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ACTIVIDAD IV:
EJERCICIOS
Fecha: 09 /Agosto/ 2021
Nombre del estudiante: Andrea Castro Medina
Nombre del docente: Pablo Barrera Pineda
- Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas
los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre:
➢ Diferenciación
➢ Derivadas parciales y de orden superior
➢ Derivación parcial implícita
➢ Diferenciales
➢ Regla de la cadena para varias variables
➢ Derivadas direccionales y gradientes, divergencia y rotacional, interpretación
geométrica y física
➢ Extremos de funciones de dos variables
➢ Multiplicadores de Lagrange
Ejercicios 1. Diferenciales
Revisa la Página 141 y resuelve los
ejercicios 1, 2, 5, 6 y 9
Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión
electrónica]. Recuperado de
https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p
age=
Colección E-Libro Pórtico UVM
= sin
2
𝐷𝑓 = [𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑥] 𝐷𝑔 = [𝑦 cos 𝑥𝑦, 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 + 3 𝑦
2
]
𝐷(𝑓 + 𝑔) = [𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 + 𝑦 cos 𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 3 𝑦
2
]
𝑥+𝑦
𝑦
𝑥
𝐷𝑓 = [
𝑥+𝑦
𝑥+𝑦
𝑦
𝑦
] , 𝐷𝑔 [
𝑥
𝑥
]
D(f + g) = [
e
x+y
y
xy
e
x+y
x
xy
e
y
x
xe
y
x
]
2
2
𝑥
𝑦
2
2
𝑓
( 𝑥,𝑦
)
𝑔
( 𝑥,𝑦
)
2
𝑦
4
𝑥
Df = [2xy, x
2
2
], Dg = [
y
x
y
2
]
𝐷(𝑓𝑔) = [ 3 𝑥
2
2
, 2 𝑥𝑦]D(fg) = (
x
y
) [2xy, x
2
2
] + (x
2
y + y
2
) [
y
x
y
2
] = gDf + fDg
) = [𝑦
2
4
2
2
]
) [ 2 𝑥𝑦, 𝑥
2
2
] − (𝑥
2
2
) [
2
]
2
2
2
𝑥𝑦
𝑥𝑦
𝑓(𝑥𝑦)
𝑔(𝑥,𝑦)
𝑒
𝑥𝑦
𝑥𝑠𝑖𝑛 2 𝑦
Df = [ye
xy
, xe
xy
], Dg = [sin 2y, 2x cos 2y]
𝐷(𝑓𝑔) = [𝑠𝑖𝑛 2 𝑦(𝑒
𝑥𝑦
𝑥𝑦
𝑥𝑦
sin 2 𝑦 + 2 𝑒
𝑥𝑦
cos 2 𝑦)]
[
𝑥𝑦
𝑥𝑦
]
𝑥𝑦
[
sin 2 𝑦, 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦
]
) = [
𝑥𝑦
𝑥𝑦
2
2
2
𝑥𝑦
si n 2 𝑦 − 2 𝑥𝑒
𝑥𝑦
co s 2 𝑦
2
2
]
[
𝑥𝑦
𝑥𝑦
]
𝑥𝑦
[
]
2
2
2
3
7
2
2
7
2
3
6
𝑥𝑥
6
𝑥𝑦
2
6
𝑦𝑥
2
6
𝑦𝑦
3
5
𝑦
2
𝑦
2
𝑦
𝑑 𝑦 sin 𝑥
2
𝑦
2
) cos 𝑥
2
𝒚
𝟐
𝑦
𝑦 sin 𝑥
2
𝑦
𝑑 𝑦 sin 𝑥
2
𝑦
sin 𝑥
2
2
cos 𝑥
2
𝒚
𝟐
𝟐
𝑥+𝑦+𝑧
( 1 +𝑥
2
+𝑦
2
+𝑧
2
)
3 / 2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
1
[
2
2
2
2
]
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2 5
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟓
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
[
2
2
2
2
]
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2 5
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝒅𝒚
=
𝟏 + 𝒙
𝟐
− 𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒚
𝟐
− 𝟑𝒚𝒛 + 𝒚
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
Ejercicios 4. Regla de la cadena para funciones de dos variables
Revisa la Página 930 y resuelve los
ejercicios del apartado 7- 12 : 7, 9 y 11
Stewart, J. (2012). Cálculo de varias
variables [Archivo PDF]. Recuperado de
http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu
lo3/stewart.pdf
2
2
, 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑠 sin 𝑡
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
- 𝑧 = sin 𝜃 cos 𝜑 , 𝜃 = 𝑠𝑡
2
2
2
- (− sin 𝜃 sin 𝜑)( 2 𝑠𝑡) = 𝑡
2
cos 𝜃 cos 𝜑 − 2 𝑠𝑡 sin 𝜃 sin 𝜑
𝜕𝑧
𝜕𝑡
=
𝜕𝑧 𝜕𝜃
𝜕𝜃 𝜕𝑡
𝜕𝑧 𝜕𝜑
𝜕𝜑 𝜕𝑡
= (𝑐𝑜𝑠𝜃 cos 𝜑) ( 2 𝑠𝑡) + (− sin 𝜃 sin 𝜑)(𝑠
2
) = 2 𝑠𝑡 cos 𝜃 cos 𝜑 − 𝑠
2
sin 𝜃 sin 𝜑
- 𝑧 = 𝑒
𝑟
cos 𝜃 , 𝑟 = 𝑠𝑡 𝜃 = √𝑠
2
2
𝜕𝑧
𝜕𝑠
=
𝜕𝑧 𝜕𝑟
𝜕𝑟 𝜕𝑠
𝜕𝑧 𝜕𝜃
𝜕𝜃 𝜕𝑠
= 𝑒
𝑟
cos 𝜃 (𝑡) − 𝑒
𝑟
sin 𝜃 (
𝑠
2
2
)
−
1
2 ( 2 𝑠
)
2
) = 𝑡𝑒
𝑟
cos 𝜃 − 𝑒
𝑟
sin 𝜃 (
𝑠
√𝑠
2
2
)
𝜕𝑧
𝜕𝑠
= 𝑒
𝑟
(𝑡 cos 𝜃 −
𝑠
√
𝑠
2
2
sin 𝜃)
Ejercicios 5. Derivadas direccionales y gradientes
Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Páginas 983
y 984):
Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado
de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf
2
2
𝑥
𝑥𝑦
√𝑥
2
+𝑦
2
𝑥
2
2
2
2
2
𝑦
2
2
2
2
2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
2
2
𝑥
2
2
𝑦
2
2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Ejercicios 6. Rotacionales y divergencias
Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Página 1089):
Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado
de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf
)(x, y) =
= co s 𝑥 𝑖̂ + si n 𝑦 𝑗̂
)(𝑥, 𝑦) = [
] =
2
2
2
𝑟otF
⃗⃗
(x, y, z) = (∇)(F
⃗⃗
)(x, y, z) =
[
î ĵ k
̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
M N P
]
=
[
î ĵ k
̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x
2
y
2
z
2
]
= (
∂p
∂y
−
∂N
∂z
) î − (
∂P
∂x
−
∂M
∂z
) ĵ + (
∂N
∂x
−
∂M
∂y
) k
̂
rotF
⃗⃗
(x, y, z) = (
∂
∂y
z
2
−
∂
∂z
y
2
) î − (
∂
∂x
z
2
−
∂
∂z
x
2
) ĵ + (
∂
∂x
y
2
−
∂
∂y
x
2
) k
̂
= 𝟎
divF
⃗⃗ ( x, y, z
)
( ∇
) (F
⃗⃗
)
( x, y, z
)
∂M
∂x
∂N
∂y
∂P
∂z
=
∂
∂x
( x
2
)
∂
∂y
( y
2
)
∂
∂z
( z
2
) = 𝟐𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝟐𝐳
- F
⃗⃗
(x, y, z) = xz
2
î + y
2
ĵ + x
2
z k
̂
rotF
⃗⃗ (x, y, z) = (∇) (
F
⃗⃗
)
(x, y, z) = [
î j ̂ k
̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
xz
2
y
2
x
2
z
] = (
∂
∂y
x
2
z −
∂
∂z
y
2
)
î − (
∂
∂x
x
2
z −
∂
∂z
xz
2
)
ĵ + (
∂
∂x
y
2
−
∂
∂y
xz
2
)
k
̂
rotF
⃗⃗ (x, y, z) = ( 0 − 0 )î − (2xz − 2xz)ĵ + ( 0 − 0 )k
̂
= 𝟎
𝑑𝑖𝑣𝐹
⃗ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧
)
( ∇
) (𝐹
⃗
)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧
)
𝜕
𝜕𝑥
( 𝑥𝑧
2
)
𝜕
𝜕𝑦
( 𝑦
2
)
𝜕
𝜕𝑧
( 𝑥
2
𝑧
) = 𝒛
𝟐
𝟐
41.𝐹
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = √
𝑥
2
2
𝑥
2
2
2
𝑘
̂
𝑟𝑜𝑡𝐹
⃗
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (∇)(𝐹
⃗
)(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
[
î ĵ k
̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
√𝑥
2
2
2
2
2
]
=
𝒙 − 𝒚
√
𝒙
𝟐
𝟐
𝒌
̂
𝑟𝑜𝑡𝐹
⃗ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧
) = (
𝜕
𝜕𝑦
𝑧
2
−
𝜕
𝜕𝑧
√𝑥
2
2
𝜕
𝜕𝑥
𝑧
2
−
𝜕
𝜕𝑧
√𝑥
2
2
𝜕
𝜕𝑥
√𝑥
2
2
𝜕
𝜕𝑦
√𝑥
2
2
̂
𝑑𝑖𝑣𝐹
⃗
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (∇)(𝐹
⃗
)(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕
𝜕𝑥
√𝑥
2
2
𝜕
𝜕𝑦
√𝑥
2
2
𝜕
𝜕𝑧
𝑧
2
=
𝒙 + 𝒚
√
𝒙
𝟐
𝟐
𝟐
42. F
⃗⃗
(x, y, z) =
x
(𝑥
2
+𝑦
2
)
3 / 2
𝑖̂ +
𝑦
(𝑥
2
+𝑦
2
)
3 / 2
𝑗̂ + 𝑘
̂
𝑟𝑜𝑡𝐹
⃗
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (∇)(𝐹
⃗
)(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
[
î ĵ k
̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x
(𝑥
2
2
)
3 / 2
y
(𝑥
2
2
)
3 / 2
1
]
=
𝟑𝒙𝒚 − 𝟑𝒙𝒚
(𝒙
𝟐
𝟐
)
𝟓/𝟐
𝒌
̂
= 𝟎
𝑟𝑜𝑡𝐹
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
𝜕( 1 )
𝜕𝑦
−
𝜕
𝜕𝑧
(
𝑦
(𝑥
2
2
)
3
2
) )
𝑖̂ − (
𝜕( 1 )
𝜕𝑥
−
𝜕
𝜕𝑧
(
𝑥
(𝑥
2
2
)
3
2
) )
𝑗̂ + (
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑦
(𝑥
2
2
)
3
2
) −
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑥
(𝑥
2
2
)
3
2
) )
𝑘
̂
𝑑𝑖𝑣𝐹
⃗
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (∇)(𝐹
⃗
)(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑥
(𝑥
2
+𝑦
2
)
3
2
) +
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑦
(𝑥
2
+𝑦
2
)
3
2
) +
𝜕( 1 )
𝜕𝑧
= −
𝒙
𝟐
+𝒚
𝟐
(𝒙
𝟐
+𝒚
𝟐
)
𝟑
𝟐
Aplicando el criterio de la segunda derivada obtenemos:
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑦
2
2
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑦
2
2
Como 𝑫
𝟏
𝟐
3
2
2
2
𝑥
2
2
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝑦𝑦
𝑥
Por tanto 𝑥 = 0 ó 𝑦 = 2
Si tomamos 𝑥 = 0 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑦 = 0 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎
2
= 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑦 = 0 ó 𝑦 = 4
Los puntos críticos son 𝑷 𝟏
𝟐
Si tomamos 𝑦 = 2 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑦 = 0 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎
2
2
Los puntos críticos son 𝑃 3
4
2
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
2
2
Los puntos son:
𝟏
(𝟎, 𝟎) 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨
𝟐
(𝟎, 𝟒) 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨.
𝟑
𝟒
𝑥
cos 𝑦
𝑥
𝑥
cos 𝑦 𝑓
𝑦
𝑥
sin 𝑦
𝑓𝑥 = 0 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 cos 𝑦 = 0 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦 =
sin (
∴ ∄ 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐜𝐫í𝐭𝐢𝐜𝐨𝐬
Ejercicios 8. Multiplicadores de Lagrange
Revisa la Página 963 apartado 3 - 14 y
resuelve los ejercicios: 3, 5, 6 y 11
Stewart, J. (2012). Cálculo de varias
variables [Archivo PDF]. Recuperado de
http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu
lo3/stewart.pdf
𝟑. f
x, y
2
2
Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange buscamos valores de 𝑥, 𝑦 y λ tales que
∇f = λ∇gyg
x, y
𝛁𝒇(𝒙, 𝒚) = λ∇g(x,y) → 〈2x,2y〉=〈λy,λx〉
De ahí obtenemos las ecuaciones:
𝑥
= λ𝑔
𝑥
→ 2 𝑥 = λy
𝑦
= λ𝑔
𝑦
→ 2 𝑦 = λx
Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos que 𝑥
2
2
Por lo que 𝑥 = 𝑦 = ± 1
Los posibles valores extremos de 𝑓 son
El valor mínimo sujeto a la restricción dada es 𝒇(𝟏, 𝟏) = 𝒇(−𝟏, −𝟏) = 𝟐
2
2
1
4
2
2
, 2λy
f x
= λ𝑔
𝑥
λ𝑥
f
y
= λ𝑔
𝑦
→ 2 𝑦 = 2 λy
g = 1 →
2
2
Sustituyendo en la cuarta ecuación obtenemos 2 𝑥
4
= 1 ó 𝑥 = 𝑦 = ±
1
√ 2
4
Dando como resultado puntos críticos en 𝑓 = (
1
√ 2
4
1
√ 2
4
1
√ 2
4
1
√ 2
4
Si exactamente dos variables son 0, la tercera variable tendría un valor de ± 1.
Dando como resultado valores extremos en 𝑓(± 1 , 0 , 0 ) = 𝑓( 0 , ± 1 , 0 ) = 𝑓( 0 , 0 , ± 1 ) = 1
Por lo tanto concluimos que:
Puntos máximos en 𝒇 (±
𝟏
√𝟐
𝟒
𝟏
√𝟐
𝟒
𝟏
√𝟐
𝟒
Puntos mínimos en 𝒇(±𝟏, 𝟎, 𝟎) = 𝒇(𝟎, ±𝟏, 𝟎) = 𝒇(𝟎, 𝟎, ±𝟏) = 𝟏
CONCLUSIÓN
La forma perfecta para describir figuras de diversos tipos son las funciones vectoriales, las figuras están
integradas de una cantidad infinita de puntos los cuales son el extremo de un vector que proviene de un
origen de coordenadas espaciales o cartesianos. Gracias a las funciones vectoriales se pueden estudiar
y aplicar. Se pueden conocer sus puntos máximos y mínimos que son muy importantes a la hora de hacer
el cálculo de los vectores de las figuras.
He aprendido en esta lección como obtenerlos y su finalidad dentro de la materia que estamos
estudiando.
