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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCI ´ON
FACULTAD POLIT´ECNICA C ´ALCULO V - EJERCITARIO 4 - A ˜NO 2019
- Graficar las sgtes. curvas: a) z(t) = t^2 − 1 + i (t + 4) 0 ≤ t ≤ 2 b) z(t) = (t + 1)^2 − 1 + it − 1 ≤ t ≤ 1 c) z(t) = 5 cost − 3 isen t π ≤ t ≤ 2 π d) z(t) = 4 cost + 4i sen t 0 ≤ t ≤ π/ 2 e) z(t) = (3 + 2i) + 2e−it^ − π ≤ t ≤ π f) z(θ) = 5 eiθ^0 ≤ θ ≤ π g) z(θ) = 4 eiθ^ − π/ 2 ≤ θ ≤ π/ 2 h) z(θ) = 2 + eiθ^ π ≤ θ ≤ 2 π
i) γ(t) =
(2 + 4i)t si 0 ≤ t ≤ 1 (5 − 4 i)t − (3 − 8 i) si 1 ≤ t ≤ 2 j) z(t) = (3 cos t + 2) + i(2sen t − 3) 0 ≤ t ≤ 2 π
k) γ(t) =
t1 + ( (^) t − 1)i sisi 01 ≤≤ tt ≤≤ (^12) (3(4 −− tt) +)i i sisi 23 ≤≤ tt ≤≤ (^34)
l) γ(t) =
−t − ti si − 2 ≤ t ≤ 0 2 + (^ t^ t − 2)i sisi^02 ≤≤^ tt^ ≤≤^24
- Demostrar que
C 1 z dz^ =
va desde −1 a 3+2i y C 2 es la porci´^ C^2 z dzon de par´^ = 2 + 6iabola^ donde y =C 1 √^ es el segmento recto quex + 1 desde −1 a 3+2i.
- Dar una parametrizaci´on para el contorno C = C 1 + C 2 , donde C 1 es la porci´on de circunferencia de 1 a i y C 2 es el segmento recto que va de i a −1. Rtapara: Una parametrizaci´ C on para C 1 es: z(t) = eit^0 ≤ t ≤ π/2 y una parametrizaci´on 2 es:^ z(t) =^ −t^ +^ i(1^ −^ t) 0^ ≤^ t^ ≤^1
- Dar una parametrizaci´ C on para el contorno C = C 1 + C 2 + C 3 , donde C 1 , C 2 y respectivamente.^3 son segmentos rectos, que van de^ −1 a^ i, de^ i^ a 1 +^ i^ y de 1 +^ i^ a 1 Rtauna parametrizaci´: Una parametrizaci´on paraon para C C 1 es: z(t) = (t − 1) + it 0 ≤ t ≤ 1 y una parametrizaci´on para 2 C^3 es: es:^ z (tz) =(t) = 1^ t^ +^ i−^ it^0 ≤^ −t^ ≤ 1 ≤^1 t ≤ 0
- Evaluar
C^ y dz^ de^ −^2 i^ a 2i^ a lo largo de los sgtes. contornos: a) El contorno poligonalb) El contorno C que es la mitad izquierda de la circunferencia C con v´ertices − 2 i, − 2 − 2 i, −2 y 2 i|z. (^) |Rta: = 2 6 Rta: 2 π
- Evaluar
C^ x dz^ de^ −2 a 2 a lo largo de los sgtes. contornos: a) El contorno poligonal C con v´ertices −2, −2 + 2i, 2 + 2i y 2. Rta: − 8 i b) El contorno C que es la mitad superior de la circunferencia |z| = 2 Rta: − 2 iπ
- Evaluar
Rta: − 1 C^ z dz^ donde^ C^ est´a dado por^ z(t) =^ cost^ +^ isent^ para 0^ ≤^ t^ ≤^ π/^2
- Demostrar que
C^ e
z (^) dz = e2+2i (^) − 1 donde C es el segmento recto que va de 0 a 2 + 2i.
- Demostrar que las integrales de f (z) = z sobre los caminos C 1 y C 2 tienen valores distintos; dondepoligonal de i a 1 + i y de 1 + C 1 es la porci´ i a 1.on de cia. que va de i a 1 y C 2 es el camino
Rta:
C 1 z dz^ =^ −iπ/^2
C 2 z dz^ =^ −^2 i
- Determinar el dominio de analiticidad de las sgtes. funciones, luego aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat para calcular
cia |z| = 2 con orientaci´on positiva.^ C^ f^ (z)^ dz, donde^ C^ es la circunferen-
a) f (z) = (^) z (^22) + 9z Rta: C − {± 3 i}
b) f (z) = (^) z (^2) + 4iz + 6 Rta: C − {− 2 ± √ 2 i} c) f (z) = sec(z/2) Rta: C − {(2n + 1)π, n = 0, ± 1 , ± 2 , ...} d) f (z) = Log(z + 3) Rta: C − {(x, y) : x ≤ − 3 , y = 0}
Observaci´on: En todos los casos
C^ f^ (z)dz^ = 0
- Hallar
C^ (z
(^2) − z)− (^1) dz para los sgtes. contornos:
a) La cia. |z − 1 | = 3 con orientaci´on positiva. Rta: 0
- Hallar
C
z + 2 abajo:^ z^2 −^ z dz^ donde^ C^ es el contorno que se muestra en la figura de
Rta: 10 πi
- Sea C un contorno cerrado simple con orientaci´on positiva tal que z 0 = 2i es interior a C. Demostrar que: ∫ C
dz z − 2 i = 2πi
C
dz (z − 2 i)^3 = 0
- Evaluar
C^ (z
(^2) − 1)− (^1) dz donde C es la elipse |z − 1 | + |z + 1| = 4 con orientaci´on positiva. Rta: 0
- Evaluar
C^ z dz^ desde^ z^ = 0 hasta^ z^ = 3 +^
√ 3 i, a lo largo de la curva C dada por: a) z(t) = t^2 + it Rta: 6 − √ 3 i b) Las rectas de Rta: 6 − 3 √ 3 i z = 0 a z = √ 3 i y de z = √ 3 i a z = 3 + √ 3 i, respectivamente.
Elaborado por: Lic. Mercedes Ruiz D´ıaz. Revisado por: MSc. Teresa Alderete.
