¡Descarga Ejercitario 3 variables complejas y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCI ´ON
FACULTAD POLIT´ECNICA C ´ALCULO V - EJERCITARIO 3 - A ˜NO 2018
- Utilizar la definici´ 1.1. Si f (z) = 5iz. Entonceson de derivada para demostrar que: f ′(z) = 5i ∀z ∈ C 1.2. Si f (z) = z^2 − 3 z. Entonces f ′(z) = 2z − 3 ∀z ∈ C 1.3. Si f (z) = (^) z −^1 1. Entonces f ′(z) = − (^) (z −^1 1) 2 ∀z 6 = 1
- Para cada una de las funciones f (z) dadas: a) Determinar el dominio dondeb) En caso de existir puntos singulares, indicar cu´ f (z) es anal´ıtica.ales son. c) Hallar f ′(z). 2.1. f (z) = 5z^4 + 3z^2 − 2 i 2.2. f (z) = (2 + 3z^3 )^4
2.3. f (z) = 3 zz^ + 1 − 1
2.4. f (z) = (^) (z (^2) −z 4)(^4 + 3z (^2) − 1) 2.5. f (z) = (z^2 + 4iz + 1)(z^3 + 2z^2 − 3 i)
2.6. f (z) = (1 + z + 1^ z)^3
2.7. f (z) = (^) (z (^2) −z 2 5)(^ + 5z (^2) + 1)
- Determinar si las siguientes funciones son derivables en z = 0
3.1. f (z) =
Re(z^2 ) |z^2 | si^ z^6 = 0 0 si z = 0
3.2. f (z) = (^) |zz^2 | 2
3.3. f (z) = zz 3.4. f (z) = (^) zz 22
- Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann: a) Probar que cada una de las siguientes funciones f (z) es derivable en el dominio de definici´b) Hallar fon especificado. ′(z)
4.1. f (z) = √^6 r eiθ/^6 ( r > 0 , α < θ < α + 2π) donde α: n´umero real fijo. 4.2. f (z) = √^5 r eiθ/^5 ( r > 0 , 0 < θ < 2 π)
4.3. f (z) = √^4 r eiθ/^4 ( r > 0 , −π < θ < π)
4.4. f (z) = z^13 z 6 = 0
4.5. f (z) = i (^) |zz| 2 z 6 = 0 4.6. f (z) = ln r + i(θ + π) ( r > 0 , 0 < θ < 2 π) 4.7. f (z) = (ln r)^2 − θ^2 + π + i(2 θ ln r) ( r > 0 , −π < θ < π)
- Hallar los valores de las constantes a y b de modo que f (z) = (ax+y)+i(ax−by) sea una funci´on entera.
- Dadas las siguientes funciones: a) Determinar si son anal´ıticas en alg´un dominio del plano complejo. b) Hallar la derivada f ′(z) en los puntos donde exista. 6.1. f (z) = cos x senh y − i sen x cosh y 6.2. f (z) = cosh y(sen x + cos x) + i senh y(cos x − sen x) 6.3. f (z) = sen x senh y + i cos x cosh y 6.4. f (z) = z^2 6.5. f (z) = z Re(z) 6.6. f (z) = y^2 + i x^2 6.7. f (z) = (y^3 − 3 x^2 y) + i (2 − 3 xy^2 + x^3 ) 6.8. f (z) = 2x^3 + i (1 − 2 y)^3
6.9. f (z) = (^) xx 2 ++^ iyy 2 6.10. f (z) = sen 2 z 6.11. f (z) = cos 4 z
6.12. f (z) = (^) 1 +^2 z 2
6.13. f (z) = sen zz 3
6.14. f (z) = (^) z 2 e (^) + 5z
6.15. f (z) = (^) ez (^4) −i 1
6.16. f (z) = 2iz sen zcos z
2
