2
x
3
x
2
x 0
lim
x
2
x
3
x
2
= – 100 + 1 = – 99
x 0
2
3
2
Ejemplo 2 : Calcule el siguiente limite
ResoluciónResolución
x 1
lim
3 2x
3
x
3
(x^2 – 2x + 1)
3 2
. 1
3
. 1 + 1
1
3
( 12 – 2. 1+1)
= 1
0 = 1
x 1
lim
3 2x
3
x
3
(x^2 – 2x + 1)
=
Ejemplo 3 : Calcule el siguiente limite
lim 𝑥→𝟒
𝒙 − 𝟒
𝒙 − 𝟐
𝒙 − 𝟒
𝒙 − 𝟐
=
𝟒 − 𝟒
𝟒 − 𝟐
=
𝟎
𝟎
= 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐
𝒙 − 𝟐 Conjugada 𝒙 + 𝟐
Ejemplo 5 : Calcule el siguiente limite
3 3 2 2
3 3 2 3 x 8 x 2 x 2 x 4
3 3
(^8 3 3 )
x
(^3 2 )
1
(^2 ) 3
1
8 2 8 4
1 1
4 4 4 12
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Sean f(x) y g(x) dos funciones y c una constante entonces:
x a
2. Una constante multiplicada por una función es igual a la
constante por el límite de la función
x a x a
lim cf(x) c lim f(x)
3. El límite se distribuye en la suma y diferencia
x a x a x a
lim f(x) g(x) lim f(x) limg(x)
^ ^
1. El límite de una constante es la misma constante
x 0
lim3 3
2 2
x 0 x 0
^
2 2 x 0 x 0 x 0
lim 3x 5x lim 3x lim 5x
7. El límite de una función potencia es la potencia del límite de
la función.
8. La raíz de un límite es igual al límite de la raíz
9. El límite de una función valor absoluto es igual al
valor absoluto del límite de la función.
n n
x a x a
lim f(x) lim f(x) ; n
^
n (^) n x a x a
lim f(x) lim f(x); n ,n : par( )
x a x a
lim f(x) lim f(x)
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
10. Límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite.
11. Límite de una función compuesta
12. El límite de una función exponencial es igual a la base
elevada al límite del exponente.
x a x a
lim log f(x) log lim f(x)
x a x a
lim f(g(x)) f lim g(x)
x a
lim f(x) f(x)
x a
lima a
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
ResoluciónResolución
2 2
x 4 2 2
2
x 4 2
Se debe evitar la indeterminación,
factorizando los polinomios y reduciendo
la expresión a una equivalente
2
x 4 2
x 4
2
x 4 2
Ejemplo 2Ejemplo 2
Calcule el lim 𝑥→ 4
𝑥
2 − 9 𝑥+ 20
𝑥^2 − 3 𝑥− 4
ResoluciónResolución
Se debe evitar la indeterminación, multiplicando al numerador y al denominador por la conjugada de la expresión con radicales
Ejemplo 3Ejemplo 3
Calcule el lim 𝑥→ 0
𝑥+ 5 − 5
𝑥
x 0
x 0
x 5 5 0 5 5 lim x 0
x 5 5 0 lim Ind. x 0
(^) (^) (^) ^ ^ ^
(^)
^
x 0
2 2
x 0
x 0
x 0
x 0
x 5 5 x 5 5 lim x (^) x 5 5
x (^5 5) x 5 5 lim x x 5 5 x x 5 5
x 1 lim x x 5 5 x^5
x 5 5 1 1 lim x (^0 5 5 2 )
x 5 5 5 lim x 10
Para calcular el límite de una función suelen aplicarse las propiedades generales de
los límites. Sin embargo, a veces aparecen indeterminaciones que es preciso
resolver.
En el cálculo de límites, se dice que hay una indeterminación cuando el límite de la
función no se obtiene directamente de los límites de las funciones que la
componen.
Las principales indeterminaciones
son:
En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones
equivalentes a las iniciales, se puede resolver la indeterminación y calcular el límite.
En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes.
0
0
Cero entre cero: si se trata de funciones polinómicas, se factorizan el numerador y el
denominador y se simplifican los polinomios iguales resultantes. En funciones con
radicales, se multiplican el numerador y el denominador por la expresión conjugada
de la que contiene el radical.
0 lim lim 0 lim. x p x p x p 0
f(x) f(x) g(x) Ind g(x)
